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1、1 题目题目: :用直接法用直接法、迭代法解线性方程组迭代法解线性方程组 学生姓名：崔敬轩 学 号：2015210458 专业班级：电气工程 7 班 指导教师：王承竞 2015 年 12 月 12 日 2 一、直接法解线性方程组（选列主元高斯消元法） 1 高斯消元法 具体地，解线性方程组AXb，先对系数矩阵 A 进行 LU 分解，即ALU，则AXbLUXb。令UXZ，则AXbLZb。利用1L解1ZL b，再通过1U解1XUZ。 该方法讲 A、b 同时一起作初等行变换， 优点：快捷、稳定； 缺点：由硬件决定，运算规模受到限制。 2 选主元 对线性方程组 12011 112xx 它的解应为 121
2、 1xx 对于高斯消元法，0 由特别小的正数替代，即 1211 112xx 解得 12111 2211 (1)?xxx 可以看到1 12(1)xx大小不能确定。 经初等行变换使11a 变成一个不接近 0 的较大的数， 具体地， 对于线性方程组12011 112xx 交换两方程的位置，即 3 12112 11xx 解得 21 121211 21xxxx 3 基于 Matlab 的数值试验 3.1 计算平台： CPU（2.50GHz） 、 RAM（4.00GB） 、 OS（Windows 7 旗舰版） 3.2 参数设置： 因为所用方法为直接法，所以不考虑算法误差、计算精度、迭代步数问题。 3.3
3、计算结果（程序代码详见附录） 线性方 程组 1231231231132323110221xxxxxxxxx 12123123226244385xxxxxxxx 12342342342346224124221012821231426xxxxxxxxxxxxx 方程组 的解 1231.00002.00001.0000xxx 1230.62000.76000.0300xxx 12341.00003.00002.00001.0000xxxx 计算时 间（s） 0.000000 0.000000 0.000000 4 5 3.4 分析改进 对所求解的三个线性方程组，可以看到运算的时间都接近于 0，说明用
4、直接法解线性方程组的时间， 尤其是低阶的线性方程组， 所需时间很短。 对于高阶、超高阶的线性方程组的运算能力有待进一步验证； 经 Matlab 计算的三个线性方程组的解，都为线性方程组的真实解。后面的尾数 0 为程序的默认保留小数位数； 改进：在选主元时，是以对应列中系数ija的绝对值最大的，作为主元的；如果先计算线性方程组每行的尺度（以每行中最大的|ija为尺度is ） ，再通过ijias得比较来选择主元，效果会更好。 6 二、迭代法（Gauss-Seidel 迭代法）解线性方程组 1 迭代法（分裂迭代） 对线性方程组AXb，可找一个与 A 相近且易于求逆的矩阵 Q，使原方程组等价于 ()Q
5、XQA Xb 11()XIQ A XQ b 其中，I 是单位阵。 构造迭代式111()kkxIQ A xQ b 若kx收敛，则*1*1()xIQ A xQ b 分析kx的收敛性，1*1*1*| |()()| | |kkkxxIQ A xxIQ Axx 当且仅当1| 1IQ A 时，kx全局收敛。 2 Gauss-Seidel 迭代 当 Q 时，分裂迭代变为 Gauss-Seidel 迭代 1111()kkkxDLxUxD b 11111()()() ()()kkkxDLUxDLbDLDLA xDLb 3 基于 Matlab 的数值试验 3.1 计算平台： CPU（2.50GHz） 、 RAM（
6、4.00GB） 、 OS（Windows 7 旗舰版） 3.2 参数设置： 编写的 m 文件函数值误差限31 10 、最大迭代步数100M 。 3.3 计算结果（程序代码详见附录） 7 线性方 程组 1231231231132323110221xxxxxxxxx 12123123226244385xxxxxxxx 12342342342346224124221012821231426xxxxxxxxxxxxx 方程组 的解 1230.99831.99670.9976xxx 1230.62000.76050.0298xxx 12340.99542.99021.98591.0044xxxx 迭代次
7、 数 27 7 76 计算时 间 0.046800 0.031200 0.046800 8 9 3.4 分析改进 对于所求解的三个低阶方程组，求解时间相对直接法要长一些，但即便长一些，对于人的放映时间仍然是可以忽略的，随着运算阶数的增加，因为直接法硬件的限制及迭代法对内存要求不多的优点，猜测直接法的优势逐渐消失，而迭代法的应用价值会愈加明显； 线性方程组的解都接近于真实解，而不是真实解，这是所选误差限0.0001的缘故，如果进一步缩小误差限，会得到更加准确的解，并可能达到真实解， 但现实生活中的运算大都出于工程实际需要， 满足一定的精度要求即可； 改进：增大误差限，增大最大迭代步数M,求取所给
8、线性方程组更准确的解。 无论是选列主元 Gauss 消元法，还是 Gauss-Seidel 迭代法，在举例计算中都只考虑了系数矩阵 A 的秩与增广矩阵（A, b）的秩相等且等于矩阵的长度 n（即( )( , )R AR A bn） 的情况， 虽然在选列主元Gauss消元法中由( )R A、( , )R A b、n三者间的关系对线性方程组的情况进行了判断，但对于( )( , )R AR A bn的情况，没有对线性方程组解的通式进行求解。 10 参考文献 1 同济大学数学系， 线性代数 （第五版） M， 高等教育出版社， 2007， P71-P78 2 David Kincaid, Ward Ch
9、eney, 数值分析（第三版）M，机械工业出版社，2005，P132-P136，P170-P172 3 徐跃良，数值分析M,西南交通大学出版社，2005，P99-P103，P143-P147 11 附录 选（列）主元 Gauss 消元法 clear;clc; A=input(输入系数矩阵A:); b=input(输入常数项向量b(按行向量):); t0=cputime;%记录开始运算时间t0 B=A b; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B); zhica=RB-RA; if zhica0,disp(请注意：因为RA=RB,所以此方程组无解！n) return
10、 end if RA=RB if RA=n fprintf(请注意：因为RA=RB=%d，所以此方程有唯一解！n,n) X=zeros(n,1); for p=1:n-1 t=find(abs(B(p:end,p)=max(abs(B(p:end,p)+p-1; if abs(B(t,p)=abs(B(p,p) l=B(t,:); B(t,:)=B(p,:); B(p,:)=l; end %列主元判断 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end %把系数矩阵A化为同解的上三角矩阵 b=
11、B(1:n,n+1); A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)/A(q,q); end %从xn至x1逐个求解上三角方程组 else disp(请注意：因为RA=RBn，所以此方程组有无穷多解！) return end end t=cputime-t0;%计算程序运算时间t disp(方程组的解为：);X fprintf(n运算时间t=%fsn,t) 12 附录 Gauss-Seidel 迭代法 clear;clc; A=input(输入系数矩阵A=); b=input(
12、输入常数项向量b=); t0=cputime;%记录开始运算时间t0 N=length(b); %解向量的维数 fprintf(库函数计算结果：); x=inv(A)*b %库函数计算结果 x=zeros(N,1);%迭代初始值 %-(A=D-E-F)- D=diag(diag(A); E=-tril(A,-1);%下三角 F=-triu(A,1);%上三角 B=inv(D-E)*F;g=inv(D-E)*b; eps=0.0001;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代 %-开始迭代- for k=1:100 %最大迭代次数为100 fprintf(第%d次迭代：,k); y=B*x+g; fprintf(n与上次计算结果的距离(2范数):%f n,norm(x-y)2); if norm(x-y)eps break; end x=y end t=cputime-t0;%计算程序运算时间t x fprintf(n运算时间t=%fsn,t)
