《高等代数的解题方的研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数的解题方的研究（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1高等代数的解题方法的研究高等代数的解题方法的研究专业：信息与计算科学姓名：何彩霞指导老师：陈丽 摘要摘要：本文介绍了行列式的几种计算技巧，线性方程组解得讨论，以及线性变换。任何一个 n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有 n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。其实，计算行列式并无固定的方法，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。本文主要从理论浅析线性变换定义和线性变换性质与运算以及线性变换与矩阵的关系,并通过例子加深读
2、者对其的印象.关键词关键词：行列式，线性方程组，线性变换2引言引言本文分三章，即行列式的几种计算技巧、线性方程组解得讨论及线性变换，每章包括基本知识点和举例说明，这些例题都是本文解题方法和技巧的高度概括的总结。关于行列式计算的问题，本文用（1）化三角形法， （2）降阶法，(3)升阶（加边）法，(4)分项（拆开）找递推公式， (5) 利用方阵特征值与行列式的关系五种方法来计算行列式。本文首先给出线性方程组（齐次线性方程组和非齐次线性方程组）表达式及矩阵的秩和线性方程组的基础解系的定义，找出方程的解存在的条件及解的唯一性的条件与矩阵的秩的关系。进一步讨论有无穷解时怎样利用解空间、基础解系找出方程组
3、的解，研究找出基础解系的方法。线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象，我们要认识客观事物，固然要弄清楚它们单个和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的关系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线形空间的映射.线形空间到自身的映射通常称为的一个变换.VV这就有了线性变换，本文所讨论的线性变换是最基本的一种变换，线性变换是线性代数的一个主要研究对象。第一章第一章 行列式的几种计算技巧行列式的几种计算技巧降阶法、升阶法、分项递推法、公式法等其它方法来变换行列式，再通过我们熟悉的上三角形或下三角形计算其值。下面介绍行列式计算的一些技巧：1.11.1 化三角形法化三角形法化三角形法是将原行
4、列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算3的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式 例 1：计算行列式 1231 2341 345121221nnn n DnnnL L L M M MMM L通过观察，从第 1 列开始，每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质，先从第 n-1 列开始乘以1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以1 加到第 2 列。解:11(2, )(2, )11111111111 211111000 311112
5、00011111000100000010000020011(1) 200020000001001(1)()2iinninrrinrr nnn Dnnnnnnnnnnnn n nnnnnnnn nnn LLLL LL LL MMMMMMMMMM LLLLLLLLMMMMMMMMLLLL (1)(2) 12(1)12( 1)(1)12nnn nnnn 1.21.2 降阶法降阶法A、利用行（列）初等变换。1）交换两行（列） ；2）某行（列）乘以k 倍；3）某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去。B、看行和（列和） ，如行和相等，则均可加到某列上去，然后提出一数。4C、逐行相减（加）D、找递推公式，
6、注意对称性。E、Laplace 展开。例 2：利用降阶法计算 n 阶行列式12211000000000100001aaaaaxxxxnnnnLLLLLLLLLLL解：按第一列展开，得+（-1）12321100000100001axaaaaxxxxnnnnLLLLLLLLLLnna11000000010001xxxLLLLLLLLL这里的第一个 n-1 阶行列式与有相同的形式，把它记作；第二个 n-1 阶n1n行列式等于（-1），所以=x+a1n n1nn这个式子对于任何 n(2)都成立，因此有=x+a =x(x+a)+a=xn1nn2n1nn+ax+a =22n1nn=x+a x+ax+a1n
7、 122n 1nn但=x+a ,所以11ax 1=x +a x+ann 11n n把行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算，是一个常用的方法。我们再用这个方法来计算一个常要用到的行列式。1.31.3 升升阶阶（加边）法（加边）法5=nnnnnaaaaLMOML11111111100*1nnnnnaaaaLMOMMLL211110*0*1*0001nnnnnaaaaLMOMMMLLL这里升阶是为了降阶，在*处加上所需要的数，即刻可以简化 detA 的计算，用此方法时注意行列式阶数的变化。例 3：nnnnaaaaaaaaaaaaaaaa1111321321321321LLLLLLLLL
8、解：原行列式可化为=nnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa101010101321321321321321LMMMMMLLLL将第一行上的元素乘以（-1）加到一下各行，得100010100100101000111321LMMMMMLLLLnaaaa再将第 2 列起各列上的元素均加到第 1 列上去，得10000010000010000010132131LMMMMMLLLLLnnaaaaaaa=1+a +a +a 12n1.41.4 分项（拆开）找递推公式分项（拆开）找递推公式6=+nL2*11nL21nL2*1其中（j=1,2,，n）为 n 维列向量。j例 4：计算行列式的值。210
9、0121001210012解：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆开得+=+210012100121001121001210012000112100121001100011210121012=+=2+3=5 2101210112101210112101200112101100111.51.5 利用方阵特征值与行列式的关系。利用方阵特征值与行列式的关系。为例。1231231233123nnnnnabaaaaabaaDaaabaaaaaabLLLMMML解： =nMbaaaaaabaaaaabaaaaabannnnLMMMLLL3213321321321=bI+=bI+nnnnnaaaaaa
10、aaaaaaaaaaaLMMMLLL3213321321321nnA7bI的 n 个特征值为 b,b,，b。n的 n 个特征值为0，0，0。nA,1 niia故的特征值为 b+ 由矩阵特征值与对应行列式的关nM,1 niia434 21 1,nbbb，系知：D =b(+b)nnM1n niia1 注注 M 的特征值也可由特征值的定义得到。n例 11：求行列式 D =的值。4 7321462143514324=3I +=3I +A4M 73214621435143244 4321432143214321443I 的 4 个特征值为 3，3，3，3.4A 的 4 个特征值为 10，0，0，0.4故
11、的特征值为 13，3，3，3，由矩阵特征值与对应行列式的关系知：D =4M4=3 (10+3)=3514D3综上所述，针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧，从而总结出了多种类型题目所适用的计算方法，因此，对于计算行列式的方法，我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、运用，不管是哪一种行列式的计算，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。8第二章第二章 线性方程组解的讨论线性方程组解的讨论2.12.1、消元法、消元法在线性方程组这一章中，我们讨论了一般线性方程组求解的问题。所谓一般线性方程组是指形式为（1.1） snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121
12、11212111 ,的方程组，其中代表n个未知量，s是方程的个数，nxxx,.,21(i=1,2,s,j=1,2,n)称为方程组的系数，（j=1,2,s）称为常数ijajb项。我们解方程组（1.1）一般采用消元法。在中学里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组，分析一下不难看出，它是通过对方程的不断变换，达到化简消元的目的。而所作的变换无非由以下三种基本变换组成：1用一非零的数乘某一方程2把一个方程的倍数加到另一个方程3互换两个方程的位置这样的三个变换我们称之为线性方程组的初等变换初等变换。事实上，消元法求解线性方程组比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就先来介绍如何用一般消元
13、法解一般线性方程组。对于方程组（1.1） ，我们首先要讨论的系数。如果的系数,1x1x11a21a全为零，那么方程组（1.1）对没有任何限制，也就是说，可以取任意1sa1x1x值。这样，方程组（1.1）就可以看作的方程组来解。如果的系数不nxx ,.,21x全为零，不妨设，为了消元化简，分别地把第一个方程的倍加到第11a0111 aaii个方程（i=2,s） 。于是方程组（1.1）就变成了9（1.2）,., 2 2 2 22 2211212111snsnsnnnnbxaxabxaxabxaxaxa其中，i=2,s, j=2,nji ijijaaaaa1 111再对（1.2）中的第二个方程作如上
14、初等变换，并一步一步地作下去，最后就得到一个阶梯形方程组。为了讨论方便，不妨设方程组为（1.3）. 00., 00,0,.,.,.1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc其中, i=1,2,r0iic可见，消元的过程的就是反复进行初等变换的过程，实际上，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。因此，我们通过一系列初等变换所得到的阶梯型方程组（1.3） ，与方程组（1.1）的解相同。所以我们得到：消元法是利用同解方程组的原理，把线性方程组化简成阶梯形方程组，再进行求解的方法。现考察（1.3）的解的情况(1.3)中有方程, 而，这时不管取任何值都10rd01rdnxxx,.,21不能使它成为等式，因此（1.3）无解。当是零或(1.3)中根本没有“”的方程时，分两种情况：1rd00 1）。这时阶梯形方程组为nr 10（1.4） ,.,.,.2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc其中，i=1,2,n. 由最后一个方程开始，的值就可以逐个0iic11,.,xxxnn地唯一地确定了。此时，方程组（1.4）也就是方程组（1.1）有唯一的解。2）. 这时阶梯形方程组为nr ,.,.,.11,2211, 222221111, 11212111rnrnrrrr
