理论力学第三章力矩与力偶

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1、力矩力矩 一、力对点的矩一、力对点的矩-力使物体产生绕某点转动的效应的度量力使物体产生绕某点转动的效应的度量 O: 矩心，矩心，d：力臂：力臂 M O (F)= F d 平面问题中平面问题中, ,力对点的矩是代数量力对点的矩是代数量 O d A F -度量力对物体产生的转动效应度量力对物体产生的转动效应 第三章第三章 力矩理论与力偶理论力矩理论与力偶理论 3 3- -1 1 力矩理论力矩理论 力F 对O点的矩 等于力作用点等于力作用点 A 对对O点的矢径点的矢径 r 与该力与该力F 的矢量积的矢量积 空间问题中空间问题中, ,力对点的矩是矢量力对点的矩是矢量 FrFMO)(,kzj yixr

2、,kFjFiFFzyx zyxFFFzyxkji FoM ）(i )zFyF(yz j)xFzF(zx k)yFxF(xy x、y、z为力为力作用点的坐标作用点的坐标 Fx、Fy、Fz 为力的投影为力的投影 0: 矩心，矩心，d：力臂：力臂 kFMjFMiFMzOyOxO)()()(FrFM)(0,kzj yixr ,kFjFiFFzyx zyxFFFzyxkji FoM ）(i )zFyF(yz j)xFzF(zx k)yFxF(xy kyFxFjxFzFizFyFFMxyzxyzO )()()()(kFMjFMiFMzOyOxO)()()(O:矩心，矩心，d：力臂：力臂 的面积OABdFF

3、rFrFMO2),sin()( 的的大小：大小： )(FMO的的方向：方向： )(FMO垂直于垂直于O点和力点和力 F 组成的力矩平面组成的力矩平面 (即即 r 与与 F 组成的平面组成的平面OAB ) 右手法右手法 则为正则为正 为定位矢量为定位矢量, , 力对不同的矩心的矩不同力对不同的矩心的矩不同 )(FMOkyFxFjxFzFizFyFFMxyzxyzO )()()()(M O (F)= + F d = M O (F)= F d 的面积OBA2二、力对轴的矩二、力对轴的矩力使物体绕轴转动的效应的度量力使物体绕轴转动的效应的度量 当力当力F 与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴

4、之矩为零。 8 的面积2)()(BOAdFFmFmxyxyOz 定义：定义： 它是代数量 )()()()(xyOxyzzzzFmFmFmFm力力 F 对轴的矩对轴的矩 9 FrFMO)(即：即： xyzzO yFxFFMFM )()(三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 )()(cos)(FMFMFMzzO 定理定理：力对点之矩矢在通过该力对点之矩矢在通过该 点的任意轴上的投影等于这力对于点的任意轴上的投影等于这力对于 该轴的矩。该轴的矩。 这就是力对点之矩与该力对通过该点轴之矩的关系这就是力对点之矩与该力对通过该点轴之矩的关系 kFMjFMiF

5、MFrFMzOyOxOO)()()()(kFMjFMiFMzyx)()()(力对点力对点O的矩可写成的矩可写成 10 )()(cos, )()(cos, )()(cos FMFMFMFMFMFMOzOyOx222)()()()(FMFMFMFMzyxO力对点的矩可利用上式通过计算力对过该点力对点的矩可利用上式通过计算力对过该点 的三个坐标轴之矩来计算。的三个坐标轴之矩来计算。 )()(yzxzFyFFM)()(zxyxFzFFM)()(xyzyFxFFM大小大小 方向方向 kFMjFMiFMFrFMzOyOxOO)()()()(kFMjFMiFMzyx)()()(力对点力对点O的矩可写成的矩可

6、写成 例例 构件构件OA在在A点受到作用力点受到作用力F=1000N，方向如图，方向如图1-27a所示。图所示。图 中中A点在点在Oxy平面内，尺寸如图。试求力平面内，尺寸如图。试求力F对对xyz坐标轴的矩坐标轴的矩 Mx(F)My (F)Mz(F)。 解解 : 力F 作用点 A 的 坐标为 x=0.05 m， y = 0.06 m， z =0 mN4 .4270706. 0)()(yzxzFyFFMmN4 .35707)05. 0()()(zxyxFzFFMmN1 .19)612(06. 0354)05. 0()()(xyzyFxFFM力力F 在在xyz 轴上的投影为轴上的投影为 Fx=Fc

7、os450 sin600=10000.7070.866 N=612 N Fy= F cos450 cos600=10000.7070.500 N= 354 N Fz= Fsin450=1000.00.707 N= 707 N 力力F 对三个坐标轴的矩分别为对三个坐标轴的矩分别为 力对力对 O点点 的矩为的矩为 kjiFMO1 .194 .354 .42)(12 力对力对 A 点的矩矢量如图所示，点的矩矢量如图所示， 大小为大小为 Fa 力对力对AB轴的矩为该矩矢量在轴的矩为该矩矢量在 AB 轴上的投影，大小为轴上的投影，大小为 Fa sin f f 13 1 1、力偶、力偶大小相等、方向相反，

8、作用线平行且相大小相等、方向相反，作用线平行且相 距一定距离的两力组成的力系距一定距离的两力组成的力系( ( ) ) FF力偶对刚体只产生转动效果，这种效果可用力偶对任力偶对刚体只产生转动效果，这种效果可用力偶对任 一点的矩一点的矩力偶矩矢量来度量力偶矩矢量来度量 3 3- -2 2 力偶理论力偶理论 一、力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩 )()(FmFmmOOOA BdABro力偶矩矢大小力偶矩矢大小 dFmO力偶矩矢方向力偶矩矢方向 垂直于力偶两力组成的平面垂直于力偶两力组成的平面-力偶作用面力偶作用面 2 2、力偶矩矢、力偶矩矢 力偶对刚体的转动效果，可用力偶对任一点的矩力偶对刚体的转动效果

9、，可用力偶对任一点的矩 力偶矩矢量来度量力偶矩矢量来度量 FrFrOBOAFrFrrFrFrABOAOBOBOA)()(FrFrrFrFrFrFrFmFmmABOAOBOBOAOBOAooO)()()()(A BdABro力偶矩矢力偶矩矢 力偶矩矢大小力偶矩矢大小 dFmO力偶矩矢方向力偶矩矢方向 垂直于力偶两力组成的平面垂直于力偶两力组成的平面-力偶作用面力偶作用面 力偶矩矢与O点的选取无关，因此力偶对空间任意一点的矩是一个常矢量 结论结论: :力偶矩矢为自由矢力偶矩矢为自由矢量，力偶对刚体的转动效应完量，力偶对刚体的转动效应完全取决于力偶矩，与矩心无关全取决于力偶矩，与矩心无关 5 10

10、5 = 等等 效效 10 大小、转向大小、转向 力偶矢量和力矩矢量的区别力偶矢量和力矩矢量的区别 力偶矢量是自由矢量力偶矢量是自由矢量只要保持其方向不变，可以在空间作平移只要保持其方向不变，可以在空间作平移 力矩矢量为定位矢量力矩矢量为定位矢量除大小、方向外，还与矩心有关除大小、方向外，还与矩心有关 17 有 n 个力偶组成的力偶系，力偶矩矢分别为M1， M2 ,., Mn。由于力 偶矩是自由矢量，只要方向不变，可通过移动使其汇交于一点，由于是矢 量，它们的合成符合矢量运算法则，因此 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和 即：即： 空间力偶系的合成结果是一个合力偶，这个力偶矩等于空间力偶系的合成结果

11、是一个合力偶，这个力偶矩等于 各分力偶矩的矢量和各分力偶矩的矢量和 iMMMMM321合力偶矩的解析表达式：合力偶矩的解析表达式： izziyyixxMMMMMM, 222 zyxMMMMMMkMMMjMMMiMzyx),cos(,),cos(,),cos(大小大小 方向方向 kMjMiMiziyixkMjMiMzyx二、力偶系的合成二、力偶系的合成 mN60)15(4 解解: : ）各力偶的合力偶矩为：）各力偶的合力偶矩为： mN154321mmmm 例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻

12、头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩求工件的总切削力偶矩 4321mmmmmMi例例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切 削力偶矩均为削力偶矩均为80 N m。求工件所受合力偶的矩在。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影轴上的投影 Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。，并求合力偶矩矢的大小和方向。 解：解：将作用在四个面上的力偶用力偶将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到矩矢表示，并平移到A点点。 mN 1 .19345cos45cos543 M MMMx可得可得 mN 6 .2842 z2 y2

13、 xMMMM所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小 合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦 6786. 0cos2811. 0cos6786. 0cosk ,Mj ,Mi ,M，mN 802 MMymN 1 .19345cos45cos541 M MMMz三、力偶系的平衡三、力偶系的平衡 空间力偶系的合成结果是合力偶空间力偶系的合成结果是合力偶 空间力偶系平衡的充要条件是：空间力偶系平衡的充要条件是：合力偶矩矢为零，或力偶系中各分合力偶矩矢为零，或力偶系中各分 力偶矩的矢量和等于零力偶矩的矢量和等于零 等价于等价于 力偶系的平衡条件为：力偶系中各力偶矩矢在力偶系的平衡条件为：力偶系中各力偶矩矢在x、y、z三三 个坐标轴中每一轴上投影的代数和均为零。个坐标轴中每一轴上投影的代数和均为零。 空间力偶系平衡的几何条件为：各分力偶矩矢组成的矢量多边形自行封闭。空间力偶系平衡的几何条件为：各分力偶矩矢组成的矢量多边形自行封闭。 二个平衡方程二个平衡方程 平面力偶系平面力偶系: : 三个平衡方程三个平衡方程 kMjMiMMiziyix0321iMMMMM000iziyixMMM 00iyix MM