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1、第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制年年 级级高三学科学科数学内容标题内容标题圆锥曲线编稿老师编稿老师胡居化一、学习目标：一、学习目标：1. 理解椭圆、双曲线、抛物线的定义及其定义的应用2. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程形式及标准方程的求法.3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质及其简单的应用.二、重点、难点：二、重点、难点：1. 椭圆、双曲线、抛物线的定义的应用.2. 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的求法.3. 椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质的应用三、考点分析：三、考点分析：在新课标高考中，圆锥曲线知识点是极其重要的考点，根据考试说明的要求，对圆锥曲线的定义、标准
2、方程、简单的几何性质要熟练的掌握.考试的题型有选择题、填空题、综合题，对圆锥曲线的基础知识的考查形式主要是选择题、填空题.综合知识的考查以大题形式出现.一、椭圆的有关知识一、椭圆的有关知识 1. 定义：平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数a2（大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆.是椭圆焦点，|，21,FFcFF2|21点集 M=P| |PF1|+|PF2|=2a|F1F2|注：（1）当即 a=c，时点的集合是线段.c2a2 21FF（2）当，点的集合是空集.时即cac 2a22. 椭圆的标准方程：第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制（焦点在 x 轴上） ，.)0( , 12
3、222 baby ax222 21).0 ,(),0 ,(cbacFcF（焦点在 y 轴上） ，.)0( , 12222 baay bx222 21)., 0(), 0(cbacFcF注：点与椭圆的位置关系.),(00yxP)0( , 12222 baby ax点.1)0(1),(22 0 22 0 222200byaxbaby axyxP上上上上点.1by ax0ba1byaxyxP22 0 22 0 222200上上上上)(),(点.1byax0ba1byaxyxP22 0 22 0 222200上上上上)(),(椭圆的参数方程：椭圆上任意一点 P（x，y） ，则.12222 by axR
4、（byax ,sincos3. 椭圆的几何性质：焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称顶点A1（-a，0） A2（a，0）B1（0，-b） B2（0，b）A1（0，-a） A2（0，a）B1（-b，0） B2（b，0）离心率e=，00，b0） 第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制（3）椭圆上任意一点 P 到焦点 F 的距离的最大值是|PF|=a+c，最小值是|PF|=a-c.（4）椭圆上任意一点 P 到两焦点距离之积的最大值是 a2，此时 P 点与椭圆短轴的两端点重合.二、抛物线的有关知识二、抛物线的有关知
5、识1. 抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不过 F 点）距离相等的点的集合叫抛物线.定点 F 叫抛物线的焦点，定直线 l 叫抛物线的准线.2. 抛物线的标准方程形式：（p0） （p0） （p0） pxy22pxy22pyx22pyx22（p0）P:称为焦准距（焦点到准线的距离）3. 抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率（以为例）pxy224. 抛物线的通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交，两交点之间的距离是抛物线的通径，长度是 2p.5. 有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交pxy22于 A（.则有下列结论),(),2211
6、yxByx（1）|AB|=，|AB|=， （显然当时，|AB|最小，最小值是pxx212sin2po902p，此时|AB|是抛物线的通径.）（2），21xx2 212 ,4pyyp（3）sin22pSAOB（4）pBFAF2 |1 |1（5）以|AB|为直径的圆与准线相切三、双曲线的有关知识三、双曲线的有关知识1. 双曲线的定义：定义：平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的集合21,FF|21FF叫做双曲线.定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离是焦距.21,FF第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制M=.|2,2| | |2121FFaaPFPFP注意：（1）在定义中：若
7、2a=，则点的集合是以为端点的射线，若 2a|21FF21,FF，则点的集合是空集.|21FF（2）在定义中：当，则点的集合是双曲线的右支（如图 1） ，当aPFPF2|21，则点的集合是双曲线的左支（如图 2）.aPFPF2|122. 双曲线的标准方程（1），焦点在 x 轴上（实轴在 x 轴上） ，)0, 0( , 12222 baby ax222cba（2），焦点在 y 轴上（实轴在 y 轴上） ，)0, 0( , 12222 babx ay222cba3. 双曲线的几何性质图形对称性关于 x 轴、y 轴、原点对称范围 或axax 或ayay 顶点A1（-a，0） A2（a，0）实轴：2a
8、，虚轴：2bA1（0，-a） A2（0，a）实轴：2a虚轴：2b离心率（e：确定双曲线的开口程度）1ace渐近线xabyxbay焦半径（1）P（点在右支上),00yx，01|exaPF02|exaPF（1）点在上支上),(00yxP0201|,|eyaPFeyaPF第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制（2）P点在左支上，),(00yxaexPFaexPF0201| ,|（2）P点在下支上),(00yxaeyPFaeyPF0201|，注：（1）已知渐近线方程，可设双曲线方程是，确定0 aybx2222yaxb的值.（2）不能确定双曲线的焦点位置时，可设方程为：)0( , 122mnny
9、mx（3）与双曲线共焦点的双曲线方程设为：)0, 0( , 12222 baby ax)( , 122 2222 akbkby kax4. 几种特殊的双曲线（1）等轴双曲线：， （等轴双曲线的离心率是）222ayx2（2）共轭双曲线：互为共轭双曲线.1122222222 by ax by ax与性质：互为共轭双曲线的四个焦点共圆，离心率倒数平方之和等于 1，有相同的渐近线5. 双曲线中的基本三角形：（1）如图：,tan,| ,| ,|OA|abAOBbABcOBaAOB中，AOBecos1（2）焦点三角形的面积：， （）21PFF2cot2bS 21PFF第 6 页 版权所有版权所有 不得复制
10、不得复制知识点一：椭圆、抛物线、双曲线的标准方程知识点一：椭圆、抛物线、双曲线的标准方程例 1. 把下列正确命题的序号填在题后的横线上.（1）平面内到定点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆.),(),(03F（03F21（2）平面内有两点，动点 P 满足：，则 P 点),(),(03（F03F214|21 PFPF的轨迹是双曲线.（3）P 是椭圆上任意一点，则的最大值是.)0( , 12222 baby ax|21PFPF 2a（4）双曲线与椭圆有相同的焦点和焦距.192522 yx13522 yx（5）以抛物线过焦点 F 的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关)0(22ppxy系是相切.（6）
11、是方程“表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充分必要条件.”“0nm1nymx22正确的命题是_.【思路分析思路分析】（1） （2）根据椭圆和双曲线的定义判断.（3） （4） （5）通过计算判断.（6）利用充要条件定义判断.【解题过程解题过程】（1）根据椭圆的定义知：点的轨迹是以为端点的线段.命题（1）错.21,FF（2）由双曲线的定义知：点的轨迹是双曲线的一支（右支） ，故命题（2）错.（3）由椭圆的定义知：,2|21aPFPF，等号成立的条件是：.故命2221 21)2|(|aPFPFPFPF|21PFPF 题正确.（4）由椭圆方程和双曲线的方程知：它们的焦点都在 x 轴上，且相等，是，焦距显然
12、相等.故命题正确.),(),(034F（034F21（5）如图：M 是过焦点 F 的弦 AB 的中点，则，由抛物|)|(|21|111BBAAMM第 7 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制线的定义知：，故以|AB|为直径的圆的圆心| |,|11BFBBAFAA|AB21MM1M 到准线的距离等于圆的半径，命题正确.|21AB（6）若 mn0 则，方程化为：，故焦点在 y 轴上.反之，方程nm1111122 nymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则必有，即 mn0 成立.是充要条件.故命11122 nymx nm11题正确.【解题后的思考解题后的思考】上述命题主要考查圆锥曲线的定义，圆锥曲线的
13、标准方程等基础知识.掌握圆锥曲线的定义很关键，它给解决圆锥曲线的有关问题带来很大的方便.例 2. 根据下列条件求圆锥曲线的标准方程.（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两)2, 3(),1 ,6(21PP点，求椭圆的标准方程.（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点 M（-2，）的双曲线的方程.19y 16x22 29（3）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M（m，-3）到焦点的距离是 5，求抛物线的方程.【思路分析思路分析】（1）对于本题求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及 a，b 的值.若不能确定焦点的位置，要讨论焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种
14、情形.或设方程为可避免讨论，简化运算.)0, 0( , 122BAByAx（2）设所求的双曲线方程为，确定的值.9y 16x22（3）因顶点在原点，对称轴是 y 轴，点 M（m，-3）位于第三、四象限.故可设抛物线方程是. .)0( ,22ppyx【解题过程解题过程】第 8 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制（1）解法一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为)0( , 12222 baby ax由已知得：即所求的椭圆方程是 39123116222222bababa13922 yx当焦点在 y 轴上时，设椭圆方程为，由已知得：)0( , 12222 baay bx 1231162222abab
15、解得 b2=9，a2=3，与 ab 矛盾.此种情形不存在.综合上述知：所求的椭圆方程是13922 yx解法二：由已知设椭圆的标准方程是，故122 ByAx 319112316BABABA即所求的椭圆标准方程是.13922 yx（2）设所求的双曲线的方程是，把 M（-2，）代入求得9y 16x22 )0(29，即所求的双曲线的方程是218x29y22 （3）解法一：设所求的抛物线的方程为，则焦点为 F)0( ,22ppyx)2, 0(p在抛物线上，且|MF|=5，),(3mM上Q，故抛物线的方程为 6245)23(6222mp pmpm .82yx解法二：设抛物线的方程为：（p0）焦点 F（0，-，准线 L:y=，pyx22
