编辑本段数学定义

《编辑本段数学定义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《编辑本段数学定义（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、编辑本段数学定义一元函数设数集 D 包含于 R（实数域） ，则称映射 f：DR 为定义在 D 上的函数，通常简记为y=f（x） （对于任意的 xD） ，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域。 说明：以上的映射为一一映射，或者多对一映射；而对于一对多映射，不能称其为函数。 函数定义：函数是预先定义的功能块（由代码组成） 。 以上为一般的一元函数，也即为我们常见的函数，下面我们定义多元函数。多元函数类似的，设集合 D 包含于|R-n(n 维欧式空间)，对于每一个 X（这里的 X 形式为(x_1,x_2,.,x_n)）D，都有唯一的实数 f(X)与之相对应，则我们称 f(X)为定义在

2、 D 上的n 元函数。其中，X 为自变量。当然，也可以记函数 f(X)为 f(x_1,x_2,.,x_n)。编辑本段计算机定义函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。 类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可在自己结构里面调用自己，称为递归。 大多数编程语言构建函数的方法里都含有 Function 关键字（或称保留字） 。 与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如 y=f(x)（f 由用户自己定义） 。编辑本段简介函数是位于数学领域中的一种对应关系，是从非空数集 A 到

3、实数集 B 的对应。 简单地说，甲随着乙变，且乙所对应的甲只有一个，甲就是乙的函数。 精确地说，设X 是一个非空集合，Y 是非空数集 ，f 是个对应法则，若对 X 中的每个 x，按对应法则f，使 Y 中存在唯一的一个元素 y 与之对应 ，就称对应法则 f 是 X 上的一个函数，记作y=f（x） ，称 X 为函数 f（x）的定义域，集合y|y=f（x） ，xX为其值域 R（值域是 Y 的子集） ，x 叫做自变量，y 叫做因变量，习惯上也说 y 是 x 的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素。对应法则不变性”指的是当某个函数 y=f(x)给定后两个变量间的映射“ f ( )“ 就随之确定了。

4、即 f(2x+1)与 f(x)指同一对应法则（但不一定是同一函数） 。主要包括: 域的作用不变性： （定义域可能变了）即在确定的映射 f：下 f 括号里的取值范围不变性； 值域不变性。函数表达结构不变性（解析式可能变了） 例 1：已知 f(x+1)的定义域是1 , 2,求 f(x)的定义域。方法解读定义域：指自变量 x 的取值范围（受式子意义和实际意义的限制） 对应法则不变性指条件中的函数 f ( )和要求的问题中的函数 f( )是同一映射； 根据对应法则不变性可得到 f ( )中括号的取值范围不变； 解： 因为 f(x+1)的 x 的取值范围1,2,( )里的取值范围是2,3 所以 f(x)

5、的( )里的取值范围也应是2,3 ,也就是 f(x)的 x 的取值范围1,2,即 f(x)的定义域是1,2,温故知新已知 f(x)的定义域是2 , 3,求 f(x+1)的定义域。 解： f(x+1)中的 x 1 , 2, x+1 2 , 3 根据对应法则不变性 f (x) 中的 x 2 , 3, 即 f (x)的定义域是2 , 3 例2：已知函数 f(x)的值域是1,2,求函数 f(x-2)的值域。 例 3：下列函数一定与 f(x)=2x是同一函数的序号是（ ） 1 f(t)=2t f()=2 f()=2 f(x+1)=2(x+1)方法解读定义域和解析式分别相同的函数是同一函数 解： 中的 t

6、 取值范围、中的取值范围、中的取值范围 都是全体实数； 中 x 的取值范围（仿例 1 求 法）也是全体实数；的解析式与已知 f(x)=2x 也相同。但的解析式与条件中不相同。 例 4：函数表达结构与函数解析式分析（如图） 函数表达结构另外：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如。1X1=1（“X1”可以通用于任意一个算术式里一样） 。编辑本段与函数有关的概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，

7、随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 函数值，在 y 是 x 的函数中，x 确定一个值，Y 就随之确定一个值，当 x 取 a 时，Y 就随之确定为 b，b 就叫做 a 的函数值。映射定义设 A 和 B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个元素a，在集合 B 中都存在唯一的一个元素 b 与之对应，那么，这样的对应（包括集合 A，B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射(Mapping)，记作f：AB。其中，b 称为 a 在映射 f 下的象，记作：b=f(a); a 称为 b 关于

8、映射 f 的原象。集合 A 中所有元素的象的集合记作 f(A)。 则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数） 。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图象与 X 轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“” ，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。函数的集合论如果 X 到 Y 的二元关系 f：XY，对于每个 xX，都有唯一的 yY，使得f，则称 f 为 X 到 Y 的函数，记做：f:XY。

9、当 X=X1Xn 时，称 f 为n 元函数。 其特点： 前域和定义域重合 单值性：ff y=y编辑本段定义域、对应域和值域输入值的集合 X 被称为 f 的定义域；可能的输出值的集合 Y 被称为 f 的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射 f 得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。 计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。编辑本段单射、满射与双射函数单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若 x 和 y 属于定义域，则仅

10、当 x 不等于 y 时有 f（x）不等于 f（y） 。 单射满射 双射满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射 f 的对映域中之任意 y，都存在至少一个 x满足 f（x）= y。 双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合 X 和 Y 是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。编辑本段象和原象元素 xX 在 f 的象就是 f（x） ，他们所取的式值为 0。 子集 A?X 在 f 的象是以其元素的象组成 Y 的子集，即 f(A) := f(x) : x A。 注意 f 的值域就是定义域 X 的象 f（X） 。在我们的例子里

11、，2,3在 f 的象是 f(2, 3) = c, d而 f 的值域是c, d。 根据此定义，f 可引申成为由 X 的幂集（由 X 的子集组成的集）到 Y 的幂集之函数，亦记作 f。 子集 B ? Y 在 f 的原象（或逆象）是如下定义 X 的子集： f ?1(B) := x X : f(x)B。 在我们的例子里，a, b的原象是 f?1(a, b) = 1。 根据此定义，f?1 是由 Y 的幂集到 X 的幂集之函数。 以下是 f 及 f?1 的一些特性： f(A1 A2) = f(A1) f(A2). f(A1 A2) ? f(A1) f(A2). f ?1(B1 B2) = f ?1(B1)

12、 f ?1(B2). f ?1(B1 B2) = f ?1(B1) f ?1(B2). f(f ?1(B) ? B. f ?1(f(A) ? A. 这些特性适合定义域的任意子集 A, A1 及 A2 和输出值域的任意子集 B, B1 及 B2，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。编辑本段函数图象函数 f 的图象是平面上点对（x,f（x） ）的集合，其中 x 取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。 如果 X 和 Y 都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合 X 和 Y 的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G） ，其中 G 是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第

13、二个定义则函数 f 等于其图象。 当 k0 时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。编辑本段性质函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D，数集 X 包含于 D。如果存在数 K1，使得 f(x)K1 对任一xX 都成立，则称函数 f(x)在 X 上有上界，而 K1 称为函数 f(x)在 X 上的一个上界。如果存在数 K2，使得 f(x)K2 对任一 xX 都成立，则称函数 f(x)在 X 上有下界，而 K2 称为函数 f(x)在 X 上的一个下界。如果存在正数 M，使得|f(x)|f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。函数的奇偶

14、性设 f(x)为一个实变量实值函数，则 f 为奇函数若下列的方程对所有实数 x 都成立： f(x) = - f( - x) 或 f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做 180度旋转后不会改变。 奇函数的例子有 x、sin(x)、sinh(x)和 erf(x)。 设 f(x)为一实变量实值函数，则 f 为偶函数若下列的方程对所有实数 x 都成立： f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对 y 轴对称，亦即其图在对 y 轴为镜射后不会改变。 偶函数的例子有|x|、x2、cos(x)和 cosh(sec)(x)。 偶函数不可能是个双射映射。函数的

15、周期性狄利克雷函数设函数 f(x)的定义域为 D。如果存在一个正数 l，使得对于任一 xD 有(x 士 l)D，且 f(x+l)=f(x)恒成立，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若 D 为有界的，则改函数不具周期性。 并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。函数的连续性在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性） 。 设 f 是一个从实数集的子集射到 的函数：。f 在中的某个点 c 处是连续的当且仅当以下的两个条件满足： f 在点 c 上有定义。c 是中的一个聚点，并且无论自变量 x 在中以什么方式接近 c，f(x) 的极限都存在且等于 f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。 不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。 仍然考虑