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1、2. 预备知识在这一节，作为预备知识,我们介绍 Banach 空间，线性算子和线性算子 谱等概念.2.1 Banach 空间首先引进线性空间和赋范线性空间的定义 定义定义 2.1.12设是一个集合，其中规定了两种运算（“加法”与数乘） ，X 使得(1)关于加法构成交换群：，存在，称为与之和，XXyx ,Xuuxy记为,满足，yxuXyx , ,xyyx ,zyxzyx)()( 存在，使得,X0xxXx0, 对于每个存在使得.记,称是,XxXxXx,0 xxxxx的负元,x(2) 数乘运算可行：,存在,称 为与的积，记为RXx,Xvvx,满足,xvRXyx, ,xx 1 , xx ,xxxyxy
2、x,则称是线性空间. X定义定义 2.1.2设是线性空间，若映射满足 2 XRXp:(1),Xxxp , 0)(2), RXxxpxp,)(3), Xyxypxpyxp,(4)时, 0xp0x则称是上的范数，此时记,称是线性赋范空间.pX xxp,X 我们为了引进 Banach 空间的定义，我们先引进完备的赋范线性空间的定 义定义定义 2.1.3 设是赋范线性空间，是中的一个点列,若2,X nx ,X，则称是点列.0lim , mnnmxx nxCauchy定义定义 2.1.4 若中的每个点列都是收敛的，即,使 2 ,XCauchy nxXx得,则称是完备的.0lim xxn n,X定义定义
3、2.1.5 完备的线性赋范空间称为空间. 2 Banach下面我们举一个 空间的例子.Banach 例例 2.1.12.1.1 是空间.nRBanach 证明：证明：首先，证明空间按范数nR=，x22 22 1nxxxLn nRxxxx),(21L成为一个赋范线性空间显然，对，有 n nRxxxx),(21L022 22 1nxxxL且当且仅当.022 22 1nxxxL0x对(常数)，有 )(22 22 1222 22 1nnxxxxxxxLL=；22 1nxxLx对，, 有nRyx ,),(),(2121nnyyyyxxxxLL22 222 11nnyxyxyxyxL,yxyyyxxxnn
4、22 22 122 22 1LL由赋范线性空间定义可知，按范数nR=，x22 22 1nxxxLn nRxxxx),(21L成为一个赋范线性空间 其次，我们证明空间是完备的.nR设是中任意一个 Cauchy 点列,其中,，则pxnR),(21p npp pxxxxL0由 Cauchy 点列定义,，有NNNrp ,， 2/112)(nir ip irpxxxx),(Nrp（2.1.1）于是，对于以及，有Nrp,ni, 2 , 1L.r ip ir ip ixxxx及2)(根据 Cauchy 收敛准则有)(pxxip i显然,.在（2.1.1）式中令，则得n nRxxxx).,(21r)(npxx
5、p是按范数收敛于，即是完备的 1nnxxnR因此，按范数=成为一个 Banach 空间nRx22 22 1nxxxL2.2 线性算子在这一段，我们介绍线性算子的定义定义定义 2.2.1 设是两个非空集合，是一个对应规则，它使每个3BA,f,对应惟一的元素，记为,则称是到的一个映射，记AxBy xfy fAB作或.BAf:BAf叫做映射的定义域，记为 称为映射的定义域.Af AxxfAffD,f定义定义 2.2.2 设，都是赋范线性空间，是映射，若3XYYXT:,RXxx,21,2121TxTxxxT称是线性算子.T 下面我们举一个线性算子的例子例例 2.2.12.2.1 设.对于每个阶矩阵,定
6、义mnRYRX,nm ijaA 使得 mnyyyxxxTYXTLL2121,:. (2.2.1)mjxayniijij, 1,1L容易验证是线性算子.若用矩阵表示，式（2.2.1）即T.xxxaaaayyymmnmnmM LMMLM21111121证明：证明：设 ，下面验证是线性算子.aaaamnmnALMML1111 T因RXxxxaxxxann,212211LLnnxxxxxxTaaT,212121LLxxxxxxnnT,2211L,xxxxnnA M11nnxxxTxxxTTaTa,212121LL.xxxxxxxxxxnnnnAAAMMM112121故，所以是线性算子.2121TaTa
7、aaTT定义定义 2.2.3 设，都是线性赋范空间，分别是与的共轭2XY*X*YXY空间，.若线性算子满足YXBT,*:XYT ,*TxyxyT*,YyXx则称是的共轭算子.*TT例例 2.2.2 设是有界线性算子，是的一组基.令mnT:nee,1Ln则是闭子空间，由,111nkkkeeeespanYLLkYkkYe 延拓定理，存在必要时乘上一BanachHahn ,*n ke 0),(*kkkkYedee个不为 0 的常数，可设，对于其余的，即满足 1*kkeeie 0*ikeenee*1*,L ., 0, 1* ikikeekiik称是的对偶基.nee*1*,Lnee,1L类似地，若是的一
8、组基，则存在是m,1Lm *1*,mmL的对偶基.m,1L现在设在基底与之下相应的矩阵，即Tnee,1Lm,1L ika. mkkikiaTe1ni, 2 , 1L若是的共轭算子，与对应的矩阵是，即 *:nmTT*T jkb， nkkjkjebT 1*mj, 2 , 1L则根据共轭算子的定义，应有 *,jijiTeTe.1 ,1mjni实际计算可知，jinkkjkijibebeTe 1*,.ijmkjkikjiaaTe 1*,所以.ijjiab这说明是的转置矩阵.换句话说，从有限维空间到有限维空间的线 ijb ija性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵.2.3 线性算子的谱在
9、这一段，我们介绍线性算子谱的定义.定义定义 2.3.12称是正则算子，若是到上的一一的，并且是 XBAA1A有界算子. 定义定义 2.3.22设是复的赋范线性空间，是线性算子， XXXA:C(1)若是正则算子，则称是的正则点.AA(2)若不是正则算子，则称是的谱点.的正则点的全体记为，AAA A称是的谱集. AA(3)特别地，若不是可逆的（即不是一一的） ，即方程AA有非零解，则称为的特征值，的特征值的全体记为.0)(xAAA Ap(4)若是可逆,但不是到上的，而值空间在中稠密，则称AARX为的连续谱，连续谱的全体记为.A Ac(5)若是可逆，而值空间不在中稠密，则称为的剩余AARXA谱，其全体记为. Ar定义定义 2.3.33若为的特征值，则对应的特征向量张成空间的维数称A 为的几何重数.
