简谐运动的能量、共振

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1、简谐运动的能量、共振简谐运动的能量、共振主讲：黄冈中学高级教师主讲：黄冈中学高级教师 邢新山邢新山一周强化一周强化一、一周内容概述一、一周内容概述通过对简谐运动物体动能和势能转化过程的分析，说明了简谐运动是一机械能守 恒的过程。定性地分析了阻尼振动中能量转化情况、介绍了受迫振动的特点，分析了 外界驱动力频率等于振动系统固有频率时发生的共振现象的应用和防止。完成了单摆 法测重力加速度的学生分组实验。二、重难点知识归纳与讲解二、重难点知识归纳与讲解（一）简谐运动系统的总机械能任意时刻振动系统的动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能。当弹簧振子或单摆在理想化条件(不考虑摩擦和空气阻力)下振动时，由

2、于只有弹力 或重力做功，故振动系统的机械能守恒。对于确定的振动系统来说，由于振子或单摆在最大位移处的势能即等于系统的总 机械能，振幅越大，表明该振动系统的总机械能也越大。所以，我们说振幅是表示振 动强弱的物理量。（二）阻尼振动振动系统受摩擦和其他阻力，即受阻尼作用，系统在振动过程中要克服阻力做功， 系统的机械能随时间逐渐减少.振动的振幅也逐渐减小，这种振动称阻尼振动.下图是阻 尼振动的图象。（三）受迫振动1、驱动力：作用在振动物体上的周期性外力叫做驱动力。受迫振动：物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动。2、受迫振动的特点实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的

3、 固有频率无关。3、共振(1)受迫振动的振幅与驱动力频率的关系实验表明，物体做受迫振动时的振幅跟驱动力频率 f 与固有频率 f0之差有关，固 有频率 f0与驱动力频率 f 相差越大，振幅就越小，反之就越大.当固有频率 f0与驱动力 频率 f 相等时，振幅最大。(2)共振当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 共振。共振是受迫振动的一种特殊情况。声音的共振现象通常叫做共鸣。共振产生的条件是：f=f0。(3)发生共振时，一个周期内外界提供的能量等于振动系统克服阻尼做功而耗散的 能量。(4)共振曲线f策=f固时，A=Am,Am取决于策动力的幅度及阻尼。f策与 f固差别

4、越大，物体作受迫振动的振幅 A 越小。4、共振的利用和防止利用共振和防止共振，都要根据共振产生的条件来进行控制。要利用共振时，就要创造条件使驱动力的频率接近或等于物体的固有频率。要防止共振出现时，就要控制驱动力的频率，使之远离物体的固有频率。（四）单摆法测重力加速度1、实验原理单摆在摆角很小(小于 10)时的振动，可看成简谐运动，其固有周期，由此可得 g=42l/T2，由实验测出摆长 l 和周期 T，即可算出当地的重力加速度 g 值。2、实验器材铁架台(带铁夹)，金属小球，细线(1m 左右)，秒表，米尺，游标卡尺。3、数据记录与处理(1)记录实验次数摆长 l/m 全振动次数 N总时间 t/s

5、周期1 2 3 4 5 (2)处理平均值法：_。图象法以 l 作为横轴，以 T2为纵轴.描点作出 T2-l 图象，求出直线斜率 k。结果：=-_ 4、注意事项（1）细线材料应不易伸长，且长度一般不应短于 1m；小球应选用密度大而体积 小的金属球。（2）摆线上端应夹紧在铁夹中，以免摆动过程中摆长发生改变。摆长应是悬点到 球心的距离。（3）摆动中最大摆角(摆线偏离竖直方向的夹角)不应超过 10，可通过估算振幅 的办法掌握。（4）摆球应无初速释放，保证单摆在同一竖直平面内摆动，以免形成圆锥摆。（5）秒表计时从小球某次通过最低点(平衡位置)开始(摆球在最低点的速度最大， 经过最低点时间最短。记时较为准

6、确)并记全振动次数为零，以后小球每从同一方向通 过最低点时，全振动次数依次为 1，2，3，N，数到 N 次时停表，N 不宜过小。三、典例分析三、典例分析例例 1、如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少?共振时单摆的振幅多大? 共振时摆球的最大速度和最大加速度各为多少?(g 取 10 m/s2)解析：从共振曲线可知，单摆的固有频率 f05 Hz，因为,所以，代入数据解得 l1 m从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅 Am8 cm设单摆的最大偏角为 ，摆 球所能达到的最大高度为 h，由机械能守恒定律得mvm2mgh又 hl(1cos)当 很小时 1cos2sin2解得 vm025 m/s

7、摆球在最大位移处加速度最大，有mgsinmam即 amgsing代人数据解得am08 m/s2例例 2、如图所示，A 球振动后，通过水平细绳迫使 B、C 振动，下面说法中正确的是A只有 A、C 振动周期相等BA 的振幅比 B 小CC 的振幅比 B 的振幅大DA、B、C 的振动周期相等解析：A 振动起来后水平细绳上的驱动力周期 TA2，迫使 B、C 做受迫振动，受迫振动的频率等于施加的驱动力的频率，所以 TATBTC，而 TC固2TA,TB固2TA，故 C 共振，B 不共振C 的振幅比 B 的振幅大所以正确选项为CD例例 3、在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 K，振子质量为 M，振动

8、的 量大速度为 v0，如图所示，当振子在最大位移为 A 的时刻把质量为 m 的物体轻放其上， 则（1）要保持物体和振子一起振动，二者间摩擦因数至少是多少？（2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？分析：放物体前最大回复力的大小 F=kA，振动的最大机械能 E=Mv02。对于物体来说，所需要的回复力是振子给它的摩擦力，刚放时所需的摩擦力最大， 设最大摩擦力为 mg，当 mgma 时一起振动。解答：（1）放物体后，假定一起振动，则可产生的最大加速度 a=又由于 mgma （2）振动中机械能守恒，过平衡位置时，弹簧为原长，弹性势能为零。(M+m)v2=Mv02v=物体和振子在最大位置

9、处，动能为零。势能最大，这个势能与没放物体前相同， 所以弹簧的最大形变应是相同的，即振幅仍为 A。说明：本题是以弹簧振子为模型，结合力和能最分析的小型综合题。在认真审题的基础 上，从基本概念、规律出发，即可找到正确答案。并应注意到例 1 介绍的是在两种情 况下的运动（即放 m 前后）。多做这种小型综合题，有助于提高解题能力。例例 4、如图 2 所示，在 O 点悬有一细绳，绳上串着一个小球 B，并能顺着绳子滑下， 在 O 点正下方有一半径为 R 的光滑圆弧轨道，圆心位置恰好在 O 点，在弧形轨道上接 近 O处有另一个小球 A，令 A、B 两球同时开始无初速释放，假如 A 球第一次到达平 衡位置时

10、正好能够和 B 球碰上，则 B 球与绳之间的摩擦力与 B 球重力大小之比是多少？ （计算时取 p2=10，g=10m/s2）分析：圆弧轨道运动的小球 A 接近 O运动，即可看做单摆模型。图 2解答：A 球作简谐运动，由周期公式得 A 到 O的时间 t=B 球作匀变速运动从 O 到 O的时间为 t=由题意得=解得 a=m/s2=8m/s2对于小球 B，由牛顿第二定律得mg-f=ma f=m(g-a)=0.2说明：建立物理模型的能力很重要，应善于从题目出发，有效地把一个具体实例抽象出 我们学过的理论模型。例例 5、有一个单摆，其摆长 l=1.02m，摆球的质量 m=0.1kg，从与竖直方向成摆角

11、=4 的位置无初速开始运动(如图所示)。问：(1)已知振动的次数 n=30 次，用了时间 t=60.8s，重力加速度 g 多大? (2)摆球的最大回复力为多大?(3)摆球经过最低点时速度多大? (4)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变?为什么?(取 sin4=0.0698，cos4 =0.9976，=3.14) 解析：(1)5，单摆做简谐运动，其周期。根据，得(2)最大回复力为 F1=mg sin4=0.19.7910.0698N=0.068N。(3)单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力、机械能守恒，其总 机械能 E 等于摆球在最高处的重力势能 Ep或在最低处的动能 Ek。故在

12、最低处的速度=0.219m/s(4)秒摆的周期 T=2s,设其摆长为 l0根据，g 不变，则 T即故其摆长要缩短 ll=ll0=1.02m0.993m=0.027m。答案：（1）9.791m/s2；（2）0.068N；（3）0.219m/s；（4）缩短 0.027m.例例 6、火车在长为 12.5m 的铁轨上行驶时，由于在铁轨接头处受到撞击而上下振动.如 防震弹簧每受 104N 的力将被压缩 20mm，而每个弹簧的实际负荷为 5000kg。问车速多 大时，弹簧压缩得最强烈?(g=10m/s2)解析：由题可知弹簧振子在做受迫振动，要使弹簧被压缩得最强烈，必然是弹簧振子发 生共振，此时必须满足：T

13、驱=T固。根据题意知，防震弹簧的劲度系数为由于每个弹簧的实际负荷为 m=5000kg，所以弹簧的固有周期为。铁轨接头撞击力的周期为。当振动最强烈时有 T 驱=T 固。则答案：v=19.9m/s例例 7、如图所示，把筛子用四根弹簧支承起来，就成为共振筛。共振筛的筛架上安装一 个偏心轮，偏心轮由电机带动下发生转动，增大电压可以使电机带动偏心轮的转速加 快。筛子在做自由振动时，每次全振动用时 2s，在某电压下偏心轮的转速是 36r/min， 问：(1)筛子的固有频率是多少?偏心轮的驱动力频率是多少? (2)为了使筛子发生共振，达到较大振幅，可以采用什么方法? 解析：（1）筛子自由振动时，每次全振动用时 2s，则：，偏心轮的转速是 36r/min，则驱动力的频率 f 为：。（2）因为驱动力的频率 ff固，因此可以采用减小驱动力的频率的方法，通过减 小电压，使偏心轮转速减小，而使驱动力的频率与筛子固有频率相等.或者采用减小筛子的周期即增大筛子的频率，根据弹簧振子的周期公式：，即可通过减小筛子的质量来增大筛子的频率，将筛子里被筛的物体取一部分出来，使筛子的频率与偏 心轮的驱动力的频率相等。