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1、1概率在实际问题中的应用概率在实际问题中的应用【摘要】概率论是一门研究随机现象和统计规律性的科学，它产生于社会客观实际的需要，和社会生产力的发展有密切关系，已广泛地用于自然科学、社会科学、军事和工农业生产实践中。它是数学学科的一个分支，课程的应用几乎已渗透到所有领域。随着科学技术的迅速发展与计算机的普及应用，概率正被广泛地应用于各种行业，成为我们研究自然科学、社会现象和公共事业的有力工具。同时概率在一定的社会条件下与人类的实际生活有着密切的联系，被国民经济的生产和生活广泛的应用。随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。概率与我们
2、的生活更是息息相关、密不可分，本文由现实生活中的部分现象探讨了概率知识的广泛应用。【关键词】 随机现象； 概率； 应用分析在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如在标准大气压下，水加热到 100 摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子
3、的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是 100%或者说是 1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是 0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某
4、天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于 0 和 100%之间，或者说 0 和 1 之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生2某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。概率的公理化定义 设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：AP(A)非负性公理非负性公理 若，则0；AP(A)正则性公理正则性公理 ；P() =1可列可加性公理可列可加性公理 若，互不相容，有 12A ,A ,An+=1=1PA=P(A ),ii
5、ii U则称为事件 A 的概率P(A)走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国 100 个人中就有 3 个彩民。通过对北京、上海与广州 3 城市居民调查的结果显示，有 50%的居民买过彩票，其中 5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。 “以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从 35 个号码中选择 7 个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：
6、记为中第 等奖的概率（1,2，7） ，各等奖中奖的概率为Pii=i6 171277001p= 0.149 103567245207 6 271276107p=1.04 103567245207 36 37127611189p= 28.106 103567245207 6 47127511567p= 84.318 103567245207 3 571275027371p=1.096 103567245207 3 6712741212285p=1.827 103567245207 3 771277127+403313204750p= 30.448 103567245207 由此看出，只有极少数人能
7、中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。大学英语四级考试
8、是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作 15 分外，其余 85 道题是单4项选择题，每道题有 A、B、C、D 四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作 15 分，及格按 60 分算，则 85 道题必须答对 51 题以上，可以看成 85 重贝努利试验。 概率非常小，相当于 1000 亿个靠运气的考生中仅有 0.874 人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。 因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经
9、说过：“概率是人生的真正指南” 。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。 如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率” ，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率” 。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。 总之，由于随机现
10、象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。在日常生活中，概率的应用更是广泛，几乎是无处不在。正如英国的逻辑学家杰文斯（Jevons 18351882）所说：概率论是生活真正的领路人，如果没有概率的估计，我们的生活就寸步难行，无所作为。我们不难发现，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系，下面就从几个方面来具体说明。1.博彩问题纵观概率历史发展的长河，我们可以发现概率和博彩已经是水乳交融了。很久很久以前，数学家就试图从理论上考虑博彩问题。最先开始研究的是意大利数学家帕乔立（L pacioli)在 1494 年出版的算术一书中提出的赌注问题，到后来的荷兰数学家惠更斯在 1659
11、年出版的论赌博中的计算 ，都在(G . H uygens,1629- 1695)研究概率在赌博中的问题。他们的研究相应地使得概率的概念与定理得到拓展和发5展。古典概率是概率论中最早的概型，也是广泛应用的概型。博彩类的问题大都是古典概率知识的应用。假设我们用表示事件“中奖” ，记=中奖，表示中AAA奖的概率，表示整个抽奖所有的可能结果数，表示可能中奖的次数，那么。但对于不同的抽奖类型和的计算方法各有不同，下面将给出具体A 例子加以说明。1.11.1 体彩假设某种体彩开奖的号码有位，且每位所能够选择的数不同，第 位有个数k11n字可选，第位有个数字可选，第位有个数字可选，所有可能的结果数22nL
12、Lkkn为，从后往前连续同号（同号表示所选号码与中奖号码相12knnn Li(ik)同）的结果数为，故。如若彩票12mmmk-iN= k-i+1k1 (mm )A L有位数字，后 位每位有 10 个数字可选，第 位有 个数字可选，则后 位数字的65153同号的概率，后位数字同号的概率，位同号的概率为1 1000A 41 10000A 6。1 5000001.21.2刮刮乐假设彩票中心共发行张刮刮乐类型的彩票，某等奖有个，那么中此等奖的概率。如发行万张彩票，一等奖个，则中一等奖的可能性为A 1000100，即万分之一；二等奖有 1000 个，则中二等奖的110000000100000A 10概率
13、为，即一万分之一等等。1000110000000 =100002.2.6比赛问题众所周知，当我们关注我们喜爱的比赛时，我们都想让我们支持的队能够拿到冠军，我们更想提前预测到比赛的结果。如果我们随意的猜测，这其中往往存在着不确定的随机因素，此时有可能结果会令我们很失望。但是如果我们用概率来计算一下，我们就可以避免这样的事情发生。对于比赛这类问题大都属于全概率问题，是全概率公式的应用。全概率公式是概率中又一个非常重要的公式，在实际的应用中同样有着非常广泛的应用。我们先来看一下它的定义：设为样本空间的子集，且，如12nB ,B ,BLijBBi IL j i,j =1,2,n果，则对任一事件有。 B
14、0,LiP i =1,2,nA A nii i=1PP(B )P(A|B )例如在某届奥运会世界女子排球比赛中，中国、印度、法国、美国四国队在进行半决赛对决时，其形式如图所示：中国队中国队法国队冠军印度队战胜队美国队现根据以往的战绩，假设中国队战胜印度队，美国队的概率分别位与，而印0.90.5度队战胜美国队的概率为，试问中国队取得冠军的可能性有多大?0.4解 记“中国队得冠军”为事件， “印度队战胜美国队”为事件，A1B有。美国队战胜印度队为事件。显然要么印度队胜，.4=401P(B ) = 0%2,2B P(B ) = 60%要么美国队胜，二者必居其一。故有1221P(A) = P(B )P
15、(A|B )+P(B )P(A|B )= 40% 90%+50% 60%= 66%类似的可以利用全概率公式来解决的实际问题还有很多，例如：某制造厂有多台机器同时工作，求故障发生的概率时就是利用全概率公式来求解的。但是我们在利用全概率公式求解实际问题时，关键要对问题的合理理解和划分，要考虑所有的可能导致问题发生的情况。73.3.生日问题某学校有教职工个人（） ，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多n365n少？解 假定一年为天，=个人中至少有两个人的生日在同一天，m = 365Bn=个人的生日各不相同，这个人生日相同的所有可能的结果分布情况为Bnn，这个人的生日各不相同的分布情况为，则nKmnn mN = P11 n m nnmP(B) =1P(B) =1K Pm!mm (m-n)!当时，；n = 30P(B) = 71%当时，；n
