高等代数教案3

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1、授课章节 3.1 消元法 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 2 教学目的与要求: 熟练掌握用消元法解线性方程组,以及判定线性方程组有没有解和解的个数。 教学重点、难点: 用消元法解线性方程组,以及判定线性方程组有没有解和解的个数 教学内容:3.13.1 消元法消元法1. 线性方程组的一般形式:(1)11 11221121 1222221 122. .nnnnsssnnsa xa xa xba xa xa xba xa xa xb 其中,代表个未知量,是方程的个数,称为12,.,nx xxns(1,2,., ;1,2,., )ija in js方程组的系数,称为常数项。系数的第一个指标 表示它

2、在第 个方程,(1,2,., )jbjsijaii第二个指标表示它是的系数。 jjx2. 方程组(1)的解: 是指有序数组使当分别用12( ,.,)nk kk12,.,nx xx代入时, (1)中每个等式都变成恒等式。12,.,nk kk3. 方程组(1)的解集合: 方程组(1)的解的全体。 4. 同解方程组: 若两个方程组有相同的解集合,它们就称为同解的。下面介绍一般线性方程组的一种一般的解法消元法。先看一个例子。 5. 消元法实例解方程组12312313231(1)4254(2)226(3)xxxxxxxx L L LL LL L L L(2)-2(1) , (3)-(1):1232323

3、231*(1)*42*(4)*5*(5)xxxxxxx (4)-4(5):123323231*(1)*318*(6)*6*(5)xxxxxx 交换(5) , (6)的次序:123233231*(1)*6*(5)*318*(6)xxxxxx (6): 1 336x 将代入(5)得: 36x 2561x 将代入(1)得: 231,6xx 11(1 ( 1)3 ( 61)92x 方程组的解为: (9, 1, 6) 解以上方程组的方法就是所谓的消元法,为一般地介绍这种方法,先介绍一个概念。 6. 线性方程组的初等变换: . 用一非零的数乘某一方程01 . 把一个方程的倍数加到另一个方程02. 互换两个

4、方程的位置03消元的过程就是反复施行初等变换的过程。关于初等变换,我们有 7. 初等变换总是把方程组变成同解的方程组。 8. 消元法例 解方程组12312312323142542241xxxxxxxxx 解:第二个方程减第一个方程的 2 倍。第三个方程减去第一个方程,可消去得:1x1233323122xxxxx 第二个方程加第三个方程,去掉得:0012332312xxxx 改写一下, ,一般解为: (其中是自由未13232312xxxx 1231(7)2 *2xxx 2x知量).把以上结果应用到齐次线性方程组,就有定理 1 在齐次线性方程组中,若,则它必有非零11 1122121 122221

5、 122.0.0.0nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa xa xa x sn解。证:显然方程组在化成阶梯形方程组之后,没有的情况且方程的个数不会100rd超过原方程组中方程的个数,即。由知,它的解不是唯一的,因而有非零rsnrn 解。 9. 线性方程组(1)的系数矩阵和增广矩阵将(1)的系数按原来的位置写成一个矩阵,称为sn111212122212.nnsssnaaaaaaAaaa (1)的系数矩阵。将常数项添加到的最后一列后面,则得到一个矩阵A(1)sn,称为(1)的增广矩阵。11121121222212. . . .nnsssnnaaab aaabAaaab 显然,如

6、果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程组就完全确定了。也就是说,线性方程组(1)可以用它的增广矩阵来表示。A例 12312323123324232302331xxxxxxxxxxx 解: 1231241213 12133124 02300230 23312331Arr uuuuuuu r21411213 05553 ,20230 0115rr rr uuuuuuuuuuuuuu u u r2324212131213011101111()2 ,02300012501150024rrr rr uuuuuuuuuuuuuu u ruuuuuuuu u u r4331213 011

7、12 ,( 1)0012 0000rr r uuuuuuuuuuuuuuuu u r u(,有唯一解)1232332312xxxxxx 3rn231231123,323621xxxxx 所以,解为123132xxx 例 123412342341234231232373421xxxxxxxxxxxxxxx 复习思考题、作业题 复习思考题:习题三 1(1) (2) (6) 作业题:习题三 1(3) (4) (5) 下次课预习要点 n 维向量空间 向量组的线性相关性授课章节 3.6 线性方程组解的结构 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求: 掌握线性方程组解的结构。 教学重点、难点

8、: 线性方程组解的结构 教学内容:3.63.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 本节讨论在线性方程组有无穷多个解的情况下,解与解的关系(即所谓的结构) 。这一 节的主要结果是:一个线性方程组若有无穷多个解,则这些解都可以用有限个解表示出来。一. 齐次方程组的情形设 (1)11 1122121 122221 122.0.0.0nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 即10(1,2,., )nijj ja xis1. 解的性质. (1)的两个解的和还是它的解01 . (1)的一个解的倍数还是它的解02 2. (1)的基础解系定义 17. (1)的一组解称为(

9、1)的一个基础解系,如果12,.,t . (1)的任一解都能表成的线性组合0112,.,t . 线性无关0212,.,t 下面证明齐次线性方程组(1)在有非零解的情况下,必有基础解系。 定理 8. 在(1)有非零解的情况下,它有基础解系,且基础解系所含解的个数等于 。这里表示(1)的系数矩阵的秩(以下将看到,也就是自由未知量的个数)nrrAnr证明:设秩. 为方便起见,不妨设在左上角的级子式不为零。由上节最后的( )Arr讨论知(1)与方程组(2)11 1122121 122221 122.0.0.0nnnnrrrnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 同解。若,即秩,因此

10、,由克莱姆法则知(2)只有零解,也就是(1)rn( )An0A 只有零解。 设,将(2)改写为rn(3)11 111,11121 122,1121 1,11. .rrrrnnrrrrnnrrrrr rrrnna xa xaxa xa xa xaxa xa xa xaxa x (3)作为的一个方程组,它的系数矩阵的行列式不为零。把自由未知量12,.,rx xx的任一组值代入(3) ,由克莱姆法则,就唯一地决定了方程组(3)1,.,rnxx1(,.,)rncc也就是方程组(1)的一个解。换句话说,方程组(1)的任意两个解,只要自由未知 量的值一样,这两个解就完全一样。特别地,如果在一个解中自由未知

11、量的值全为零,那 么这个解就一定是零解。在(3)中我们用组数 (4)nr(1,0,0,.,0),(0,1,0,.,0),.,(0,.,0,1)分别来代自由未知量,就得到方程组(3)也就是方程组(1)的个1(,.,)rnxxnr解:(5)11112212,1,(,.,1,0,.,0)(,.,0,1,.,0). (,.,0,.,0,1)rrn rn rn r rcccccc设 ,即 . 比较1 122.0rn rkkk12(*,.,*,.,)(0,.,0,0,0,.,0)n rk kk最后的个分量得:。因此线性无关. 设 nr12.0n rkkk12,.,n r (6)11( ,.,.,)rrnc

12、c cc是(1)的一个解。由于是(1)的解,所以线性组合12,.,r (7)1 122.rrnn rccc也是(1)的解。比较(7)和(6)的最后个分量得知,自由未知量有相同的值,从nr而这两个解完全一样,即 。这就是说,任意一个解都能1 122.rrnn rccc表成的线性组合。12,.,n r 综上,我们证明了为(1)的基础解系。12,.,n r 设是与不同的基础解系。由基础解系的定义中的条件知12,.,t 12,.,n r 01与等价。同时它们又都是线性无关的,从而。12,.,t 12,.,n r tnr例. 求方程组 的一个基础解系,并用它表出全部解。123451235234512345032302360543260xxxxxxxxxxxxxxxxxx 解:2151111111111132103012363 ,501236012365432601231rr rr uuuuuuuuuuuuuu u r u23431111111111 0000001236,0123600001 0000700000rr rr uuuuuuuuuuuu u u r1012510120 0123601230 0000100001 0000000000

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