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1、高考数学解题中突破思维障碍的技巧高考数学解题中，如何突破思维障碍，促进思维流畅，正常发挥，取得优异成绩呢？ 笔者经过近三十年的教学，带出十几届高三毕业生，总结出以下几点，有失偏颇之处， 还请各位同行不吝指正：1 1、高考数学解题中形成思维障碍、思维屏蔽的原因高考数学解题中形成思维障碍、思维屏蔽的原因：1.11.1基础知识不系统，不扎实，重要概念一知半解，似懂非懂，定理、法则、公式 丢三落四，囫囵吞枣，不了解知识的内涵、外延、公式、定理的使用条件；1.21.2基本数学思想方法意识淡薄，不能用学科思想指导解题；1.31.3缺乏学科整体意识，不善于发现数学知识间的联系与转化，不了解知识网络的 交汇点
2、；1.41.4学法呆板，学习中死记硬背，练习时机械摹仿；1.51.5思维方式低下，只知顺向思维，缺少转换视角、逆向思维或发散思维的意识和 能力；1.61.6解题习惯不良，不遵循解题格式思维和表述，随手乱画草图，随意省略过程， 甚至丢三落四，盲目添加、默认或修改条件和结论，乱套数学模型；1.71.7对题目的新颖情境辨析能力差；1.81.8心理素质欠佳，一遇困难，情绪陡下，不能集中注意力，积极思维2 2、高考数学解题中，出现解题思维障碍的表征高考数学解题中，出现解题思维障碍的表征：2.12.1题目情境新，涉及知识深，背景材料不熟，无法寻求相近、相似的数学模式；2.22.2条件众多且分散，无法发现它
3、们间的联系或转化途径；2.32.3数学记号与数学语言新奇、陌生、抽象，不能理解其数学内涵；2.42.4目标不明确、不具体，且无法与条件沟通；2.52.5条件不充分，且无法发现足够的隐含条件；2.62.6按常规思路计算量大，解题长度太长；2.72.7应用题所列实际问题情境不熟悉，专用名词，术语生辟，无法建立数学模型；2.82.8在实施解题计划中，原有演算或推理无法继续施行3 3、高考数学解题中突破思维障碍的常规策略：高考数学解题中突破思维障碍的常规策略：3.13.1语言转译数学语言是数学知识的载体，是数学高考必考的数学能力的要素之一，也是考生读 不懂高考数学试题，形成解题思维障碍的第一个关卡数学
4、语言包括文字语言、符号语言及图形语言三种基本样式，每种样式各有自己独 特的规律和长处，优势互补，形成数学交流中风格各异、丰富多彩的语言特色，数苑奇 观，也同时构筑了外行无法逾越的关卡，竞争者艰难攀登的一个阶梯 及时将题目条件与结论中读不懂的部分，由原有的表述样式，转译为新一种表述样式， 利用不同的语言样式的优点，凸现题目的数学本质，如将普通语言改 译为符号语言，或将符号语言改译为图形语言，常常可以帮助我们突破语言关卡，读懂 或切入题意例题例题 1 1已知集合Ax| x23x100，B=x| m+1x2m1，若ABA, 求实数m的取值范围分析：本小题解答中，一些考生读不懂条件AB=A，因而思维短
5、路突破思维障碍的策略有两种：(1) 通法：将ABA转译为图形语言，由文氏图可得A BABA；(2) 特例法：化简条件，易知A=2, 5是固定集合，B=m+1, 2m1是可变集合， 由数轴可知将B分为B=或B两类情况，相对于A集变动，即得m的取值范围(, 3.点拨解疑：忽视B的存在，是一个常见错误例题例题 2 2函数yf(x)在(, 0上是减函数，而函数yf(x+1)是偶函数，设 af()，bf(3)，c=farcos(1)，试比较a，b，c的大小关系4log5 . 0分析：易得af(2)，c=f()，但一些考生读不懂函数yf(x+1)是偶函数的内 含，无法转化为f(x)的单调性来求，思路不畅转
6、换语言样式，运用图形语言和图形变换考察题设条件，知函数 yf(x+1)的图像 关于 y轴对称，而函数 y=f(x+1)的图像由函数yf(x)的图像向左平移 1 个单位得到， 所以yf(x)的图像关于直线x1 对称，由y=f(x)在(, 0上递减，知y=f(x)在x2, )上递增， f(2)=f(4),而 234，f(3)m|a|，从而, =2.bxmxbmx |1|2|2xb xa| |222xx xx xb xa3.23.2数形结合 数形结合思想是重要的基本数学思想，从人脑思维功能看，人的左半脑主抽象思维， 代数推理思维；右半脑主形象思维，几何直观思维，数形结合思想完美地调动了左、右 半脑的
7、思维功能，极大地促进数学解题者的思维能力，从数学对象的本质看，数即数学 记号具有高度的抽象性，简约性，形即数学图形具有高度的直观性，形象性，数形结合 思想相辅相成，完美地凸现了数学对象的各种本质及本质间的联系数学解题中，不能充分揭露题目的隐含条件，找不到解题的突破口时，有意识地运 用数形结合思想转换思维角度，赋条件和结论中的数式以图形，或给条件和结论中的图 形以数式的解释，以形释数，由数思形，把代数式的精确 刻画与几 何图形的直观描述有机地结合起来，尽现题目丰富的种种 联系，许多思维障碍便不攻自破了 例题例题 4 4已知奇函数f(x) 的定义域是x| x0, xR，且在(0, +)上单调递增，
8、若f(1)=0 试求满足xf(x)0 的x的范围分析： 由于函数f(x)没有给出具体的函数式，目标不等式无法直接解出，形 成思维障碍转换思维角度，注意到xf(x)0 表明此函数的自变量与函数值异号，结 合题没条件，即可见运用数形结合思想，构造一个符合条件的简单函数的图像（如图） 由图像立知，满足xf(x)0 的x的取值范围是(1, 0)(0, 1)点拨解疑：抽象函数问题常采用特例法解，根据题设构造一个最简单的函数即可例题例题 5 5设函数f(x)a+，g(x)x+1，已知x4, 0时，恒xx4234有f(x)g(x), 求实数a的取值范围 分析：f(x)g(x)，即a+x+1, 由于参数a取值
9、范围不易由xx4234x0， 4时，将原不等式同解变换得到，思路不畅 转换视角，观察不等式结构特征，数形结合，易知变形为不等式a+x+1 后，可令 y1= , y2=x+1a ,xx4234xx4234由得(x2)2y2=4（y0），表示以点(-2，0)为圆心， 2 为半径的半圆；式表示斜率为，截距为 1a的平行直线系,34显然直线系中与半圆O相切的直线AT（T 为切点）即为 所求临界值如图，设直线AT的倾斜角为 ，则 tan= (0), 34 2sin=, 54在BOT中, =, sinTOBO25 29OB在AOB中，OA|OB|tan= 6,29 34要使f(x)g(x)恒成立，直线必须
10、位于AT上方或AT重合 1a6, a5.3.33.3逆向思维逆向思维是较高层次的思维方式，也是数学高考思维能力考查的一个要点逆向思维包含多种形式，常见形式有： 逆向分析，当直接证法受阻时，变换视角，从待证结论出发，递次寻找结论成立 的充分（充要）条件，直至题设或显然的数学事实，此执果寻因的证法通常叫分析法， 是不等式证明中的重要间接证法； 逆用知识：当定理、法则、公式顺用不符合题没条件，只有逆向运用才能解题时， 根据题没逆用知识就成为解题的必须策略，但解题成败的关键是对知识能否逆用的认识，即对定理、公式、法则使用范围的深刻理解； 逆向推求，在一些难度较大的探索型开放题，如存在性问题，从问题结
11、论出发，假设问题结论存在（成立），结合题设条件，逆向推理或演算，找到确切的数 值或明显的矛盾，使问题获解； 反证法：当结论的正面不易证明时，假定结论反面成立，通过归谬，穷举等严格 推理，引出矛盾，否定“反设”，从而肯定结论正确； 反面求补，当结论的正面比较复杂，而反面比较简单时，求结论的补集（去杂法 ），在高考数学解题中，顺向思考遇到障碍，并经过语言转译，数形结合 仍不奏效时，应积极转换视角，尝试逆向思维例题例题 6 6已知集合 M=( x, y)| y22x，N=(x, y)| (xa)2y2=9，求 MN 的充要条件分析：易知MN的充要条件是方程组至少有一个实数解，且 9)(2222yax
12、xyx0, 即x2+2(1a)x+a29=0 至少有一个非负根由0，得a5，此时若顺向思维， 则情形较繁，求解困难，若逆向思维，考虑至少有一个非负根的反面是两个负根（只有 一种情形）立知上述方程有两个负根的充要条件应为0，且 x1x20，x1x20， 即2(1a)0，且a290，解得a3，从而知所求充要条件为3a5例题例题 7 7设k和r是实数，且r0 使得直线y= kx1 既与圆 x2y2=r2相切，又与 双曲线 x2y2=r2有两个交点，试问：直线 y=kx1 能否经过双曲线 x2y2r2的焦点？ 为什么？分析：由于两个参数k和r的联系较隐蔽，很难顺向确定，形成思维障碍，若转换 思维角度，
13、用反证法则目标明确，化难为易了解：不可能，下面用反证法双曲线x2y2=r2的焦点是F1(r，0), F2(r，0)，如果直线ykx1 过点22F1，则有rk+1=0, 即 r=, (1)2k21因为直线ykx1 与x2y2=r2圆相切，所以圆心(0, 0)到直线的距离等于半径r, 即有 , 因为r20, 故=1, (2)2 21kr又因为直线 ykx十 1 与双曲线x2y2=r2相交，故交点坐标(x，y)满足方程组 )4()3(1222ryxkxy将（3）代人（4）得 (1k2)x22kx(1+r2)0 （5）由直线与双曲线有两个交点，且对于任意实数k，直线不平行于y轴，故（5）式有 两个不同
14、的实数根，因而 1k20, 即|k|1但将（1）代入（2），得(k)2k2=1，即k=1 与|k|1 矛盾，2故直线ykx1 不可能过双曲线x2y2=r2的左焦点rk211同理可证也不可能过右焦点3.43.4联想迁移 联想是一种富于发现、创造功能的思维方式，它把两个不同领域中的事物联系起来 进行思考并由此激发新的认识，促成问题的解决，高考数学解题中思维受阻时，将题目 的条件和结论，与数学各分支中不同的数学知识，数学方法乃至兄弟学科或现实生活中 的其他知识常识，充分展开接近联想、相似联想、对比联想，改变问题情境，常能有效 地使思路畅通，甚至诱发直觉、顿悟，激发灵感，获得创造性的解法思维求变、求异
15、、 多向发散、拓展联想空间，促进信息迁移，使问题获得多种不同的解题途径，优化解法 是决胜数学高考的一个不可缺少的思维策略 例题例题 8 8如图，小圆圈表示网络的结点，两点之 间的线段表示它们的网线相联，连线标注的数字表示 该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同 时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 A26 B24 C20 D19分析：这是 2001 年高考数学选择题第 12 题，一道颇具时代气息的优秀创新题，属 线性规划范畴，很多考生读不懂题意如果转换思维角度，广泛联想，可将信息传递联 想为水的流动，这条虚拟的河便化生为熟，立即使你明白最大流量就是每条线路的最小 流量的和，从而轻松地获得正确选项为（D）例题例题 9 9函数f(x)对于任何xR，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，若f(8)=3，则f()2
