《行程问题(一)相遇问题和追及问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《行程问题(一)相遇问题和追及问题(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、行程问题(一):相遇问题和追及问题专题前言解答行程问题主要围绕“速度、时间和路程”这三者之间的关系来考虑。本讲主要解答相遇问题和追及问题,注意数量之间的对应关系,相遇问题中主要的数量关系是:路程和=速度和相遇时间;追及问题中主要的数量关系是:路程差=速度差追及时间。两类问题中基本着眼点是两个运动物体要同时运行,时间保持相等,如果时间不相等的,可以适当的变化使时间保持相等关系。解答行程问题,笔者常用的方法是“化动为静” ,运用时把慢速度的运动物体当作不动。在相遇问题中把慢速度转借给快速度,成为速度和。 (反正都是两车共行一段路,运动速度快的物体用上两车的速度和,速度会更快,就好像是在帮速度慢的运
2、动物体在行驶一样,达到了两车同时运行的效果。 )在追及问题中从快速度中减去慢速度,成为速度差。 (快速度物体不让慢速度物体运动,必须从中拿出一部分“能量” 也就是相当于慢运动物体的速度来控制它,这样才能让慢运动物体保持不动,而快运动物体就慢慢地行完两个物体之间相距的路程后,就追上慢运动物体了。 )从下图中可以看出,一小时后,慢运动物体和快运动物体现时向前运动了一段路程,但如果两个运动物体都向后退慢运动物体所行的路程后,慢运动物体就好像没有动一样。“化动为静”主要依据其实是 “参照物”的一种具体运用,对于较复杂的行程问题能取到良好地作用便于寻找出“相遇路程或追及路程” 。这在以后几讲中都会提及。
3、解答行程问题时,另一个常用的方法就是利用正、反比例的知识。这需要我们寻找出题中的不变量,正确选择解题思路。例题精讲例 1:甲乙两人相距 800 米,甲每分行 120 米,乙每分行 80 米,现在两人同时出发,同向而行,问:几分钟后甲能追上乙?分析与解:运用“化动为静” ,把乙看作不动,那么甲以两人的速度差走完相距的 800 米,能追上乙了。解:800(12080)=20 分。答:20 分钟后甲能追上乙。例 2:甲乙两车同时从相距 600 千米的 AB 两地相向而行,甲车的速度比乙车快 8 千米,两车相遇点离 AB 两地中点 20 千米,求两车的速度各是多少千米/时?分析与解:借助线段图来进行分
4、析。题中出示了两车的速度差:8 千米/时,我们就应该去寻找路程差。中点可以把全程平均分成两份,由于甲车的速度快,所以行的路比一半多 20 千米,而乙车行的路比一半少 20 千米,从图中很容易知道甲车比乙车多行 2 个 20 千米,这是路程差,两车的速度差是 8 千米/时,根据这两个数量能求出时间:2028=5 小时。说明两车经过 5 小时相遇,共行了 600 千米,进而求出两车的速度和:6005=120 千米/时。再通过两车的速度差,构成和差问题求解。解:相遇时间:2028=5 小时。两车的速度和:6005=120 千米/时。乙车速度:(1208)2=56 千米/时。甲车速度:56+8=64
5、千米/时。答:乙车速度:(1208)2=56 千米/时,甲车速度:56+8=64 千米/时。乙(不动)甲AB800 米12080乙甲AB600 千米中点2020乙行的路乙行的路例 3:甲、乙两人骑车同时从 AB 两地相向而行,经过 5 小时相遇,如果两人的速度都增加 2 千米/时,那么经过 4 小时就能相遇,问 AB 两地相距多少千米?分析与解:方法一:运用“化动为静” ,把乙看作不动,那么甲以两人的速度和从 A 地单独行往 B 地,5 个小时就能行完全程;如果两人的速度都增加 2 千米/时,速度和就增加了 2+2=4 千米/时,这时可以假设另一个人丙也从 A 地单独行往 B地,4 个小时就能
6、行完全程;再次假设甲先行 1 小时,然后丙出发,根据题意两人将会同时到达 B 地,这样就变成了一道以“速度差为 4 千米/时,追及时间为 4 小时,路程差为原来甲乙速度和”的简单追及问题。解:甲乙两人原来的速度和:(2+2)4(54)=16 千米/时。AB 两地相距:165=80 千米。方法二:甲、乙两人按原速前进,每小时合行全程的 ,如果每人速度各1 5自增加 2 千米/时,两人每小时合行全程的 。因此 2+2=4 千米对应了全程 1 41 4。1 5解:(2+2)( )=80 千米。1 41 5答:AB 两地相距 80 千米。评析:假设法之妙与对应法之美都可以在这道题中尽情地展现,我们在做
7、题的时候应该用心去感受数学给人们带来的无尽享受。注意:通过例 2 和例 3,可见行程问题中相遇和追及是可以相互转化的,AB4速度和甲(不动)丙解题关键是抓住路程存在差还是和;或者速度存在差还是和;然后选择恰当的数量关系进行解答。例 4:甲、乙、丙三人进 200 米赛跑,当甲到达终点时,乙离终点还有 20米,丙离终点还有 25 米。如果三人赛跑时的速度始终不变,那么当乙到达终点时,丙离终点还有多少米?分析与解:如果认为当乙到达终点时,丙离终点还有 2520 米就大错特错了,这样就把乙、丙后来的速度看作相等的了。因为速度保持不变,则乙丙第一次的路程比与第二次的路程比相等,得到:(20020):(2
8、0025)=20:乙后跑的路程。本题中甲是一个多余条件,思考的时候去掉甲的条件能更好地直奔主要要点。解:乙丙的路程比是:(20020):(20025)=36:35。丙后来跑了:20 = 米。35 36175 9离终点还有:25 = 米。175 950 9答:丙离终点还有 米。50 9例 5:客车和货车同时从 A、B 两地相向开出,客车行完全程需要 5 时,货车行完全程需要 8 时,两车在中途相遇后,客车又行了 91 千米,这时客车行完全程的 75%,A、B 两地相距多少千米?分析与解:因为两地路程是一定的,所以速度与时间成反比例。可知客车与货车速度的比是:8:5。两车相遇时所用的时间是相等的,
9、速度与路程成正比例,那么相遇时客车与货车所行的速度比也是 8:5。这时客车行了全程的,再行 90 千米就行了全程的 75%,因此 91 千米应占全程的 75% 8 5 + 88 5 + 8= 。7 52解:91(75%)=676 千米。8 5 + 8答:A、B 两地相距 676 千米。例 6:甲、乙、丙三人同时从 A 地行往 B 地,甲、乙两人步行的速度都是4 千米/时,丙骑车的速度是 52 千米/时,规定丙一次只能带一个人前行,现在丙先带甲前行,乙走路,当丙带甲到了某一地点后,甲下车步行,丙返回来带乙前行,三人恰好同时到达 B 地。问:乙步行了全程的几分之几?分析与解:由于甲、乙两人既坐了车
10、,又走了路,要想同时到达 B 地,一定要使他俩坐车的路程相等,步行的路程也相等,否则谁坐车时间长,谁就会先到。可以定甲后来步行了一份,当甲下车后,丙返回接到乙时,乙也正好行了一份的路,这时乙与丙的运行时间相等,路程与速度成正比例,那么乙丙二人的路程比是 52:4=13:1,可见丙行了 13 份。从图中可以看出:丙行的 13 份路中,包括带甲前进和返回来接乙两部分,求出中间路程的份数:(131)2=6 份,总路程平均分成了:1+6+1=8 份,乙步行了全程的 18 = 。1 8解:丙、乙两人行的路程比是 52:4=13:1;总路程平均分成的份数:1+(131)2+1=8 份;乙步行了全程的 18
11、 = 。1 8答:乙步行了全程的 。1 8例 7:李叔叔沿公路以不变的速度步行,某路公共汽车也以不变的速度不乙行 1 份甲行 1 份丙行 13份?份停地运行。李叔叔发现每隔 10 分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔 4 分钟就遇到一辆公共汽车迎面开来。问:该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?分析与解:方法一:当有一辆车与李叔叔相遇时,另一辆车与李叔叔相距的路程也就是两辆车相距的路程,车 1 行到车 2 所用的时间也就是发车时间。可以把两车之间的路程用单位“1”来表示。如果车与人相向而行,这段路程就是相遇路程(路程和) ,相遇时间是 4 分钟,可求出车与人的速度和: ;如果车与人相向而行,这段
12、路程就是追及路程(路程差) ,追及时间是 10 分钟,可求出车与人的速度差: ;根据和差问题求出车速:( + ) 2 = 1 101 41 107 40;那么发车时间是:1 = 分。7 4040 7解:车速:( + ) 2 = ;1 41 107 40发车时间间隔是:1 = 分。7 4040 7方法二:假设李叔叔在路上向前行走了 20 分钟(4 和 10 的最小公倍数,便于计算)后,立即回头再走 20 分钟,回到原地。这时在前 20 分钟他迎面遇到 204=5 辆车,后 20 分钟有 2010=2 辆车追上他,那么在 2 个 20 分钟里他共遇到同一方向开来的公共汽车 7 辆,则发车时间间隔是
13、:407= 分。40 7解:4,10=20。202(204+2010)= 分。40 7答:该路公共汽车每隔分钟发一次车。40 7人人车 1车 2练习:1、兄弟两人在 400 米的环形跑道的同一地点同时起跑,如果背向跑两人经过 25 秒相遇,如果同向跑,哥哥经过 200 秒追上弟弟。求兄弟两人的速度各是多少米/秒?2、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,两车在 A、B 两地之间不断往返行驶。甲、乙两车的速度比是 2:3,已知两车在第一次相遇点和第二次相遇点之间恰好相距 180 千米。问 A、B 两地相距多少千米?3、小华与小李两人分别从东、西两村同时出发,相向而行,出发时他们的速度
14、比是 5:3。他们相遇后继续前进,小华速度提高了 12%,小李的速度提高了 50%,这样当小华到达西村时,乙离东村还有 880 米,那么东、西两村间的距离是多少米?4、兄弟两人以匀速绕圆形跑道同时按相反方向跑步,出发点在直径的两个端点。当弟弟跑完 100 米后两人第一次相遇,当哥哥跑一圈还差 60 米时两人第二次相遇,问:跑道有多长?5、客车和货车同时从甲、乙两地相向而行,客车的速度是 60 千米/时,货车的速度是 54 千米/时,两车相遇点离 AB 两地中点 12 千米,那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?6、张明和孙玉两人同时从学校到少年宫,张明骑车每分行 240 米,孙玉走路每分行 80
15、 米,当张明到了少年宫后发现忘了带证件马上返回,在离少年宫640 米处遇上孙玉。问学校离少年宫有多少远?7、一架飞机所带的燃料最多可以飞行 8.5 小时,飞机去时顺风,每小时可以飞行 1800 千米,飞回时每小时飞行 1600 千米,这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞?8、公路上有同向行驶的三辆车,客车在前,小轿车在后,货车在中间,且货车同客车、小轿车的距离相等。10 分钟后,小轿车追上了货车,又过 5 分钟,小轿车追上了客车。问:再过几分钟货车追上客车?答案:1、解:速度和:40025=16 米/秒;速度差:400200=2 米/秒;弟弟的速度:(162)2=7 米/秒;哥哥的速度:7+2=
16、9 米/秒。答:弟弟的速度是 7 米/秒;哥哥的速度是 9 米/秒。2、解:相遇时,两车用的时间相等,速度与路程成正比例。甲、乙两车行驶的路程的比也是 2:3;全程平均分成:2+3=5 份,这时甲离 A 地 2 份。两次相遇两车行三个全程,所以甲车共行:23=6 份,这时甲离 A 地:526=4 份。两个相遇点之间相距:42=2 份,也就是 180 千米,每份长:1802=90千米,A、B 两地相距:905=450 千米。答:A、B 两地相距 905=450 千米。3、解:相遇时,小华与小李两人行的路程比是 5:3,这时小华还要行 3份的路程就能到达西村,而小李要行 5 份的路程就才能到达西村。这时他们的速度比为:5(1+12%):3(1+50%)=4:3。当小华到达西村时时,小李能行:3 = 份,离东村还有:5 = 份,也就是 880 米。3 49 49 411 4每份长:880 = 32