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1、关于大学数学遇到的一些疑难问题解析关于大学数学遇到的一些疑难问题解析1. 在什么情况下导函数在 x=a 处的右极限等于函数在 x=a 处的右导数？答：当函数在 x=a 处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如 y=2x+1(x1),虽然导函数在 x=1 处的左右极限都存在且相等但函数在 x=1 处的右导数不存在。对于导函数在 x=a 处的左极限等于函数在 x=a 处的左导数也有类似结论。2 对于 E(|X-Y|)与 E(X-Y)在 X
2、-Y0 的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成 y=x 的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在 y=x 的上方为 f(x,y)*(y-x),下方为 f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式 D(X)=E(X 的平方)-E(X)的平方，所以 D(|X-Y|)与 D(X-Y)在 X-Y0 易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y 小于 0 的情况下也有类似结论。对于 Z=max(X,Y) 求 E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在 y=x 的上方为 f(x,y)*
3、 x，下方为 f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求 FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和 FZ(z)=1-(1- Fx(z)* (1- FY(z),再对 z 求导的麻烦。3 为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。答：用反证法，假设 f(x)存在原函数 F(x),因为 F(x)处处连续,所以 F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在 x=a 处的右极限= F(x)在间断点 x=a 处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以 F(x)在 x=a 处的左导数=F(x) 在 x=a 处的右导数= F(x)的导函数在 x=a 处的
4、函数值，换句话说就是 f(x)在 x=a 处的左极限= f(x)在 x=a 的右极限= f(x)在间断点 x=a 处的函数值， （因为 F(x)连续，所以 F(x) 在 x=a 处的左右导数等于它在 x=a 处导函数的左右极限） ，这样 f(x)在 x=a 处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。考察分段函数 f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) x 不等于 0, f(x)=0 当 x=0 时，当 x趋于 0 时 f(x)的左右极限都不存在，所以 x=0 是 f(x)的第二类间断点。但 f(x)有原函数 F(x)=x 平方* sin(1/x) x 不等于 0，F(x)= 0 当
5、x=0 时。4 对于被积函数或微分符号内有两个变量 x 与 y 的定积分该如何积分？答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数 t=y-ax（截距式参数）t=y 除 x (斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或 y 与x 的函数关系确定 y 与 x 的取值范围，从而就可以算出 t=y-ax 或 t=y 除 x 的取值范围(a 为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于 t 的定积分。从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经
6、常看到的直角坐标，二是极坐标即 r 与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。5 关于复合函数连续与可导的问题答：对于 y=g(f(x),只要 u=f(x)在 x=a 处极限存在，y=g(u)在 u=b b=f(a)处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果 y=g(u)在 u=b b=f(a)处可导，u=f(x)在 x=a 处不可导，则 y=g(f(x) )在 x=a 处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在 u=bb=f(a)处不可导，u=f(x)在 x=a 处不可导，则 y=g(f(x) )在 x=a 处可以可导。比如内函数为 u=f(x)=x+
7、（x 的绝对值） ，外函数为 y=g(u)=u+（u 的绝对值） ，虽然 u=f(x)在 x=0 处不可导，y=g(u)在 u=0 处不可导,但是 y=g(f(x)在 x=0 处可导。6 可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例答：狄利克雷函数，因为此函数当 x 趋于有理数时极限等于 1，趋于无理数时极限等于 0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。7 如果一个函数在一个点 x0 处可导，能不能推出它在 x0 的某一领域内可导?答：不能，反例，f(x)=x 平方，当 x 为无理数。 f(x)=0，当 x 为
8、有理数，先考察在 x=0 处的可导性。当函数从无理数趋于 0 时，导数为 x 平方除 x，为 x。又 x=0，所以导数为 0。当函数从有理数趋于 0 时，导数为 0 除 x，为0。所以函数在 0 处可导。当 x 不为 0 处（设为 x0 处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于 x0 时，导数为 x 平方除 x，为 x，当函数从有理数趋于 x0 时，导数为 0 除 x，为 0，不相等所以不可导。二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于 x0 时，导数为 0 除 x，为 0，当函数从有理数趋于 x0 时，导数为负 x 平方除 x，为负 x，不相等所以不可导。8 如何求两条
9、异面直线的公垂线？答：思路一：根据给出的两条空间直线 L1 与 L2 的方程（可以是一般方程或是对称方程） ，求出它们的方向向量 S1=m1,n1,p1, S2=m2,n2,p2.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量 S3=m3,n3,p3，然后取包含 S3 的第一个平面上的一点（x,y,z） （任意一个未知的代数点）与 L1 上一已知点a1,b1,c1,做向量 S4=x-a1,y-b1,z-c1,根据 S4, S1, S3 三向量共面，混合积等于 0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。同理取包含 S3 第二个平面上的一点（x,y,z） （任意一个未知的代数点）与 L2 上一已知点a
10、2,b2,c2,做向量 S5=x-a2,y-b2,z-c2,根据 S5, S2, S3 三向量共面，混合积等于 0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。思路二：设两个参数 t 与 m, t 为起始点的参数，m 为步长参数，把 L1 先化为对称式方程，并设它等于 t，然后写出 x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在 L1 上取一起始点 A x(t), y(t), z(t)然后根据公式求出这两个向量的垂直向量 S3=a,b,c，(a,b,c 是三个具体的数)沿此向量取一步长 m，,则 A 点沿公垂线平移的向量改变量为 S=am,b
11、m,cm,则终点为B x(t) -am, y(t) -bm, z(t)-cm,把它带入到 L2 的方程里去，便可求出参数 t 与 m的值，这样便可求出公垂线的方程。9 注意第一类广义积分与上限或下限为 0 的第二类广义积分审敛法的区别分析：前者是无穷限积分，把函数与 x 分之一的 p 次方做比较，当 p1 时，由审敛公式极限等于 0 或常数时，积分收敛。当 p=1 时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。需要注意的是此时 a=0，(x-a)分之一的 p 次方变成了 x 分之一的 p 次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在 x=0 处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。
12、审敛时 p 的取值范围正好相反。10 证明任何一个 n 阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个 n 阶排列具有相同的奇偶性。证明：根据数学归纳法，设一个排列为 k 阶排列，先证明任何一个 n 阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当 k=1 时，结论显然成立。假设当k=n-1 时结论也成立，即 j1j2 到Jn-1 可以变成 123 到 n-1。则对于 k=n，当 jn=n 时，结论显然成立。当 jn 不等于 n 时，则第一步先把 jk(k 为 1 到 n-1 的任意一个整数)它的值为 n,与 jn 做对换，接下来的对换方法如同 jn=n 时，因为一个 n 阶排列可变为自然
13、排列，所以自然排列也可以变为这个 n 阶排列，且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。11 隐函数求导的三大法则一 等式两边对 x 求导二 利用隐函数求导公式三 等式两边取全微分12 关于二重积分的保向性的理解分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在 xoy 面上方大于零，在 xoy 面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。13 如果 lim(n 趋于无穷大)Xn*Yn=0,
14、能不能说 lim(n 趋于无穷大)Xn=0,或 lim(n 趋于无穷大) Yn=0？答：不能，设数列Xn为 0,1,0,2，0,3,0,4 一直下去，其通项为 1 加上 1 的n 次方的和除以二再乘以 n。设数列Yn为 1，0,2,0,3,0,4,0 一直下去，其通项为 1 加上 1 的 n-1 次方的和除以二再乘以 n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。14 关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律?答：设幂级数逐项求导的收敛域为 I1,原幂级数收敛域为 I2，幂级数逐项积分的收敛域为 I3，则 I1 I2 I3,即幂级数逐项求导在端点（此处端点
15、可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。15 “泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗?答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点 x0 的某个领域内的任意一点的和的函数值 S(x)必须等于这个函数 f(x)在该点处的函数值，二是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。
16、16 注意 div rot grad 的对象与结果 分析：div 是指散度，是把一个场 A 的分量 P Q R 分别对 x,y,z 求偏导，然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式，即先对空间一个场 A，求出 divA对它在作用区域（注意该区域一定是体积封闭的）内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量，即把该点处的曲面微元向量化，变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场 A 的向量（P Q R）与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量，是一个数。Div 的对象是一个三维向量，divA 的结果是一个三元函数，代入具体某一点时表一个数。Rot 表示旋度，对象是一个三维向量，把场 A 的向量（P Q R） ，rotA 为向量（R 对 y 求偏导-Q 对 z 求偏导，P 对 z 求偏导- R 对 x 求偏导, Q 对 x 求偏导- P 对 y 求偏导）,结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式，即对于一个曲面（不封闭）
