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1、1韦达定理及应用专题韦达定理及应用专题解题方法及提分突破训练 姓名： 韦达，1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利 用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入 代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代 数学上的功绩，称他为“代数学之父” 。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王， 比利时的数学家罗门提出了一个 45 次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给 韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的 22 个正数解（他舍弃了另外的
2、22 个负数解） 。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一 时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定 理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一一 真题链接真题链接1.（2012兰州）若 x1、x2 是关于一元二次方程的两个根，则方程)0(02acbxax的两个根 x1、x2 和系数 a、b、c 有如下关系=-ab=ac把它称为一元二次方程21xx 2. 1xx根与系数关系定理如果设二次函数的图象与 x 轴的两个交点为)0(2acbxaxyA（，0） ，B（，0） 利用根与系数关系定理可以
3、得到 A、B 连个交点间的距离为：1x2x参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数（a0）的图象与 x 轴的两cbxaxy2个交点 A（，0） ，B（，0） ，抛物线的顶点为 C，显1x2x然ABC 为等腰三角形 （1）当ABC 为直角三角形时，求 b2-4ac 的值； （2）当ABC 为等边三角形时，求 b2-4ac 的值22.已知关于 x 的方程有两个相等的实数根，且满足0127) 1(222baaxax2a-b=0利用根与系数的关系判断这两根的正负情况若将图象沿对称轴向下移动 3 个单位，写出顶点坐127) 1(222baaxaxy标和对称轴方程3.设一元二次方程的两根为，则两根与方
4、程系数之间有如下)0(02acbxax21,xx关系：根据该材料填空：若关于 x 的一元二次方程的两个实数根分别是03422kkxx，且满足则 k 的值为？21,xx2121.xxxx二二 . 名词释义名词释义一元二次方程（a、b、c 属于 R）根的判别，=b2-4ac，不仅)0(02acbxax用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研 究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。求代数式的值求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解根系关系的三大用处根系关系的三大用处（1 1）计算对
5、称式的值）计算对称式的值例例 若12,x x是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：3(1) 22 12xx；(2) 1211 xx；(3) 12(5)(5)xx；(4) 12|xx说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222 121212()2xxxxx x，12121211xx xxx x，22 121212()()4xxxxx x，2 121212|()4xxxxx x，22 12121212()x xx xx xxx，333 12121212()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体思想（2）构造新方程）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方
6、程是。例例 解方程组 x+y=5Xy=6 解：显然，x，y 是方程 z2-5z+60 的 两根由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解 x1=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3 3）定性判断字母系数的取值范围）定性判断字母系数的取值范围例例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b 为的两根，则 c=2由题意知4三三 典题示例典题示例例例 1 已知关于x的方程221(1)104xkxk ，根据下列条件，分别求出k的值(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根12,x x满足
7、12|xx例例 2 已知12,x x是一元二次方程24410kxkxk 的两个实数根(1) 是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使12212xx xx的值为整数的实数k的整数值四四 巩固强化巩固强化1. （2011 湖北潜江，17，6 分）若关于 x 的一元二次方程 x24xk30 的两个实数根为 x1、x2，且满足 x13x2，试求出方程的两个实数根及 k 的值2. （2011南充，18，8 分）关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x2
8、1 且 k 为整数，求 k 的值3. （2011湖南张家界，23，8）阅读材料：5如果 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根，那么， 12bxxa ，12cxxa这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知 m 与 n 是方程 2x26x+3=0 的两根（1）填空：m+n= ，mn= ；（2）计算nm11的值4. （2011 湖北孝感，22，10 分）已知关于 x 的方程 x22（k1）x+k2=0 有两个实数根x1，x2（1）求 k 的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x21，求 k 的值5. （2011玉林，20，6 分）已知：x1、x2是一元二次方程
9、 x24x+1 的两个实数根求：（x1+x2）2（2111 xx）的值6. （2011 贵州遵义，24，10 分）有四张卡片（背面完全相同） ，分别写有数字1、2、1、2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母 b、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字。（1）用列表法求关于x的方程02cbxx有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。67.（2011 广西防城港 20，6 分）已知：x1、x2 是一元二次方程 x24x10 的两个实数根求（x1x2）2)11(21xx 的值8. （2011 湖北潜江、天门、仙桃、江
10、汉油田，17，6 分）若关于 x 的一元二次方程0342kxx的两个实数根为1x、2x，且满足213xx ，试求出方程的两个实数根及 k 的值.9. （2011 江苏苏州，15，3 分）巳知 a、b 是一元二次方程 x22x1=0 的两个实数根， 则代数式（ab） （a+b2）+ab 的值等于_10. （2011 江苏镇江常州，12，3 分）已知关于 x 的方程 x2+mx6=0 的一个根为 2，则 m= ，另一个根是 11. （2011 山东日照，14，4 分）如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正方形 CDEF，则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 如：x25x+1=0 12. （2011德州，14，4 分）若 x1，x2 是方程 x2+x1=0 的两个根，则 x12+x22= 13.（2011 四川眉山，17，3 分）已知一元二次方程 y23y+1=0 的两个实数根分别为y1、y2，则（y11） （y21）的值为 714. （2011 四川泸州，16，3 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k22=0 的两实根的平 方和等于 11，则 k 的值为
