黎曼几何教学简介

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1、中国科学技术大学研究生课程中国科学技术大学研究生课程黎曼几何黎曼几何教学大纲教学大纲课程内容简介课程内容简介:黎曼几何是现代数学的重要分支之一，黎曼几何学经历了从局部理论到大范围理论的发展过程。现在，黎曼几何学已经成为广泛地用于数学、物理的各个分支学科的基本理论，它与众多数学分支及理论物理关系密切。本课程的目的就是介绍黎曼几何研究中的各种基本概念和技巧。以测地线的研究为重点讨论了各种形式的比较定理，同时也介绍球面定理和子流形几何。本课程内容共分三大部分。第一部分主要介绍黎曼几何研究中的各种基本概念， 如：黎曼度量；仿射联络；挠率和曲率；黎曼联络；协变微分；Laplace 算子；黎曼几何基本定理

2、；黎曼曲率等。第二部分主要讨论测地线第一、第二变分公式及其应用，各种形式的比较定理和 Morse 指数定理。第三部分主要介绍子流形几何。第四部分介绍复几何的基础知识,介绍 Calabi-Yau 定理和 Donaldson-Uhlenbeck-Yau 定理.本课程的授课对象是基础数学方向和理论物理方向的研究生，授课对象需具有微分几何和偏微分方程方面的知识。教材教材: 1，白正国，沈一兵等：黎曼几何初步， 高教出版社参考书目参考书目: 1, 伍鸿熙等： 黎曼几何初步， 北京大学出版社。 2，F.W.Warner, Foundations of Differential manifolds and

3、Lie groups, GTM, Springer-Verlag。 3，W.M. Boothby: An introduction to differential manifolds and Riemannian geometry. 4, J.Jost; Riemannian geometry and geometric analysis. 5, S.Kobayashi and K.Nomizu, foundations of differential geometry. 6. Peter Petersen, Riemannian geometry GTM教学内容及课时安排教学内容及课时安排教

4、学内容（包括课堂讲授、实验、讨论、考试等）备注1.回顾微分流形基本概念,张量,外代数。6 课时2.外微分,黎曼度量,stokes 定理, 仿射联络。63.黎曼联络、共变微分、曲率张量。64.调和形式，Laplace 算子，Hodge 定理。65.测地线，指数映照。46.Jacobi 场，第一，第二变分公式。67.指标形式，Bonnet-Myers 定理，Hadamard 定理。48.比较定理。69子流形基本公式610超曲面与 Bernstein 定理, 极小子流形, Gauss 映照和调和映照811复几何基础, Calabi-Yau 定理,Donaldson-Uhlenbeck-Yau 定理1412