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1、第 1 页 共 7 页高等代数高等代数 预备知识预备知识一 知识回顾1、数的发展自然数(N)整数(Z)有理数(Q)实数(R)复数C（）（这会导致数的研究）2、式的发展字母代替数单项式多项式、分式、根式3、方程的发展（1） （一元多次方程） 一元一次方程一元二次方程（这会导致抽象代数的研究）（2） （多元一次方程组）二元一次方程组三元一次方程组（这会导致高等代数的研究）4、函数的发展具体函数（一次、二次、指数、对数函数）抽象函数（这会导致数学分析的研究）二、复习知识1、复数复数是指能写成如下形式的数,这里和是实数， 是虚数单位（即-1 开平方abiabi根） 。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首
2、次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。复数的定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0 的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。 (1) 定定义义：形形如如的的数数称称为为复复数数，其中规定为虚虚数数单单位位，且Zabii（是任意实数） 21i , a b我们将复数中的实数称为虚数 Z 的实部，记作。 ZabiaReZa实数称为虚数的虚部，记作.
3、 bZImZb第 2 页 共 7 页易知：当时，这时复数成为实数； 0b Za当且时 ，我们就将其称为 纯纯虚虚数数。 0a 0b Zbi(2) 定定义义： 对对于于复复数数，称称复复数数为为的的共共轭轭复复数数。 ZabiZabiZ(3)定定义义：将将复复数数的的实实部部与与虚虚部部的的平平方方和和的的正正的的平平方方根根的的值值称称为为该该复复数数的的模模，记记作作 .即对于复数，它的模 |ZZabi22|Zab复数的集合用 C 表示，显然，R 是 C 的真子集 复数集是无序集，不能建立大小顺序。 2、复复数数的的四四则则运运算算法法则则：若复数，其中，则 1Zabi2Zcdi, , ,a
4、 b c dR， 12()()()()ZZabicdiabcd i， 12()()()()ZZabi cdiacbdadbc i1 2222 2()()Zabiacbdadbc i Zcdicdcd3、复复数数的的加加法法乘乘法法运运算算律律：1221ZZZZ123123()+ZZZZZZ（）1221Z Z =Z Z123123Z ZZ =Z (Z Z )（）1231323Z +ZZ =Z Z +Z Z（）4、虚虚数数单单位位 i 的的乘乘方方：(其中） 44142431,1,nnnniii iii nZ5、复复数数的的其其他他表表达达复数有多种表示形式，常用形式叫做代代数数形形式式。 Zab
5、i下面介绍另外几种复数的表达形式。 几何形式。 在直角坐标系中，以 x 为实轴，y 为虚轴，O 为原点形成的坐标系叫做 复复平平面面（见本词条附图） 这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定 复数用复平面上的点表示。这种形式使复数的问题可以借助图形Zabi( , )Z a b第 3 页 共 7 页来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 向量形式。复数用一个以原点 O 为起点，点为终点的向量 OZZabi( , )Z a b表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。 三角形式。复数化为三角形式 Zabi(cossin )Zri式中，是复数的模模（即绝对值） ； 22|r
6、Zab 是以轴为始边，射线 OZ 为终边的角，叫做复数的 辐辐角角，辐辐角角的的主主值值记记作作xargz，即 argz= =arctan， b a这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 指数形式。将复数的三角形式中的换为(cossin )Zricossini，复数就表为指数形式 exp iieiZre6、复复数数三三角角形形式式的的运运算算设复数的三角形式分别为和，12,Z Z1111(cossin)Zri2222(cossin)Zri那么 121 21212Z Zcossinrri11 1212 22ZcossinZrir复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行； 一元 n
7、次复系数方程总有 n 个根（重根按重数计） ；复数不能建立大小顺序。 7、棣棣莫莫佛佛定定理理（复复数数的的乘乘方方）对对于于复复数数,有有的的次次幂幂(cossin )ZriZn（其中是正整数） (cossin)nnZrninn复复数数的的开开方方若若, 则则(cossin )Zri2k2kcossinnnZrinn01 2 31n （k，）8 8、单位根、单位根第 4 页 共 7 页复平面上的三次单位根数学上，单位的单位的 次根次根是 次幂为 的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是 。这方程的复数根 为单位的单位的 次根次根。单位的 次根有 个：9 9、本原根
8、单位的 次根以乘法构成 n 阶循环群。它的生成元是单位的 次本原本原根。单位的 次本原根是，其中 和互质。单位的 次本原根数目为欧拉函数。例子（1）单位的一次根有一个 。（2）单位的二次根有两个：和，只有是本原根。（3）单位的三次根是其中 是虚数单位；除 外都是本原根。（4）单位的四次根是第 5 页 共 7 页其中和是本原根。10、和式当不小于 ，单位的次根总和为 。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：。第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的项系数为零得出。11、数学归纳法证明一
9、个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当取第一个值时结论正确；n0n(2) 假设当时结论正确, 证明当时结论也正确* 0(,)nk kNkn1nk完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数 n 都正确0n这种证明方法叫做数学归纳法例子：3233233323333211 ;12(12) ;123(123) ; .123.(123 . )nn 归纳、猜想、证明33332123.(123 . )nn 12、集合的运算、集合的运算定义定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与SABA的交集交集，记作；把和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集并集，B
10、BAAAB记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与 BBAABA的差集差集，记做。BA第 6 页 共 7 页1313、集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念、集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义定义（集合的映射） 设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则ABfAa下对应中唯一确定的元素（记做） ，则称是到的一个映射映射，记为fB)(affAB).(,: afaBAf a如果，则称为在下的像像，称为在下的原像原像。的所有元Bbaf)(bafabfA素在下的像构成的的子集称为在下的像像，记做，即。fBAf)(AfAaafAf| )()(若都有 则称
11、为单射单射。若 都存在，使得,Aaa),()(afaff,BbAa，则称为满射满射。如果既是单射又是满射，则称为双射双射，或称一一对应一一对应。baf)(fff14、求和号与求积号、求和号与求积号1求和号与乘积号的定义求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域上个数，我们使用如下记号：Knnaaa,21L, niinaaaa121L. niinaaaa121L当然也可以写成, niinaaaa121. niinaaaa121.2. 求和号的性质求和号的性质. 容易证明， niniiiaa11 nininiiiiibaba111)( nimjniijmjijaa1111事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：第 7 页 共 7 页nmnnmmaaaaaaaaa.212222111211分别先按行和列求和，再求总和即可。15、练习与作业1、 查资料（复数的基本理论及其应用、数学归纳法的理论及应用）2、 练习问题 1 解方程（1）；（2）31x 2xi问题 2 用数学归纳法证明：21 35.(21)nn 问题 3 , 当 nN 时，是否都为质数？41)(2nnnf)(nf问题 4 在数列中, 1, (n), 先计算，的值，再推测通项na1ann naaa11*N2a3a4a的公式, 最后证明你的结论na
