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1、z x s t d c数学立体几何是中学数学的主要内容之一, 而空间角的求解则是立体几何中对空间思维和 运 算 能 力 要 求 较 高的内容, 也是每年高考的必考内容.立体几何中的空间 角 主 要 包 括 异 面 直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角三大类.本文就这三类空间角的具体求法进行简单分析, 供同学们复习时参考.一、异面直线所成的角的求法1 .平移法例1如图1所示,A B CA1B1C1是直三棱柱,B C A =2, 点D1,F1分别是A1B1和A1C1的中点, 若B C = C A = C C1,则B D1与A F1所成角的余弦值是(A)3 0“ 1 0(B)12(C)3 0
2、“ 1 5(D)1 5“ 1 0解析:构建平行线将异面直线所成的角转化成平面角.D1,F1分别是A1B1和A1C1的 中点,D1F1B1C1,D1F1=12B1C1.取B C的中点M, 连接B D1,M F1. D1F1平行且等于1 2B1C1,B M平行且等于1 2B1C1,B M平 行 且 等 于D1F1, B M F1D1是平行四边形,M F1B D1.连接M A,显 然M F1A是 异 面 直 线B D1和A F1所成的角.设B C = C A = C C1= 1, 则A M2=1 +14=54,M F12= B D12= 1 +2% 2(2)在 线 段A1C1上 是 否 存 在 一定
3、点Q, 使得对任意的m,D1Q在平面 A P D1上的射影垂直于A P,并加以证明.解析: (1)以D为原点, 建立如图8所示的空间直 角 坐 标 系 , 连 接D1P,D1A,A P,A C , D B .则点A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,P(0,1,m) ,C(0,1,0) ,D(0,0,0) ,B1(1,1,1) ,D1(0,0,1). B D =(- 1,- 1,0) ,B B1=(0,0,1) ,A P =(- 1,1,m) ,A C =(- 1,1,0).又A CB D = 0,A CB B1= 0,A C为平面B D D1B1的一个法向量.再设A P与平面B D D1B
4、1所成的角为, 则s i n =c o s2-“#=A PA C A PA C=22!2 + m2!.由题意得22!2 + m2!=t a n 1 + ( t a n )2!=32!1 +(32!)2!, 解得m =13.当m=13时 , 直 线A P与 平 面B D D1B1所成的角的正切值为32!.(2)若 在A1C1上 存 在 这 样 的 点Q, 设此点的横坐标为x, 则Q(x,1 - x,1) ,D1Q =(x,1 - x,0).依题意, 若对任意的m要使D1Q在平面A P D1上的射影垂直于A P, 则由 三 垂 线 定 理 可 知 其 等 价 于D1QA P,A PD1Q = 0,
5、- x +(1 - x)= 0,x =12, 即存在定点Q, 且当其为A1C1的中点时, 满足题设要求.三、二面角的求法1 .定义法例8如 图9所 示 , 正 三 棱 柱A B CA1B1C1的 底 面 边 长 为3,侧棱A A1=33! 2,D是C B延长线上的一点, 且B D = B C, 求二面角B1- A D - BA1BCPAC1D1B1DyA1BCDAC1D1B1数学图7z图82 4!“#$!#!$!“!“#%!#!$!“!$,*ZPz x s t d c的大小.解析:在 棱A D上 任 取 一 点E,使得D E = 1 .作E F A D,E H A D, 分别交D B1,D B
6、于点F,H,则F E H为二面角B1- A D- B的 平 面 角 , 连 接F H.由 题 设 条 件 可 知A D B = 3 0 ,D A C = 9 0 ,E H =3# 3. D B1= A B1=A B2+ B B12#=37# 2,A D = 33#,E F =D Et a n A D B1=2 3# 3,D H = E H2+ E D2#=23# 3,D F =D E2+ E F2#=2 1# 3,c o s B D B1=B DB1D=27# 7. H F =D H2+ D F2- 2 D HD Fc o s B D B1#= 1,c o s H E F =E F2+ E H
7、2- H F22 E FE H=12.故二面角B1- A D - B的大小为6 0 .2 .三垂线法例9三棱锥PA B C中,侧面P A C与 底 面A B C垂 直 ,P A = P B = P C =3, 如图1 0所示.(1)求证A B B C;(2)如果A B = B C = 23#, 求侧面P B C与侧面P A C所成二面角的大小.解析: (1)取A C的中点D, 连接P D,B D . P A = P C,P D A C .又已知平 面P A C 平 面A B C,P D平 面A B C,D为垂足. P A = P B = P C,D A =D B = D C,故可得A C为A
8、B C外接圆的直径,A B B C .(2)A B = B C = 23#,D为A C中点,B D A C .又平 面P A C 平面A B C,B D 平面P A C,D为垂足.作B E P C于E,连接D E . D E为B E在平面P A C内的射影,D E P C,B E D为 所 求 二 面 角 的 平面角.在R t A B C中,A B = B C = 23#,B D =6#.在R t P D C中,P C = 3,D C =6#,P D=3#, D E=P DD C P C=3#6# 3=2#.在R t B D E图9A1BCFAC1B1 HEPABCDE数学图1 02 5图)!
9、“(2)若P A = 3 A B, 求二面角E - A B -D的平面角的正弦值.解析: (1)P A 平面A B C D,P A A B .又A B A D,A B 平面P A D,故可得A B A E . A MC D E F, 且A M= E F,A MA E,四边形A E F M为 矩 形 , A MM F .又A E E F,A E P D,A E 平面P E F .而A EM F, M F平 面P E F,M F P C,M F是A B与P C的 公 垂线.(2)由 (1) 可知平面P A D垂直于二 面 角E - A B - D的 棱A B, 且 平 面M E 平面P A D =
10、 A E, 平面A C 平 面P A D= A D, 则 E A D为 二 面 角E -A B - D的平面角.设A B = a, 则A P = 3 a .由R t A E DR t P A D, 可 得E A D=A P D . s i n E A D = s i n A P D =A D P D=aa2+(3 a)2“=1 0“ 1 0.4 .公式法例1 1如图1 2所示,在正方体A C1中,E是B C中点, 求 二 面 角D1-B1E - C1的大小.解析:D1在平面B1E C C1的射影为C1, 则D1B1E在 平 面B1B C C1上 的 射影为B1E C1.若设正方体棱长为2, 则
11、可得B1E =5“,D1B1= 22“,D1E = 3,SB1C1E= 2,SD1B1E= 3,c o s =SB1C1E SD1B1E=图1 2数学BC图1 1PEDAFM2 6-图)%“$(./!“-$) -)()$)“z x s t d c图1 3C1CBFB1AA1D1ED数学yxz!“!“!“!“D EE C1A A1A A12 3, = a r c c o s2 3.5 .向量法例1 2如图1 3所 示 , 在 长 方 体A B C DA1B1C1D1中, 已知A B = 4,A D =3,A A1= 2 . E,F分别是线段A B,B C上的点, 且E B = F B = 1 .
12、求二面角C - D E - C1的正切值.解析: 以A为原点,A B,A D和A A1分别为x轴,y轴和z轴的正 方 向 建立空间直角坐标系,则有点D(0,3,0) ,D1(0,3,2) ,E(3,0,0) ,F(4,1,0) ,C1(4,3,2).于是可得D E =(3,- 3,0) ,E C1=(1,3,2) ,F D1=(- 4,2,2).若设向量n =(x,y,z)与平面C1D E垂直, 则可得:n D En E C1$%3 x - 3 y = 0x + 3 y + 2 z =$0%x = y =-12z . n =-z2,-z2,&z=z2(- 1,- 1,2) ,其中z 0 .若取
13、n0=(- 1,- 1,2) , 则n0是与平面C1D E垂直的向量. 向量A A1与平面C D E垂直,n0与A A1所成的角就 是 二 面 角C - D E - C1. c o s =n0A A1|n |A A1|=- 1 0 - 1 0 + 2 21 + 1 + 4( 0 + 0 + 4(=6( 3,t a n =2( 2,二面角C - D E - C1的正切值为2( 2.D EE C1A A1A A12 7!“#“!$!%!&%数学()!“!“!“!“放下 松一散步一位胖太太在街上散步, 有个陌生的小男孩紧紧地跟着她。“你有什么需要帮忙的吗?”胖太太问。“哦, 不, 太太, 我只是喜欢在阴凉的地方散步。”( 水青 供稿)
