概率论学年论文

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1、0目目 录录1、内容提要 12、关键词 13、引言 14、概率论的起源 15、概率论理论基础的建立 26、概率论的公理化 27、相关事例 38、概率论在生活中的应用 39、总结 410、参考文献 61概率论的发展历史概率论的发展历史学生姓名：谢原学生姓名：谢原 指导老师：郑学谦指导老师：郑学谦内容提要：概率论是一门研究随机现象数学规律的学科。它起源于十七世纪中叶，当时 刺激数学家们首先思考概率论的问题，确实来自于赌博者的问题。费马、帕卡斯、惠更斯 对这个问题进行了最初的研究和讨论，科尔莫哥洛夫等数学家对它进行了公理化。后来， 由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉普拉斯、

2、高斯等著名 数学家对这方面内容进行了研究。发展到今天，概率论和以它为基础的数理统计学一起， 在自然科学、工程技术、社会科学、军事科学以及生产生活实际等诸多领域中起着不可替 代的作用。 关键词：概率论；随机现象；公理化；引言：引言：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而 言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯 水加热到 100时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试 验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面 或反面。 概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌

3、博和人口统计模型。随着人类 的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种 结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与 统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至 人文科学中。 随着 18、19 世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之 间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动 了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家 j.伯努利，他 建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于

4、它的概率。 随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第 二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普 拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了分析的概率理论，明确给出了概率的古典定 义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19 世纪末， 俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限 定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20 世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面柯尔莫哥洛夫、维纳、马尔可夫、 辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。概率论的起源概率论的起源2三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行

5、赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博 方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的， 即出3现 1 点至 6 点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗 骰子，则点数之和为 9 与点数之和为 10，哪种情况出现的可能性较大？ 17 世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德梅耳，发现了这样的事实：将 一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷 24 次，至少出现 一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德梅耳问题。又有人提出 了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得 6 局便算赢家。如果在

6、一个 人赢 3 局，另一人赢 4 局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大 小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。数学家们“参与”赌博参赌者将他 们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答， 而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问 题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后， 他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终 于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率 论的一

7、个基本概念数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯 经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657 年，他将自己的研究成果写 成了专著论掷骰子游戏中的计算。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因 此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率 时期，计算各种古典概率。概率论在实践中曲折发展概率论在实践中曲折发展在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的 基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、 误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论

8、的发展，从 17 世纪 到 19 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学 家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷 的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程 技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于 一般的随机现象。因此可以说，到 20 世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有 确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。 概率论理论基础的建立概率论理论基础的建立概率论的第一本专著是 1713 年问世的雅各.贝努利的推测术。经过

9、二十多年的艰 难研究，贝努利在该书中，表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律”，简单 的说就是当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理 第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向 更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。 为概率论确定严密的理论基础的是数学家科尔莫哥洛夫。1933 年，他发表了著名的 概率论的基本概念，用公理化结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后 的概率论的迅速发展奠定了基础。概率论的公理化概率论的公理化4概率的公理化包括两个方面：一是事件的公理化表示（利用集合论），二是概率的

10、公 理化表示（测度论）。其次是建立在集合之上的可测函数的分析和研究，这就可以利用现 代分析技术了。 1933 年，前苏联数学家科尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。即通过规定概率应具 备的基本性质来定义概率。下面介绍用公理给出的概率定义。 设随机实验 E 的样本空间为 。若按照某种方法，对 E 的每一事件 A 赋于一个实数 P(A)，且满足以下公理：1非负性：P(A)0；2规范性：P()=1； 3可列（完全）可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件 A1，A2，An，有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An) +，则称实数 P(A)为事件 A 的概率。相关事例相关事例人们普遍认

11、为,对将要发生的机率的一种不好的感觉，或者说不安全感（俗称“点背”） 是实际存在的。下面列出的几个例子可以形象阐述人们有时对机率存在的错误的认识：1.六合彩：在六合彩（49 选 6）中，一共有 13983816 种可能性（参阅组合数学）， 普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在 13983816/52（周）=268919 年后获 得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不 会因为时间的推移而变大。 2.生日悖论：在一个足球场上有 23 个人（211 个运动员和 1 个裁判员），不可思议 的是，在这 23 人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大

12、于 50%。 3.轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越 来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记 忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是 18/37。 4.三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面 有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是， 参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人 打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不 要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机

13、率更大一些？正确结果是，如果参赛者 改变初衷，他的中奖概率将变成 2/3。因为打开山羊门的那一刹那，本来的选择结果已经 从 1/3 几率变到了 1/2 几率，如果改变初衷此时将是 1/2 中奖的几率。有三种可能的情况， 全部都有相等的可能性(1/3)参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。参赛者挑汽车，主持人挑两头 山羊的任何一头。转换将失败。在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第 三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过 转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是 2/3。概

14、率论在生活中的应用概率论在生活中的应用数学家们通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出概率论某种确定的规律，而 这种规律性又是许多客观事物所具有的，所以，概率论应用也随之扩宽了。5众所周知，接种牛痘是增强机体抵抗力、预防天花等疾病的有效方法。然而，当牛痘 开始在欧洲大规模接种之际，它的副作用引起了人们的争论，伯努利家族的另一位数学家 丹尼尔.伯努利根据大量的统计数据，应用概率论的方法，提出了接种牛痘能延长人的平均 寿命三倍的结论，从而消除了人们的恐惧与怀疑，为这一杰出的医学成果在世界范围内普 及扫除了障碍。 现在，概率论与以它作为基础的数理统计学一起，在自然科学，社会科学，工程技术， 军事科

15、学以及工农业生产等诸多领域中起着不可或缺的作用。 直观的说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份 功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等方面更离不开概率论与数理统计；电 子技术的发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。 例如，天气预报的制作中就有一种统计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学和预 报员时间经验的基础上，应用概率论和数理统计方法，再利用电子计算机，根据历史资料 制作概率天气预报。它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”，某种气象要素值 “大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大。如对降水的预报，传统的天气预报 一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水 的可能性越大。 为了使大家更直观的了解概率论的应用，下面我给大家举一个概率论在社会调查中应 用的例子。对于某些被调查不愿公开回答的问题，运用概率论的方法可以得到较准确的结 论。举个例子，对一批即将出国留学的学生进行调查，确定学业完成后愿意回国者所占的 比例。对于“完成