44道趣味物理题

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1、有一块有一块 V V 字形木板，两侧与地面的夹角都是字形木板，两侧与地面的夹角都是 。一根密度均匀的绳子放在木。一根密度均匀的绳子放在木 板上，绳子与木板之间的摩擦系数为板上，绳子与木板之间的摩擦系数为 1 1 。整个系统左右对称。没挨着木板的那。整个系统左右对称。没挨着木板的那 段绳子所占的比例最大是多少？此时段绳子所占的比例最大是多少？此时 是多少度？是多少度？用一些非常初等的方法可以得到，答案是 (2 - 1)2 0.172 ，此时 = 22.5 。具体解答可以见 http:/star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf 。一个长、宽、高分别为一个长、宽、高分别

2、为 a a 、 b b 、 c c 的长方体物块，斜靠在一个墙角。由的长方体物块，斜靠在一个墙角。由 于墙壁和地面都是完全光滑的，因此物块将会开始下滑。什么时候，物块会脱于墙壁和地面都是完全光滑的，因此物块将会开始下滑。什么时候，物块会脱 离墙壁？离墙壁？为了解决这个问题，首先需要把物块和地面的夹角记作 ，物块下滑过 程中的各种物理量都可以用 来表示。然后，解决这个问题的关键就在于， 当物块脱离墙壁时，物块向右的加速度就消失了，这个临界点就由等量关系 dvx / d = 0 给出。不过，由此产生的方程非常复杂，我们只能用数值的方 式去解它。有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为有一个半圆

3、柱体横放在水平桌面上，截面的半径为 R R 。我们在半圆柱体上。我们在半圆柱体上 放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄，那么这块木放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄，那么这块木 板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。但考虑另外一个极板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。但考虑另外一个极 端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不 能稳放在这个半圆上。那么，这中间一定会有一个临界点。这个临界点在哪里？能稳放在这个半圆上。那么，这中间一

4、定会有一个临界点。这个临界点在哪里？ 换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？把半圆的半径记作 R ，把木板的厚度记作 t 。如果把木板平放在半圆上， 其重心的高度就是 R + t/2 。假如这块木板倾斜了一个微小的角度 ，那么 图中 MT 的长度等于弧 MT 的长度，即 2R(/2) = R 。此时，木 板的重心 G 的高度变为了 (t/2)cos + (R)sin + Rcos。为了让 木板保持平衡，不会自动往下滑，我们需要让新的重心高度大于原来的重心高 度，即 (t/2)cos + (R)sin + Rcos R + t/2。解出不等式

5、，再 令 0 ，即可得到 t 2R。也就是说，一旦木板的厚度超过半圆的直径， 木板就无法放稳了。假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。你能否做出一假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。你能否做出一 系列动作，使得自己最后能面向西边站立？系列动作，使得自己最后能面向西边站立？可以。只需要重复“伸臂挥臂屈臂”的动作，你的身体便会向反方向 转动一点。期待实验党。用过多年的插座（尤其是插过大功率电器的插座），右边的孔（火线）往用过多年的插座（尤其是插过大功率电器的插座），右边的孔（火线）往 往会有过热的迹象。如果是劣质插座，加上经常插拔插头的话，右边的孔甚至往会有过热的迹象

6、。如果是劣质插座，加上经常插拔插头的话，右边的孔甚至 会有烧黑了的痕迹。明明是通过相同大小的电流，为什么右边的孔会被烧得更会有烧黑了的痕迹。明明是通过相同大小的电流，为什么右边的孔会被烧得更 厉害呢？厉害呢？目前，这个问题没有一个所谓的标准答案。当然，这个现象本身是否存在 也是存疑的。大家不妨来说说自己家里插座的情况。呼拉圈是怎么转起来的？人应该做一个什么样的运动？呼拉圈的转动频率呼拉圈是怎么转起来的？人应该做一个什么样的运动？呼拉圈的转动频率 是由什么决定的？和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗？是否存在一个是由什么决定的？和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗？是否存在一个 最优的频率？

7、最优的频率？我有几件事情死活搞不明白，吹泡泡是怎么吹出来的，小舌颤音是怎么发 出来的，骑车不动把手是怎么实现拐弯的当然，还有呼拉圈是怎么转起来的。 和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。如果你真的把它当成一回事仔细分 析，你会发现这不是一般的困难。2004 年， Biological Cybernetics 上发表了一篇长达 15 页的论文，论 文题目是 Coordination Modes in the Multi-Segmental Dynamics of Hula- Hooping 。这篇论文终于不负众望，成功地摘得了诺贝尔奖当然，是搞笑 版的。投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是

8、反面，我就去打游戏，如投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打游戏，如 果立起来，我就去学习。不知道大家第一次看到这个笑话时，有没有想过，如果立起来，我就去学习。不知道大家第一次看到这个笑话时，有没有想过，如 果一枚硬币真的有果一枚硬币真的有 1/31/3 的概率正面朝上，有的概率正面朝上，有 1/31/3 的概率反面朝上，有的概率反面朝上，有 1/31/3 的的 概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？这枚硬币必须满足，把它立起来后，即使倾斜 30 度仍然不倒。这样，硬 币直立的“势力范围”才会达到 120

9、度。因此，硬币的直径应该是厚度的 3 倍。考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为 M M ，体积为，体积为 V V 。如果这颗星球是一个球体，那么它的半径。如果这颗星球是一个球体，那么它的半径 R R = = (3V)(3V) / / (4)(4)1/31/3，星球表面，星球表面 上的重力加速度则为上的重力加速度则为 g g = = GMGM / / R R2 2 = = GM(4)GM(4) / / (3V)(3V)2/32/3，其中，其中 G G 是万有引是万有引 力常数。力常数。考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球

10、表面的某一点重力考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力 加速度达到最大？最大值是多少？加速度达到最大？最大值是多少？下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个 稍微有些变形的球体，整个图形是一个以 z 方向为轴的旋转体，顶端的 m 点 即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为 g = (4/5)(15/4)1/32/3M / V2/3，只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。这是又一个经典的例子圆形似 乎并不是那么完美。这个问题的解法非常漂亮。首先，假设我们想要让星体表面上的某个点 m 的重力加速度最大，并且所受重力方向在 z 轴上，那么这个星体

11、必然是沿 z 轴方向对称的。否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成 一个完全对称的圆盘，这将会让 m 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直 到这个图形沿 z 轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。接下来的步骤就真的神了。现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它 的质量是 dM 。那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是 GdMcos /r2 。如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会 有新的 r 值和 值。当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的 位置，也就是说它的“微分”为 0 ，任何微小的变动都不会改变 m 的加速度。 这就意味着， cos

12、 / r2 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。FermatFermat 光程最短原理指出，光从光程最短原理指出，光从 A A 点到点到 B B 点，总是沿着最快的路径传播。点，总是沿着最快的路径传播。 这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。 不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总是沿着光程处于驻点的路不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总是沿着光程处于驻点的路 径传播。为什么会加上这一条？有没有光程极大的例子呢？径传播。为什么会加上这一条？有没有光程极大的例子呢？这里

13、有一个例子。考虑椭圆内的两个焦点 A 、 B ，和椭圆上的一点 M 。 显然，不管 M 取在哪儿， AM + BM 都是相同的。现在，在椭圆内部画一条曲 线，这条曲线与椭圆相切于 M 点。然后，擦掉原来的椭圆，把这条曲线视作镜 面。显然， AMB 仍然是一条反射光线，但从其它地方反射，光程都会小于 AMB 。 AMB 是一个光程极大的路径。物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。 比如，能量的单位就是比如，能量的单位就是 1J1J = = kgmkgm2 2ss-2-2 。为什么没有什么物理量，它是由基。为

14、什么没有什么物理量，它是由基 本单位通过更复杂的形式导出的？比如说，为何没有什么物理量，它的单位是本单位通过更复杂的形式导出的？比如说，为何没有什么物理量，它的单位是 sin(kg)log(m)sin(kg)log(m) ？这是一个非常有趣，无疑也是非常深刻的问题。它让我们开始认真思考一 个看上去很不像问题的问题：什么是物理量？什么是物理单位？我们需要去挖 掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。网站上的标准答案是，只有这种形式的导出单位才能保证，在不同的单位 制下，得到的导出单位是等价的。具体地说，物理单位的作用就是用来描述，当各个基本单位的尺度变化以 后，这个物理量会发生怎样的变化。比如

15、说，密度单位是质量除以长度的三次 方，就表明如果质量扩大到原来的 2 倍（或者说单位量变成了原来的 1/2 ）， 长度扩大到原来的 4 倍（或者说单位量变成了原来的 1/4 ），那么这个物理 量将会变成原来的 2/43 = 1/32 。现在，假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。按照国际标 准单位制，这个单位是 sin(kg)log(m) 。假如单位换成了 sin(g)log(cm) ，那么这个物理量将会变成原来的 sin(1000)log(100) 3.80792 。再继 续换算成 sin(mg)log(mm) ，物理量应该继续变成原来的 sin(1000)log(10) 1.90

16、396 。但是，如果从 sin(kg)log(m) 直接变到 sin(mg)log(mm) ，物理量应该变成原来的 sin(1 000 000)log(1000) -2.41767 ，这就和前面的结果矛盾了。利用一些微积分知识可以证明，如果一 个合成物理单位不会出现这样的问题，它必然是基本单位的幂的乘积的形式。不过，这个解释并不能让我十分满意。大家怎么看呢？有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是 11 的电阻丝。求相邻两点的电阻丝。求相邻两点 间的等效电阻阻值。间的等效电阻阻值。这个问题有一个很妙的解法。假设一个大小为 1A 的电流从红点处流入， 从各个无穷远处流出。由对称性，有 (1/4)A 的电流将会流