第一章第一节向量的线性运算

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1、 解解 析析 几几 何何 Analytic GeometryAnalytic Geometry教材教材 (Text Book)解析几何解析几何解析几何解析几何 尤承业尤承业丘维生丘维生北京大学出版社北京大学出版社 参考书目参考书目 (Reference) 解析几何解析几何吕林根、许子道吕林根、许子道 编著编著 （高等教育出版社）（高等教育出版社） 空间解析几何空间解析几何黄国宣黄国宣 编著编著（复旦大学出版社）（复旦大学出版社）课程评分方法课程评分方法: 总成绩总成绩 (100) = 平时作业平时作业 (10) +大作业大作业(10%) + 提问质疑提问质疑(10%)+小测验小测验(10%)+

2、 闭卷考试闭卷考试 (60)每周二课后交作业每周二课后交作业初等数学时期初等数学时期( (公元前公元前3 3世纪世纪-1717世纪世纪) ) 研究对象研究对象: : 匀速运动匀速运动(速度不变速度不变); 匀加速运动匀加速运动(速度均匀变化速度均匀变化); 直边图形直边图形(不弯曲不弯曲); 圆弧边图形圆弧边图形(均匀弯曲均匀弯曲); 有限次的四则运算有限次的四则运算, 等等等等. 两个基本独立、平行发展的数学分支两个基本独立、平行发展的数学分支: : 几何学几何学: : 研究空间形式研究空间形式; ; 代数学代数学: : 研究数量关系。研究数量关系。初等数学初等数学 研究对象为常量研究对象为

3、常量, , 研究问题研究问题. . 高等数学高等数学研究对象为变量研究对象为变量, , 将运动和将运动和 辩证法引入了数学辩证法引入了数学. .以静止观点以静止观点解析几何为微积分解析几何为微积分 的创立搭起了舞台。的创立搭起了舞台。笛卡尔笛卡尔(Descartes，15961650) 法国哲学家、物理学家、数学家。法国哲学家、物理学家、数学家。 发表了发表了方法论方法论，创立了解析创立了解析 几何，是几何，是高等数学第一创始人。高等数学第一创始人。解析几何的产生解析几何的产生 16371637年，法国的哲学家和年，法国的哲学家和 数学家笛卡尔发表了他的著作数学家笛卡尔发表了他的著作 方法论方

4、法论，内有三篇附录：，内有三篇附录：折光学折光学；流星学流星学或称或称气象学气象学几何学几何学。数学家和史学家称数学家和史学家称几何学几何学是是解解 析几何析几何的起点。的起点。笛卡儿认为思维的一般方法：笛卡儿认为思维的一般方法：通用数学法通用数学法任何问题任何问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程求解方程求解笛卡尔的笛卡尔的几何学几何学共分三卷：共分三卷：第一卷讨论尺规作图；第一卷讨论尺规作图； 第二卷是曲线的性质；第二卷是曲线的性质； 第三卷是立体和“超立体”的作图，第三卷是立体和“超立体”的作图， 实际研究的是代数问题，探讨方程根的实际研究的是代数问题，探讨方程根的 性质。性质。关于关

5、于几何学几何学笛卡尔对几何学和代数学方法进行笛卡尔对几何学和代数学方法进行 了分析和比较：了分析和比较：几何图形：直观优点；几何图形：直观优点；欧氏几何：公理化欧氏几何：公理化( (不易想到不易想到) ) 缺点；缺点；笛卡尔看到了代数的力量，强调代数笛卡尔看到了代数的力量，强调代数 的一般性，认为代数具有作为一种普遍的的一般性，认为代数具有作为一种普遍的 科学方法的潜力。主张采取代数和几何中科学方法的潜力。主张采取代数和几何中 的优点结合，互相取长补短。的优点结合，互相取长补短。笛卡儿将代笛卡儿将代 数运用到几何中，产生了数运用到几何中，产生了几何学几何学.解析几何把代数和几何结合起来，把解析

6、几何把代数和几何结合起来，把 数学造成一个双面的工具。数学造成一个双面的工具。解析几何的功绩解析几何的功绩一方面，一方面，几何概念可以用代数表示几何概念可以用代数表示， 几何对象通过代数方法实现。另一方面，几何对象通过代数方法实现。另一方面， 给代数概念以几何解释给代数概念以几何解释，可以直观地掌握，可以直观地掌握 这些概念的意义。又可以得到启发去提出这些概念的意义。又可以得到启发去提出 新的结论新的结论解析几何把代数和几何结合起来，把解析几何把代数和几何结合起来，把 数学造成一个双面的工具。数学造成一个双面的工具。解析几何是变量数学的第一个里程碑解析几何是变量数学的第一个里程碑解析几何的功绩

7、解析几何的功绩研究物理世界，似乎首先需求几何。研究物理世界，似乎首先需求几何。 物体基本上是几何的形象，运动物体的物体基本上是几何的形象，运动物体的 路线是曲线，研究它们都需要数量知识。路线是曲线，研究它们都需要数量知识。 而而解析几何能使人把形象和路线表示为解析几何能使人把形象和路线表示为 代数形式，从而导出数量知识。代数形式，从而导出数量知识。解析几何是数量工具解析几何是数量工具, ,这个数量工具是这个数量工具是 科学的发展久已迫切需要的。科学的发展久已迫切需要的。解析几何的基本方法坐标法解析几何的基本方法坐标法1.1.在平面上在平面上( (空间中空间中) )一点一点 的坐标与一组有序的实

8、数的坐标与一组有序的实数 对相对应；对相对应；oxy( , )x y2.带两带两( (三三) )个变量的代数个变量的代数 方程就可以表示平面上方程就可以表示平面上 的一条曲线或空间中的的一条曲线或空间中的 一张曲面。一张曲面。( )( , )0yf xF x y 形形方方程程方方程程形形在平面上在平面上( (空间中空间中) )建立了坐标系后，建立了坐标系后，学习方法学习方法掌握基本思想、基本方法，而不仅仅在掌握基本思想、基本方法，而不仅仅在 于记住它的某些具体结论。于记住它的某些具体结论。 选择合适坐标系，建立图形方程，通过选择合适坐标系，建立图形方程，通过 对方程的研究得到图形的性质，了解图

9、对方程的研究得到图形的性质，了解图 形的形状。形的形状。随时将各种代数表示的几何涵义放在心随时将各种代数表示的几何涵义放在心 中。培养自己的几何直观能力。中。培养自己的几何直观能力。 应将学习目的放在掌握基本方法上，采应将学习目的放在掌握基本方法上，采 取“研究对象简单一些，突出基本方法”取“研究对象简单一些，突出基本方法” 的方针，避免发生因为研究对象复杂，的方针，避免发生因为研究对象复杂， 引起很多枝节，从而淹没了基本方法的引起很多枝节，从而淹没了基本方法的 现象。现象。解析几何解析几何教材的总体思路：教材的总体思路：阐述解析几何的几种基本方法：阐述解析几何的几种基本方法： 向量法、坐标法

10、、坐标变换法、点变换法向量法、坐标法、坐标变换法、点变换法。 第一、二章介绍向量法、坐标法，并第一、二章介绍向量法、坐标法，并 讨论空间中的平面、直线及常见曲面。讨论空间中的平面、直线及常见曲面。 第三章介绍坐标变换法第三章介绍坐标变换法, ,并讨论了二并讨论了二 次曲线的简化、分类、仿射特征。次曲线的简化、分类、仿射特征。 第四、五章介绍点变换法：正交变换、第四、五章介绍点变换法：正交变换、 仿射变换和射影变换。进一步研究图形的仿射变换和射影变换。进一步研究图形的 性质，讨论二次曲线的正交分类、仿射分性质，讨论二次曲线的正交分类、仿射分 类和射影分类。类和射影分类。1 1 向量的线性运算向量

11、的线性运算 2 2 仿射坐标系仿射坐标系 3 3 向量的内积向量的内积 4 4 向量的外积向量的外积 5 5 向量的多重乘积向量的多重乘积第一章第一章向量代数向量代数建立几何与代数的对应关系；研究建立几何与代数的对应关系；研究 两类运算：线性和度量运算；两类运算：线性和度量运算； 给几何对给几何对 象代数表示，给代数运算赋予几何意义。象代数表示，给代数运算赋予几何意义。1 1 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量的概念、记号与几何表示一、向量的概念、记号与几何表示 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、向量的分解三、向量的分解 四、在三点共线问题上的应用四、在三点共线问题上的应用向量的

12、大小，即线段的长度向量的大小，即线段的长度. . | |21MM向量：向量： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示： 以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段. . a 21MM模为模为1的向量的向量. .21MM00a 零向量：零向量：模为模为0 的向量的向量。0|a|向量的模：向量的模：单位向量：单位向量：1.1 向量的概念向量的概念或或或或或或零向量没有确定的方向，或称它的零向量没有确定的方向，或称它的 方向是任意的。方向是任意的。1M2M 0a相等向量：相等向量：模相等且方向相同的向量模相等且方向相同的向量. . AB ABCD CD自由

13、向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .平行向量：平行向量：.向向量量 与与 所所在在的的线线段段平平行行若若将将向向量量 与与 的的起起点点重重叠叠，则则两两向向量量共共线线。/记为记为。反反( (负负) )向量：向量： 模相等但方向相反的向量模相等但方向相反的向量. . ABBA AB垂直垂直( (正交正交) )向量：向量：两个向量的方向垂直。两个向量的方向垂直。 记记为为。1.2 向量的线性运算向量的线性运算向量的运算呢？向量的运算呢？ 几何中的向量运算与代几何中的向量运算与代 数中的向量运算一致吗？数中的向量运算一致吗？ 代数中的向量线性运算代数中的向量线性运算

14、在几何中如何表现？在几何中如何表现？数有加减乘除等运算。数有加减乘除等运算。讨论向量的加、减、数乘运算及其应用。讨论向量的加、减、数乘运算及其应用。加法：加法：平行四边形法则平行四边形法则: :1.2 向量的线性运算向量的线性运算 定义定义1.11.1设有向量设有向量, ,将向量将向量的起的起 点平行地移到向量点平行地移到向量的终点，则向量的终点，则向量 的的 起点至向量起点至向量的终点为和向量的终点为和向量。 , 三角形法则：三角形法则：1. 1. 向量的加法向量的加法 特殊地：若特殊地：若, | |分为同向和反向分为同向和反向 |向量加法运算规律：向量加法运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.（2 2）结合律：）结合律：() (). 12nsaaa1a2a3a4a 5as（3 3）()0, 0 () | |, | |三角形的一边不大于另两边的和。三角形的一边不大于另两边的和。()= 定义定义若有若有使得使得则称则称为为与与差向量差向量, ,记作记作。