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1、11.2 线性有限元的回顾线性有限元的回顾线性有限元的理论虽然不是本课程的重点，而线性有限元法是非线性有限元法的基础；非线性有限元法又是线性有限元法的发展。因为非线性问题的求解通常是采用分段线性化的思想，使其成为一系列的线性问题。因此有必要首先回顾线性有限元的一些基本内容。主要是线性有限元的基本理论和方法，以及当前应用最广的等参元理论。固体力学的理论（材力、弹力、结构力学，无论是线性还是非线性）是建立在本构方程、几何（运动）方程以及平衡方程三方面方程的基础上的，由此导出的控制方程的解是满足上述充分、必要条件的唯一解，而且是反映了结构真实受载后的运动状态（变形） 。在结构分析中许多情况下，本构和
2、几何方程可以处理成线性，使控制方程线性化，求解也大大简化，同时可达到工程上的精度要求，这就是线性有限元的基本理论。1.2.1 线性本构关系（广义虎克定律）线性本构关系（广义虎克定律）影响结构材料性能有诸多因素（应力、应变、变形率、温度、湿度、时效等） ，而通常建立本构方程时仅考虑应力、应变两个物理参数，认为两者成线性关系的经典的弹性理论，即著名的虎克定律。各向同性材料的 Hooke 定律或 其中ijijklklDijijklklC 1和分别为弹性阵和柔度阵。ijklDijklC由剪应力互等定理，弹性阵独立材料参数的个数由 81 个减少为 21 个。进9 9ijklD而对于正交异性的材料参数为
3、9 个独立的参数，对于各向同性材料：011 21,2,322(1),e ijijijEGGEddSdi j 2仅有两个独立的材料常数，即和，其中为弹性模量，为泊松比。EE1.2.2 线性几何方程（小变形情况）线性几何方程（小变形情况）线性（小变形）关系： 1 ,2ijTUUUi jj i 3位移边界条件：边界上 其中为位移向量，为边界上的指定位移，uSUUUUuS为微分算子。 T实际结构可根据它们的几何特点，将三维问题简化为二维问题，这里主要有：平面 应力、平面应变和轴对称状态。 1）平面应力（薄壁结构） 外力仅作用在平面内，两表面无外力作用（离心力作用下圆盘）两表面应力分量（且在整个厚度方向
4、上），=0，而、沿厚度均匀分布。yzxzzzxxyyxy2按 Hooke 定律， 241 0xxyyxyxxyyzzzzxzyzu x v yvu xy 得弹性阵 10 2/(1)105 1002DE 2）平面应变（沿轴线的几何形状和外载无明显变化的物体） ，如水坝，挡土墙等很长的物体，在离两端一定距离处，可以假定任意横截面上的位移、应力、应变等力学量仅是 x、y 的函数，沿物体纵向无变化，进一步假设沿 z 方向位移 w 为常数或为 0，则有 , 210 10611 21 20020,zzyyxzzyxvuw yzxED 3）轴对称问题（广义的平面应变）用轴坐标代替直角坐标， （例如厚壁筒，高
5、压罐，炮筒） 。， ru r zw z u r2rzuw zr 16 101110111 1 211 20002 10111ED 2631.2.3 平衡方程（虚功原理）平衡方程（虚功原理）经典力学给出了结构的平衡方程：or ,0ji jif,0ij ijf 17边界条件 or 在上 ji jilfiettSS 27为应力张量，为体力， 为结构内力，为外部表面力，直接由平衡方程出发导ijifitet出适合各类边界条件的有限元控制方程是困难的，但是从经典的虚功原理或加权余量原理出发，可得到广泛使用的有限元控制方程。虚功原理认为：一个处于平衡的物体当发生满足位移边界条件的连续（微小）虚位移时，其外力
6、虚功等于物体中应力在虚应变上产生的变形能。其表达式为：iuijijijiieiVVSdVfu dVtu dS 8其中为对应（虚位移）的虚应变，而虚位移应满足位移应变的几何关系u和位移边界条件。以位移作为基本未知量的方程是当今有限元的,1 2iji jj iuuUU主流称为位移法（位移模型） ，一个变形体总位能为：= ，式中是变形能，UWU是外力功，按虚功原理 W0UW 9按照变分运算规则，仅对位移取变分，而力和应力不变，因此， ijijVUdV iiiiVSWfu dVt u dS 10代入式即式。 9 8按照上述能量原理，产生了多种求解结构位移的方法，如李兹法，伽辽金法等，有限元法与经典李兹
7、法的一个重要区别是：有限元法不寻求在结构整个域上的连续位移函数，而是寻找各个子域（单元）上，满足域内及域边界上连续的位移函数。设将物体分成若干个互不重迭的单元（包括三角单元，矩形单元等） ，对每个单元，设节点位移未知量，在单元内部和边界上满足位移协调条件的插值函数。于是体 QN内位移场 UNQ 11代入几何关系可得 3 TNQBQ 12其中为式中微分算子。将其代入方程则有 T 3 8进一步将 13TTTTTT VVSqBdVqNfdVqNt dS4本构关系代入，上式成为： D K qFT 14其中 单元刚度矩阵 T VKBD B dV作用于节点的当量体力 T VFNf dV 15作用于节点的表
8、面力 T sTNt dS 这里是指整个物体中所有单元求和，积分仅对每个单元域，这样在实际计算中对各单元，可用单元自身坐标系（局部坐标） ，然后通过坐标转换成总体坐标后再进行叠加。如果以结构的内力或对应应力为基本未知量，位移仅是因变量，那么构成的变形能为余能如图。将虚功原理用于余能构成虚余能原理：在满足平衡条件及应力边界条件的所有可能的力与应力中，满足协调条件的状态使余能取最小值。其数学表达式为 ， cccuw其中为余能，为余变形能，为外载余能。ccucw在有些情况下，如板壳结构，断裂分析以及接触分析，使用节点位移及应力（或者当量节点力）混合的方法或用节点位移和边界当量应力/应变杂交的方法。或许
9、会更方便，且比单纯位移模式精度更高。这些模式的推导主要基于广义变分原理（或加权余能原理）胡海昌-鹫津久一郎变分原理是最早提出的，也是最基本的。1.2.4 有限元方法的三个基本步骤有限元方法的三个基本步骤1离散化。把连续体分割为有限个只在结点上相连接的单元组合体。2单元分析。a.取位移插值函数；b.建立单元几何关系，本构关系；c.通过虚位移原理，建立平衡方程，即得到，并令单元刚度矩阵为： eT VeBDB dV qF eeT VkBDB dV 163总体分析集合所有的刚度矩阵和节点载荷向量，成为整个系统的平衡方程。由于离散化的原因，此时不再是弹性力学中连续体的无限个自由度的偏微方程组，而是一个有
10、限自由度的线代数方程组； eekqFkqF 17通过求解，可得该系统各节点上的总位移向量，进而可求得各单元中的应变和 q应力，从提取，得到单元中应力和应变； q eq5 ,eeeeBqD 181.3 等参单元等参单元 单元如同生物中的细胞，是有限元分析中最基本的部分，因此如何有效地建立单元刚度阵及计算它们是很重要的环节。在实际分析中，等参单元是非常重要的一类元素。艾恩斯（IRONS）等人提出的等参单元理论，是对有限元的一大贡献。由于等参单元普遍具有精度高可靠性好的特点，在国内外当前流行的大型通用有限元程序中，品质好的等参元几乎成为单元库的主体，线性分析如此，非线性分析亦如此，因此有必要回顾一下
11、它的基本理论。1.3.1 单元位移插值单元位移插值在单元内选取适当的位移模式，将单元内部各点位移（场）用该单元节点上的位移表示。 即： iiiuuvNqw 1in 19形函数应满足的条件：a)单元内位移连续且保证单元间位移协调（conforming） 。b)保证其刚体位移（常数项） ，保证单元作刚体运动时无应变。c)包含任意线性项，满足常应变条件，保证其收敛性。一旦位移模式选定之后，就可以按几何、物理、平衡三方面条件推导单元刚度矩阵，同时在一定的单元数目下，解的精度也就确定了。因此选择单元模式很关键。因此，要改善解的精度，也得从改进单元模式入手。例如： 1. 一维两结点线性杆单元设 12iju
12、N uN u 20其中 11xNl 2xNl2. 常应变（常应力）三角形平面单元（二维）定义： 为的面积。，分别为 ，的面积。有，ijkijkpjkpikpjii ，且结点 上， ，1iL i1iL 0jkLL采用面积坐标：，。i iLj jLk kL内任一点的面积坐标为：（，） ，iLjLkL6设面内两个方向的位移为线性函数： ， 31ii iuLu31ii ivLv 21以上直接选取的线性位移模式是对实际问题的最低阶逼近，精度受到很大限制，实际工程中需要的单元以形状、性能都比较复杂，下面特别要介绍的是等参单元。1.3.2 基于坐标变换的等参单元基于坐标变换的等参单元前面介绍的杆和三角形平面
13、单元，形状特别简单，可在物理坐标中直接找到合适的位移模式（插值函数） ，但又难于适应工程中的复杂形状和性能，为了解决这一矛盾，等参元利用了坐标变换。1)坐标变换： 下面我们称实际具有曲线边界，形状复杂的单元，在物理空间坐标下定义为子单元；, ,x y z而假设通过坐标变换将子单元变换到某一参数空间的坐标系中形状简单的母单元。, , 这样一方面子单元的形状，特征，荷载条件都来自于实际结构；另一方面，大量的计算工作是在母单元上进行的，由于它形状简单规律、计算方便。举例：线性矩形单元这也是一种常用的单元，它采用比三角形常应变单元有较高的位移模式，以便更好的反映弹性体中的位移和应力状态。矩形单元 1,2,3,4 面积 ，我们可以在22ab坐标下（物理空间）推
