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1、行程问题（一）：相遇问题和追及问题专题前言解答行程问题主要围绕“速度、时间和路程”这三者之间的关系来考虑。本讲主要解答相遇问题和追及问题，注意数量之间的对应关系，相遇问题中主要的数量关系是：路程和=速度和相遇时间；追及问题中主要的数量关系是：路程差=速度差追及时间。两类问题中基本着眼点是两个运动物体要同时运行，时间保持相等，如果时间不相等的，可以适当的变化使时间保持相等关系。解答行程问题，笔者常用的方法是“化动为静” ，运用时把慢速度的运动物体当作不动。在相遇问题中把慢速度转借给快速度，成为速度和。 （反正都是两车共行一段路，运动速度快的物体用上两车的速度和，速度会更快，就好像是在帮速度慢的运
2、动物体在行驶一样，达到了两车同时运行的效果。 ）在追及问题中从快速度中减去慢速度，成为速度差。 （快速度物体不让慢速度物体运动，必须从中拿出一部分“能量” 也就是相当于慢运动物体的速度来控制它，这样才能让慢运动物体保持不动，而快运动物体就慢慢地行完两个物体之间相距的路程后，就追上慢运动物体了。 ）从下图中可以看出，一小时后，慢运动物体和快运动物体现时向前运动了一段路程，但如果两个运动物体都向后退慢运动物体所行的路程后，慢运动物体就好像没有动一样。“化动为静”主要依据其实是 “参照物”的一种具体运用，对于较复杂的行程问题能取到良好地作用便于寻找出“相遇路程或追及路程” 。这在以后几讲中都会提及。
3、解答行程问题时，另一个常用的方法就是利用正、反比例的知识。这需要我们寻找出题中的不变量，正确选择解题思路。例题精讲例 1：甲乙两人相距 800 米，甲每分行 120 米，乙每分行 80 米，现在两人同时出发，同向而行，问：几分钟后甲能追上乙？分析与解：运用“化动为静” ，把乙看作不动，那么甲以两人的速度差走完相距的 800 米，能追上乙了。解：800（12080）=20 分。答：20 分钟后甲能追上乙。例 2：甲乙两车同时从相距 600 千米的 AB 两地相向而行，甲车的速度比乙车快 8 千米，两车相遇点离 AB 两地中点 20 千米，求两车的速度各是多少千米/时？分析与解：借助线段图来进行分
4、析。题中出示了两车的速度差：8 千米/时，我们就应该去寻找路程差。中点可以把全程平均分成两份，由于甲车的速度快，所以行的路比一半多 20 千米，而乙车行的路比一半少 20 千米，从图中很容易知道甲车比乙车多行 2 个 20 千米，这是路程差，两车的速度差是 8 千米/时，根据这两个数量能求出时间：2028=5 小时。说明两车经过 5 小时相遇，共行了 600 千米，进而求出两车的速度和：6005=120 千米/时。再通过两车的速度差，构成和差问题求解。解：相遇时间：2028=5 小时。两车的速度和：6005=120 千米/时。乙车速度：（1208）2=56 千米/时。甲车速度：56+8=64
5、千米/时。答：乙车速度：（1208）2=56 千米/时，甲车速度：56+8=64 千米/时。乙（不动）甲AB800 米12080乙甲AB600 千米中点2020乙行的路乙行的路例 3：甲、乙两人骑车同时从 AB 两地相向而行，经过 5 小时相遇，如果两人的速度都增加 2 千米/时，那么经过 4 小时就能相遇，问 AB 两地相距多少千米？分析与解：方法一：运用“化动为静” ，把乙看作不动，那么甲以两人的速度和从 A 地单独行往 B 地，5 个小时就能行完全程；如果两人的速度都增加 2 千米/时，速度和就增加了 2+2=4 千米/时，这时可以假设另一个人丙也从 A 地单独行往 B地，4 个小时就能
6、行完全程；再次假设甲先行 1 小时，然后丙出发，根据题意两人将会同时到达 B 地，这样就变成了一道以“速度差为 4 千米/时，追及时间为 4 小时，路程差为原来甲乙速度和”的简单追及问题。解：甲乙两人原来的速度和：（2+2）4（54）=16 千米/时。AB 两地相距：165=80 千米。方法二：甲、乙两人按原速前进，每小时合行全程的 ，如果每人速度各1 5自增加 2 千米/时，两人每小时合行全程的 。因此 2+2=4 千米对应了全程 1 41 4。1 5解：（2+2）（ ）=80 千米。1 41 5答：AB 两地相距 80 千米。评析：假设法之妙与对应法之美都可以在这道题中尽情地展现，我们在做
7、题的时候应该用心去感受数学给人们带来的无尽享受。注意：通过例 2 和例 3，可见行程问题中相遇和追及是可以相互转化的，AB4速度和甲（不动）丙解题关键是抓住路程存在差还是和；或者速度存在差还是和；然后选择恰当的数量关系进行解答。例 4：甲、乙、丙三人进 200 米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有 20米，丙离终点还有 25 米。如果三人赛跑时的速度始终不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？分析与解：如果认为当乙到达终点时，丙离终点还有 2520 米就大错特错了，这样就把乙、丙后来的速度看作相等的了。因为速度保持不变，则乙丙第一次的路程比与第二次的路程比相等，得到：（20020）：（2
8、0025）=20：乙后跑的路程。本题中甲是一个多余条件，思考的时候去掉甲的条件能更好地直奔主要要点。解：乙丙的路程比是：（20020）：（20025）=36：35。丙后来跑了：20 = 米。35 36175 9离终点还有：25 = 米。175 950 9答：丙离终点还有 米。50 9例 5：客车和货车同时从 A、B 两地相向开出，客车行完全程需要 5 时，货车行完全程需要 8 时，两车在中途相遇后，客车又行了 91 千米，这时客车行完全程的 75%，A、B 两地相距多少千米？分析与解：因为两地路程是一定的，所以速度与时间成反比例。可知客车与货车速度的比是：8：5。两车相遇时所用的时间是相等的，
9、速度与路程成正比例，那么相遇时客车与货车所行的速度比也是 8：5。这时客车行了全程的，再行 90 千米就行了全程的 75%，因此 91 千米应占全程的 75% 8 5 + 88 5 + 8= 。7 52解：91（75%）=676 千米。8 5 + 8答：A、B 两地相距 676 千米。例 6：甲、乙、丙三人同时从 A 地行往 B 地，甲、乙两人步行的速度都是4 千米/时，丙骑车的速度是 52 千米/时，规定丙一次只能带一个人前行，现在丙先带甲前行，乙走路，当丙带甲到了某一地点后，甲下车步行，丙返回来带乙前行，三人恰好同时到达 B 地。问：乙步行了全程的几分之几？分析与解：由于甲、乙两人既坐了车
10、，又走了路，要想同时到达 B 地，一定要使他俩坐车的路程相等，步行的路程也相等，否则谁坐车时间长，谁就会先到。可以定甲后来步行了一份，当甲下车后，丙返回接到乙时，乙也正好行了一份的路，这时乙与丙的运行时间相等，路程与速度成正比例，那么乙丙二人的路程比是 52：4=13：1，可见丙行了 13 份。从图中可以看出：丙行的 13 份路中，包括带甲前进和返回来接乙两部分，求出中间路程的份数：（131）2=6 份，总路程平均分成了：1+6+1=8 份，乙步行了全程的 18 = 。1 8解：丙、乙两人行的路程比是 52：4=13：1；总路程平均分成的份数：1+（131）2+1=8 份；乙步行了全程的 18
11、 = 。1 8答：乙步行了全程的 。1 8例 7：李叔叔沿公路以不变的速度步行，某路公共汽车也以不变的速度不乙行 1 份甲行 1 份丙行 13份？份停地运行。李叔叔发现每隔 10 分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔 4 分钟就遇到一辆公共汽车迎面开来。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？分析与解：方法一：当有一辆车与李叔叔相遇时，另一辆车与李叔叔相距的路程也就是两辆车相距的路程，车 1 行到车 2 所用的时间也就是发车时间。可以把两车之间的路程用单位“1”来表示。如果车与人相向而行，这段路程就是相遇路程（路程和） ，相遇时间是 4 分钟，可求出车与人的速度和： ；如果车与人相向而行，这段
12、路程就是追及路程（路程差） ，追及时间是 10 分钟，可求出车与人的速度差： ；根据和差问题求出车速：（ + ） 2 = 1 101 41 107 40；那么发车时间是：1 = 分。7 4040 7解：车速：（ + ） 2 = ；1 41 107 40发车时间间隔是：1 = 分。7 4040 7方法二：假设李叔叔在路上向前行走了 20 分钟（4 和 10 的最小公倍数，便于计算）后，立即回头再走 20 分钟，回到原地。这时在前 20 分钟他迎面遇到 204=5 辆车，后 20 分钟有 2010=2 辆车追上他，那么在 2 个 20 分钟里他共遇到同一方向开来的公共汽车 7 辆，则发车时间间隔是
13、：407= 分。40 7解：4，10=20。202（204+2010）= 分。40 7答：该路公共汽车每隔分钟发一次车。40 7人人车 1车 2练习：1、兄弟两人在 400 米的环形跑道的同一地点同时起跑，如果背向跑两人经过 25 秒相遇，如果同向跑，哥哥经过 200 秒追上弟弟。求兄弟两人的速度各是多少米/秒？2、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，两车在 A、B 两地之间不断往返行驶。甲、乙两车的速度比是 2：3，已知两车在第一次相遇点和第二次相遇点之间恰好相距 180 千米。问 A、B 两地相距多少千米？3、小华与小李两人分别从东、西两村同时出发，相向而行，出发时他们的速度
14、比是 5：3。他们相遇后继续前进，小华速度提高了 12%，小李的速度提高了 50%，这样当小华到达西村时，乙离东村还有 880 米，那么东、西两村间的距离是多少米？4、兄弟两人以匀速绕圆形跑道同时按相反方向跑步，出发点在直径的两个端点。当弟弟跑完 100 米后两人第一次相遇，当哥哥跑一圈还差 60 米时两人第二次相遇，问：跑道有多长？5、客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，客车的速度是 60 千米/时，货车的速度是 54 千米/时，两车相遇点离 AB 两地中点 12 千米，那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？6、张明和孙玉两人同时从学校到少年宫，张明骑车每分行 240 米，孙玉走路每分行 80
15、 米，当张明到了少年宫后发现忘了带证件马上返回，在离少年宫640 米处遇上孙玉。问学校离少年宫有多少远？7、一架飞机所带的燃料最多可以飞行 8.5 小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行 1800 千米，飞回时每小时飞行 1600 千米，这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞？8、公路上有同向行驶的三辆车，客车在前，小轿车在后，货车在中间，且货车同客车、小轿车的距离相等。10 分钟后，小轿车追上了货车，又过 5 分钟，小轿车追上了客车。问：再过几分钟货车追上客车？答案：1、解：速度和：40025=16 米/秒；速度差：400200=2 米/秒；弟弟的速度：（162）2=7 米/秒；哥哥的速度：7+2=
16、9 米/秒。答：弟弟的速度是 7 米/秒；哥哥的速度是 9 米/秒。2、解：相遇时，两车用的时间相等，速度与路程成正比例。甲、乙两车行驶的路程的比也是 2：3；全程平均分成：2+3=5 份，这时甲离 A 地 2 份。两次相遇两车行三个全程，所以甲车共行：23=6 份，这时甲离 A 地：526=4 份。两个相遇点之间相距：42=2 份，也就是 180 千米，每份长：1802=90千米，A、B 两地相距：905=450 千米。答：A、B 两地相距 905=450 千米。3、解：相遇时，小华与小李两人行的路程比是 5：3，这时小华还要行 3份的路程就能到达西村，而小李要行 5 份的路程就才能到达西村。这时他们的速度比为：5（1+12%）：3（1+50%）=4：3。当小华到达西村时时，小李能行：3 = 份，离东村还有：5 = 份，也就是 880 米。3 49 49 411 4每份长：880 = 32
