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1、西南师范大学西南师范大学 20022002 年年高等代数一、 （15）设 f(x)为有理数域上的次不可约多项式，f 的某根 a 的倒数也是 f 的)2( nn根，证明：f 的每个根的倒数都是 f 的根。二、 （20）设相似， （1）求 x,y 的值；（2）求一正交阵 20001000011111 B yyxx A与P，使。BAPP1三、 （20）设为数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换。 （1）证明；（2）举例说明在一般情况下；（3）证nVkerdim)(dim0ker)(V明若，则。0ker)(Vker)(VV四、 （15）设 A 为 n 阶实对称阵，证明的子空间的充要0AXXRXV
2、nnRV是条件是 A 为半正定或半负定矩阵。又当的子空间时，V 的维数是多少？nRV是五、 （15）设 A 为 n 阶方阵，证明的充要条件是秩（A-E）+秩（A+E）=n.EA 2六、 （15）设 A 为数域 F 上的 n 阶方阵，为 A 的特征多项式，AEf)(，证明()(Fg. 1)(),()(gfAg可逆的充要条件是七、 （15）设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，证明：A+B 也正定。八、 （15）设 A 为 R 上的矩阵，证明：。ns)()(AAA秩秩九、 （15）设整系数线性方程组，对任均有唯一整数解， njjjijnibxa1, 2 , 1,LZbi证其系数行列式必为 1 或-1.
3、西南师范大学西南师范大学 20022002 年年数学分析一、填空（）1.； 2.设函数 f(x)有连续导84 )2391 281 41(lim2nnnL数， 在 x=0 连续，则 ；3. 0, 10,)1ln(2)( )( xxxxxf xF)0( f； 4.；5.设 L 为取顺时针方xdttxtfdxdf022)(,连续1022dxxx向的圆周，则； 6.922 yxLdyxxdxyxy)4()22(2，则； 7.设； 8.102)(23)(dxxfxxf21)(dxxfdtetxy则,sin；2202xydyedx二、（10）若 f(x)对一切正实数 x,y 恒有 f(xy)=f(x)+f
4、(y),且 f(x)在 x=1 处连续，则 f 在上连续。), 0( 三、（10）设在f(x)有连续导数，且，证明 f 在), 0 0)0(, 0)( fkxf内有且仅有一个零点。), 0( 四、（10）设 f 在0，1上连续且单减，证明当时，10100.)()(dxxfdxxd五、（10）设 f 在0，2上二次可导，且在该区间上有，证明对1)( , 1)( xfxf。2)( ,2 , 0xfx均有六、（10）设，证明存在，并求之。), 2 , 1(2)1 (2, 011 0Lnxxxxnn nnlim七、（10）， 1）求；2）证对收4 0tan xdxan n12)(1nnnaan1, 0
5、nn na敛。 八、（8）设 f(x)连续，在 x=0 处的连续性。)( ),( ),()(lim)()( 010xxAxxfdtxtfx x讨论求常数且 九、（10）设。xexxx2 11:, 10证明十、（10）设。yxz xzyxvyeuvuzx 2 22232,.,sin,求十一、（8）正项数列单减，发散，问是否收敛？说明理 na1) 1(nnna1) 1(1nn na由。西南师范大学西南师范大学 20032003 年年高等代数1.（15）设多顶式 f(x)被 x-1,x-2,x-3 除后，余式分别为 4，5，16，试求 f(x)被(x-1) (x-2)(x-3)除后的余式。2.（20
6、）计算元素为的 n 阶行列式 D 的值。jiaij3.（15）设 A，B，C 为 n 阶实方阵，且，证明 BA=CA。TTCAABAA4.（20）求实二次型在正交相似变换下的标准形。 nkjkjxx15.（15）设 F 为一数域，W 为的非零子空间，对于 W 中任何向量或者nF),(21naaaL，或者全不为零，证明 dimW=1.021naaaLnaaa,21L6.（15）设 A 为数域 F 上的 n 阶方阵，则 a 为 A 的特征值的充要条件是 a 是 A 的最小多 顶式在 F 中的根。7.（25）设 A 为数域 P 上的 n 阶方阵，且，如果分别为方程组及AA 2 21,VV0AX的解空
7、间，则为的直和。0)(XEAnF21,VV8.（25）设 A，B 为 n 阶方阵。 （1）若 B 可逆，且，试证 A 可逆；022BABA（2）若 AB=A+B，试证 AB=BA。 9.（25）设 A 为实数域上 n 阶反对称阵。 （1）证明 A 的任意复特征值都是零或纯虚数；（2）证明。0A10. （25）设 A，C 为 n 阶正定阵，若矩阵方程 AX+XA=C 有唯一解 B，则 B 也是正定矩阵。西南师范大学西南师范大学 20032003 年年数学分析一、计算（）1.求 2.410 xxxdtxtxxxexf0322.0,sin; 0,31)().(lim 0xf x。 3.求 4.xdx
8、 sin1. 0, 0; 0),sin(ln)(3xxxxxf).0( f。102cos1sinlimdxxxnn二、（20）.lim, 2 , 1,222, 011nnnn nxnxxxx 求L三、（20）设 f 在a,b上二阶可导，且存在，求证存在一点0)(, 0)()(),(cfbfafbac. 0)(),(“fba四、（20）设，试证级数收L, 2 , 1,1,11212ndxxxnxnnnn11) 1(nnnx敛。五、（15）若 f 在a,b)上非负连续且，则对任意自然数 k 都有1)(badxxf. 1sin)(cos)(22 babakxdxxfkxdxxf六、（20）设上连续，
9、证明函数,)(1baxf在L, 2 , 1,)()(1ndttfxfxann序列上一致收敛于零。,)(baxfn在七、（15）设上连续，则是a,b上的连续函数。,)(baxf在)(inf)(tfxm xta八、（15）求在-2，2上的最大最小值。31 232 ) 1()(xxxf九、（20）讨论的连续性。nnnxxxxf2121lim)(十、（15）设上二阶可导，,)(baxf在, 0)( , 0)()(baxxfbfaf则方程内有唯一实根。),(0)(baxf在西南师范大学西南师范大学 20042004 年年高等代数1.（20）计算.xaaaxaaaxDnLLLLLLL2.（20）设整系数线
10、性方程组对任整数均有唯nibxainjjij, 2 , 1,1L nbbb,21L一整数解，证其系数行列式的值必为 1 或-1.3.（20）把二次型化为标准型，写出32212 32 22 132144543),(xxxxxxxxxxQ所做的可逆线性替换，并判别其是否正定。4.（20）设 f(x)为数域 F 上的多项式，且，又设1)(),(),()()(2121xfxfxfxfxfV 是数域 F 上的 n 维线性空间，T 为 V 的一个线性变换，.2111:).(),(WWKTfKerWTfKerK求证5.（20）设 V 是复数域上的 n 维线性空间，是 V 的线性变换，i 是小于 n 的正整数
11、，证明：存在维数为的不变子空间。的i6.（20）设 F 为数域，为 F 上二阶方阵构成的线性空间， FdcbadcbaV,为 V 的线性变换。证明：（1）若，则的特BAABBTVAA)(, 0010AAT征值全为零；（2）若 A 的特征值全为零，则的特征值全为零。AT7.（15）设 A，B 为实数域 R 上与矩阵，证明：（1）秩=秩；nsms)(AAT)(A（2）存在 R 上的矩阵 C，使。mnBAACATT8.（15）设 F 为数域，若对，则)(xFxf)()()(,bfafbafFba均有.Fkkxxf,)(9.（15）设 F 为数域，满足，证明或)(xFxf)()26() 1(xfxxx
12、f0)(xf.),25()2)(1()(FaxxxaxxfL西南师范大学西南师范大学 20042004 年年数学分析一、计算（）：1.；2.设 f(x)在上可导，510nnnn)1 211 (lim2 ),(，求。3. 。4. 100)(lim)(dtatxfxF n)( xF1nxxdxxy dyexfdxxf 02105 )()(其中5.设 D 为单连通开域，其边界曲线 L 光滑，计算。D)0,0(Lyxydxxdy22二、 （20）设上连续，且存在，证明上一致连续。),)(axf在)(limxf x),)(axf在三、 （15）设上连续，在内可导，证明存在，使得,)(baxf在),(ba
13、),(ba)( )()()(222fabafbf四、 （25）设 f（x）在区间 I 的连续，且在 I 上有且仅有一个极值点，又设为 f(x)0x0x的极大值点，证明 f()为 f(x)在 I 上的最大值。0x五、 （25）设正项级数发散，且，则（1）发散；（2）1nna nkknaS11nnn Sa收敛。 11 nnn Sa)0(六、 （15）设， （1）证明对任意正整数 n，方程xxxxan nsinsinsin)(2L仅有一根；（2）设是的根，求。2,6(1在na2,6(nx1nannx lim七、 （15）设，证明对。111, 1, 1qpqpxqxpxp11, 0 有西南师范大学西南
14、师范大学 20052005 年年数学分析一、 填空（）1. ；2. ；3.设66 )21(lim222nn nnnLdxxxarcsin是由方程确定的隐函数，则),(,),(2yxzzyzezyxfx其中0xyzzyx；4.设5.设 ) 1, 1 , 0(xf10103 2)(,)(11)(dxxfdxxfxxxf则，则常数；6.设aataxndttexx)1(lima )(,11)(2xfxxfn则二、 选择（）1.设对，且，则66)()()(,xgxfxx总有0)()(lim xxg xA.等于 0 B.存在但不为 0 C.一定不存在 D.不一定存在（ ） )(limxf x2.设 f(x)在 x=a 处可导，则处不可导的充分条件是（ ）A.axxf在)(B. C. 0)( 0)(afaf且0)( 0)(afaf且0)( 0)(afaf且D. 0)( 0)(afaf且3.设上的连续函数，的原函数，则（ ）A.当为,)(为xf)()(xfxF是)(xf奇函数时，必为偶函数；B. 当为偶
