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1、8.6 空间向量及其运算一、选择题1若a a，b b，c c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )Aa a，a ab b，a ab b Bb b，a ab b，a ab bCc c，a ab b，a ab b Da ab b，a ab b，a a2b b解析 若c c、a ab b、a ab b共面，则c c(a ab b)m(a ab b)(m)a a(m)b b，则a a、b b、c c为共面向量，此与a a，b b，c c为空间向量的一组基底矛盾，故c c，a ab b，a ab b可构成空间向量的一组基底答案 C2以下四个命题中正确的是( )A空间的任何一个向量都
2、可用其他三个向量表示B若a a，b b，c c为空间向量的一组基底，则a ab b，b bc c，c ca a构成空间向量的另一组基底CABC为直角三角形的充要条件是0ABACD任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a ab b、b bc c、c ca a为共面向量，则a ab b(b bc c)(c ca a)，(1)a a(1)b b()c c，不可能同时为 1，设1，则a ab bc c，则a a、b b、c c为共面向量，此与a a，b b，c c为空间向量基底矛1 1 1盾答案 B3有下列命题：若p pxa ayb b，则p p与a a，b b共面；若p p与a a，
3、b b共面，则p pxa ayb b.若xy，则P，M，A、B共面；MPMAMB若P，M，A，B共面，则xy.MPMAMB其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4解析 其中为正确命题答案 B4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c则下列向量中与相等的向量是( )ABu uu uu u r r11A Du uu uu uu ur r1A Au uu uu u u u r r1B Mu uu uu uu u r rAabc B.abc1 21 21 21 2C.abc Dabc1 21 21 21 2解析 abc.1B Mu
4、 uu uu uu u r r1B Au uu uu u u u r r AMu uu uu uu u r r1B Bu uu uu u u u r r BAu uu uu u r r AMu uu uu uu u r r1 21 2答案 A5如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则 cos 3， 的值为( )OABCA0 B. C. D.1 23222解析 设a a，b b，c cOAOBOC由已知条件a a，b ba a，c c，且|b b|c c|， 3a a(c cb b)acacababOABC |a|ca|c|a|b|a|b|0，cos， 0.1 21 2OA
5、BC答案 A6如图，在大小为 45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长 为 1 的正方形，则B，D两点间的距离是( )A. B. C1 D.323 2解析 ，|2|2|2|222BDBFFEEDBDBFFEEDBFFEFE21113，故|.EDBFED22BD3 2答案 D7下列命题中若a ab b，b bc c，则a ac c；不等式|a ab b|a a|b b|的充要条件是a a与b b不共线；若非零向量c c垂直于不共线的向量a a和b b，d da ab b(、R R，且0)，则c cd d.正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3解析 只有命题是正确命题来源:学
6、。科。网 Z。X。X。K答案 B二、填空题8如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则MGGNOGOAOBOCx，y，z的值分别为_解析 ()OGOMMG1 2OA2 3MN1 2OA2 3ONOM1 2OA2 3ON2 3OM () 1 2OA2 31 2OBOC2 31 2OA1 6OA1 3OB1 3OCx，y，z的值分别为 ， .1 61 31 3答案 ，1 61 31 39. 设, x yR，向量 4, 2, 1,1 ,cybxa，且cbca/,，则_ba解析 2402, / /(3, 1)10242xx
7、ac bcabyy rr rrrr.答案 1010在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCDABCD中，AB1，AD2，AA3，BAD90，BAADAA60，则 AC的长为_解析 如图，ACABBCCCABADAA所以|AC|ACABADAAAB2AD2AA22ABADABAAADAA.14921 3 cos602 3 cos6023答案 2311已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232； 11A Au uu uu uu u r r11A Du uu uu uu ur r11A Bu uu uu uu u r r11A Bu uu uu uu u r r()0；向量与向量的
8、夹角是 60；正方体1ACu uu uu u u u r r11A Bu uu uu uu u r r11A Au uu uu uu u r r1ADu uu uu uu u r r1A Bu uu uu u u u r rABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_ABu uu uu u r r1AAu uu uu u u u r r ADu uu uu u r r解析 由，得(1AAu uu uu u u u r r11A Du uu uu uu ur r1AAu uu uu u u u r r11A Bu uu uu uu u r r11A Du uu uu uu ur r
9、11A Bu uu uu uu u r r11A Bu uu uu uu u r r1A Au uu uu u u u r r11A Du uu uu uu ur r)23()2，故正确；中，由于AB1A1C，故11A Bu uu uu uu u r r11A Bu uu uu uu u r r11A Bu uu uu uu u r r1A Au uu uu u u u r r1ABu uu uu u u u r r正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为 60，但与的夹角为1ADu uu uu uu u r r1A Bu uu uu u u u r r120，故不正确；中|0.故也不正确AB
10、u uu uu u r r1AAu uu uu u u u r r ADu uu uu u r r答案 12如图，空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于_X解析 设a a，b b，c c.OAOBOCOA与BC所成的角为，a a(c cb b)a ac ca ab ba a(a a)OABCACa a(a a)a a2 2a aa a2 2a a2416.ABACAB2cos .|OABC|OA|BC|2416 28 532 25答案 32 25三、解答题13已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13
11、e2，求证：A、B、C、D共面ABu uu uu u r r ACu uu uu u r r ADu uu uu u r r证明 令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.则(23v)e1(83v)e20.e1，e2不共线，Error!易知Error!是其中一组解，则50.A、B、C、D共面ABu uu uu u r r ACu uu uu u r r ADu uu uu u r r14如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证A1、G、C三点共线；(2)试证A1C平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离解析 (1)证明 ，CA1CBB
12、AAA1CBCDCC1可以证明： ()，即A1、G、C三点共线CG1 3CBCDCC11 3CA1CGCA1(2)证明 设a a，b b，c c，则|a a|b b|c c|a，CBCDCC1且ababbcbccaca0，a ab bc c，c ca a，(a ab bc c)(c ca a)c c2 2a a2 20，CA1BC1CA1BC1，即CA1BC1，同理可证：，因此A1C平面BC1D.CA1BC1CA1BD(3) a ab bc c，2a a2 2b b2 2c c2 23a a2 2，即|a，CA1CA1CA13因此|a.即C到平面BC1D的距离为a.CG333315把边长为a的
13、正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是 AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求： (1)EF的长； (2)折起后EOF的大小解析 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A（0，a,0） ，22B（a,0,0） ，C（0，a,0） ，D（0,0，a），E（0，a，a），2222222424F（a，a,0）.2424(1)|2222a2，|EF|a.EF(24a0)(24a24a)(024a)3 432(2)，OE(0，24a，24a)OF(24a，24a，0)0aa0，OEOF24(24a) (24a)24a2 8| ，| ，cos， ，OEa 2OFa 2OEOFOEOF|OE|OF|1 2 EOF120. 16如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)； (2)；EFBAEFDC(3)
