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1、特殊平行四边形特殊平行四边形 数学数学 学科教师辅导讲义学科教师辅导讲义年年 级：级： 辅导科目：数学辅导科目：数学 课时数：课时数：3 3 课课 题题 特殊平行四边形特殊平行四边形 教学目的教学目的教学内容教学内容一、一、 【中考要求中考要求】掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之 间的关系，掌握矩形、菱形、正方形的性质，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的 条件。二、二、 【三年中考三年中考】1(2008台州)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中 点，且 OEa，则菱形 ABCD 的周长为( )A16a
2、B12a C8a D4a 解析：在菱形 ABCD 中，ACBD，又 OE 平分 AB，AB2OE2a，菱形 ABCD 的周长为 8a. 答案：C 2(2009杭州)如图，在菱形 ABCD 中，A110，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点， EPCD 于点 P，则FPC( )A35 B45 C50 D55 解析：过 F 作 FNAB，交 PE 于点 N，则 FNEP 且 FN 平分 EP，FEFP，FEPFPE，FPCFEB55. 答案：D 3(2010舟山)如图，边长为(m3)的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后， 剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为
3、3，则另一边长是( )A2m3 B2m6 Cm3 Dm6 解析：设另一边长为 a，由面积法可得：(m3)2m23a，a2m3. 答案：A 4(2008温州)如图，菱形 ABCD 中，A60，对角线 BD8，则菱形 ABCD 的周 长等于_解析：菱形 ABCD 中，ABAD，又A60，ABD 是等边三角形，ABBD8，菱形 ABCD 的周长是 32. 答案：32 5(2010丽水)如图，正方形 ABCD 中，E 与 F 分别是 AD，BC 上一点在AECF，BEDF，12 中，请选择其中一个条件，证明 BEDF. (1)你选择的条件是_；(只需填写序号) (2)证明解：(解法一) (1)选_；
4、(2)证明：ABCD 是正方形，ABCD，ACRt. 又AECF，AEBCFD. BEDF. (解法二) (1)选_； (2)证明：ABCD 是正方形，ADBC. 又BEDF，四边形 EBFD 是平行四边形BEDF. (解法三) (1)选_； (2)证明：ABCD 是平行四边形，ABCD，ACRt. 又12，AEBCFD. BEDF. 6(2008湖州)如图，在ABC 中，D 是 BC 边的中点，F，E 分别是 AD 及其延长线 上的点，CFBE.(1)求证：BDECDF. (2)请连结 BF，CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由 证明：(1)CFBE，EBDFCD. 又
5、BDECDF，BDCD， BDECDF. (2)四边形 BECF 是平行四边形 由BDECDF，得 EDFD. BDCD，四边形 BECF 是平行四边形三、三、 【考点知识梳理考点知识梳理】（一）矩形的定义、性质和判定矩形的定义、性质和判定 1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是 轴对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点 3判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩 形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形 （二）菱形的定义、性质和判定菱形的定
6、义、性质和判定 1定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相互相垂直，并且每条对角线平分一组 对角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 3判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （三）正方形的定义、性质和判定正方形的定义、性质和判定 1定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形 2性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等； (2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 3判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(
7、2)有一组邻边相等的矩形是正方形 温馨提示： 1. 矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质； 2. 平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、 角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握 它们的区别及联系，把握它们的特征是关键。 （四）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系四、四、 【中考典例精析中考典例精析】类型一类型一 矩形的性质与判定矩形的性质与判定(1)如图，已知矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，记点 C 的对应点为 C，若 ADC20，则BDC 的度数为_例 1(1)题例 1(
8、2)题(2)如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EFEC，且 EFEC，DE4 cm，矩形 ABCD 的周长为 32 cm，求 AE 的长【点拨】(1)本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设BDCx，则ADB(90x)，x90x20，x55. (2)本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质 【解答】(1)55 (2)解：在 RtAEF 和 RtDEC 中， EFCE，FEC90， AEFDEC90.而ECDDEC90， AEFECD. 又FAEEDC90，EFEC， RtAEFRtDCE，AECD. 矩形 ABCD 的周长为 32 cm，ADAE4，
9、 2(AEAE4)32 解得 AE6(cm) 类型二类型二 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 (1)已知菱形的两对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的面积为_ cm2. (2)如图，已知菱形 ABCD 的一个内角BAD80，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在 AB 上，且 BEBO，则EOA_度(3)如图，在ABCD 中，EFBD，分别交 BC、CD 于点 P、Q，交 AB、AD 的延长线 于点 E、F.已知 BEBP. 求证：EF；ABCD 是菱形 【点拨】本组题考查菱形的面积公式和菱形的性质与判定【解答】(1)24 S菱形 6824.12 (2)25 在菱形 ABCD
10、中，BAD80，BAO40，ABO50，又 BEBOBOE65.又AOB90，EOA25. (3)证明：在ABCD 中，BCAD，1F. BEBP，E1.EF. BDEF，2E，3F. EF，23，ABAD， ABCD 是菱形 方法总结：条件中有菱形时，除了应用菱形的性质外，同时也可以应用平行四边形的性质。类型三类型三 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 (1)下列说法不正确的是( ) A一组邻边相等的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形 C对角线互相垂直的矩形是正方形 D有一个角是直角的平行四边形是正方形(2)如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一
11、点，连结 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连结 BE、DF证明：ABEDAF； 若AGB30，求 EF 的长 【点拨】(1)当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形(2)考查正方形的性质 【解答】(1)D (2)四边形 ABCD 是正方形，ABAD. 在ABE 和DAF 中，Error!ABEDAF. 四边形 ABCD 是正方形，1490. 34，1390，AFD90. 在正方形 ABCD 中，ADBC，1AGB30. 在 RtADF 中，AFD90，AD2， AF，DF1.3由得ABEADF，AEDF1. EFAFAE1.3方法总结：正方形的性质和判定是平行四边形知识的综合，是中考命
12、题的热点之一，解决 正方形问题的关键是理解正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的关系。五、五、 【易错题探究易错题探究】在菱形 ABCD 中，DAB120，如果它的一条对角线长为 8 cm，求菱形 ABCD 的 边长【解析】分两种情况，连结 AC，若对角线 AC8 cm，12，34.由菱形性质知，BAC BAD60，ABC60.12ABC 是等边三角形，即菱形 ABCD 的边长为 8 cm. 连结 BD，若对角线 BD8 cm.ABC180DAB60，OB BD4.12OBA ABC30，OA AB，1212 由 OA2OB2AB2.所以 AB4.6 cm. 所以菱形 ABCD 的边长为 4.6
13、 cm. 由、知菱形 ABCD 的边长为 4.6 cm 或 8 cm. 【易错警示】由条件“菱形的一条对角线长为 8 cm”可知，有 AC8 cm 或 BD8 cm 两种情况，只凭主观印象作出结论易漏解六、六、 【课堂基础检测课堂基础检测】1把一张矩形纸片(矩形 ABCD)按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF，若 AB3 cm，BC5 cm，则重叠部分DEF 的面积是_ cm2.答案：5.1 2如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到 E，使 AEAC，则BCE 的度数是 _.答案：22.5 3如图，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点 (1)请判断四边形 EFGH 的形状？并说明为什么 (2)若使四边形 EFGH 为正方形，那么四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的性质？解：(1)四边形 EFGH 为平行四边形，连结 AC.E、F 分别是 AB、BC 的中点，EFAC，EF AC.12同理 HGAC，HG AC.12EFHG，EFHG. 四边形 EFGH 是平行四边形 (2)四边形 ABCD 的对角线垂直且相等七、七、 【课后达标练习课后达标练习】一、选择题 1菱形的周长为 8 cm，高为 1 cm，则菱形两邻角度数比为( ) A31 B41 C51 D
