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1、数学建模数学建模案例分析1钢管订购和运输优化模型钢管订购和运输优化模型要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图 1 所示(见反1521AAAL面).经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有.图中粗线表示铁路，127,S SSL单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位：km).为方便计，1km 主管道钢管称为 1 单位钢管.一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500 个单位.钢厂在指定iS期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价 1 单位钢管为万元，isip如下表：i123
2、4567is80080010002000200020003000ip1601551551601551501601 单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000运价(万元)37445055601000km 以上每增加 1 至 100km 运价增加 5 万元.公路运输费用为 1 单位钢管每千米 0.1 万元（不足整千米部分按整千米计算）.钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道1521,AAAL全线）.数学建模数学建模案例分析2问题
3、：问题：（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用).思考题：思考题：（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果.（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图 2 按（1）的要求给出模型和结果.A13258010103120 124270108810706270 3020203045010430175060619420520168048030022021042050060030
4、60195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A11A8A11A9 11 A1 1A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图 1数学建模数学建模案例分析3一、一、 基本假设基本假设1沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路.2在主管道上，每千米卸 1 单位的钢管.3公路运输费用为 1 单位钢管每千米 0.1 万元（不足整千米部分按整千米计算）4在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，而不考虑其他费用. 5在计算钢厂的产量对购运计划影响时，只考虑钢厂的产量足够满足需要的情况，即钢厂的产量
5、不受限制.A13258010103120 124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)图 2数学建模数学建模案例分析46假设钢管在铁路运输路程超过 1000km 时，铁路每增加 1 至 100km，1 单位钢管的运价增加
6、 5 万元.二、符号说明：二、符号说明：第 个钢厂； iSi7 , 2 , 1Li：第 个钢厂的最大产量； isi7 , 2 , 1Li：输送管道（主管道）上的第个点； jAj15, 2 , 1Lj：第 个钢厂 1 单位钢管的销价； ipi7 , 2 , 1Li：钢厂向点运输的钢管量； ijxiSjA7 , 2 , 1Li15, 2 , 1Lj：在点与点之间的公路上，运输点向点方向铺设的钢管量；jtjA1jAjA1jA()14, 3 , 2 , 1Lj01t：1 单位钢管从钢厂运到结点的最少总费用，即公路运费铁路运费和ijaiSjA钢管销价之和； 7 , 2 , 1Li15, 2 , 1Lj：
7、与点相连的公路和铁路的相交点； jbjA15, 3 , 2Lj：相邻点与之间的距离； 1. jjAjA1jA14, 2 , 1Lj三、模型的建立与求解三、模型的建立与求解问题一：讨论如何调整主管道钢管的订购和运输方案使总费用最小问题一：讨论如何调整主管道钢管的订购和运输方案使总费用最小由题意可知，钢管从钢厂到运输结点的费用包括钢管的销价钢管的iSjAija铁路运输费用和钢管的公路运输费用.在费用最小时，对钢管的订购和运输进行ija分配，可得出本问题的最佳方案.1.求钢管从钢厂求钢管从钢厂运到运输点运到运输点的最小费用的最小费用iSjA1）将图 1 转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图.
8、数学建模数学建模案例分析5由于钢管从钢厂运到运输点要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用iSjA是分段函数，与全程运输总距离有关.又由于钢厂直接与铁路相连，所以可先求iS出钢厂到铁路与公路相交点的最短路径.如图 3iSjb图 3 铁路网络图依据钢管的铁路运价表，算出钢厂到铁路与公路相交点的最小铁路运输iSjb费用，并把费用作为边权赋给从钢厂到的边.再将与相连的公路、运输点iSjbjb及其与之相连的要铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在iA公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边.以为例得图 4.1S数学建模数学建模案例分析6图 4 钢管从钢厂运到各运
9、输点的铁路运输与公路运输费用权值图1SjA2）计算单位钢管从到的最少运输费用1SjA根据图 4，借助图论软件包中求最短路的方法求出单位钢管从到的最少1SjA运输费用依次为：170.7，160.3，140.2，98.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142（单位：万元）.加上单位钢管的销售价，得出从钢厂购买单位钢管ip1S运输到点的最小费用依次为：jAja1330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302（单位：万元）.同理，可用同样的方
10、法求出钢厂到点的最小费用，2S3S4S5S6S7SjA从而得出钢厂到点的最小总费用（单位：万元）为：表 1 到点到点最小费用最小费用iSjAA2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1320.3 300.2 258.6 198 180.5 163 181.2 224.2 252256266281.22883022S360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2 297301311326.23333473S375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237241251266.22732
11、874S410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222211221236.22432575S400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212188206226.2228242数学建模数学建模案例分析76S405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212201195176.21611787S425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237226216198.21861622. 建立模型建立模型运输总费用可分为两部
12、分：运输总费用运输总费用=钢厂到各点的运输费用钢厂到各点的运输费用+铺设费用铺设费用.运输费用：运输费用：若运输点向钢厂订购单位钢管，则钢管从钢厂运到运jAiSijxiS输点所需的费用为.由于钢管运到必须经过，所以可不考虑，那jAijijxa1A2A1A么所有钢管从各钢厂运到各运输点上的总费用为：. 15271jiijijax铺设费用：铺设费用：当钢管从钢厂运到点后，钢管就要向运输点的两边iSjAjA段和段运输（铺设）管道.设向段铺设的管道长度为，1jjAAjjAA1jA1jjAAjy则向段的运输费用为（万元） ；由于相jA1jjAA201)21 (1 . 0jj jttyL邻运输点与之间的距
13、离为，那么向段铺设的管道长为jA1jA1. jjA1jA1jjAA，所对应的铺设费用为（万元）.所以，主管jjjtA1.2011.1.jjjjjjtAtA道上的铺设费用为： 1411.1. 201201jjjjjjjjjtAtAtt总费用总费用为： 711521411.1. 201201ijjjjjjjjjj ijijtAtAttaxf又因为一个钢厂如果承担制造钢管任务，至少需要生产 500 个单位，钢厂在指定期限内最大生产量为个单位，故 或 iSisi jijsx 1525000152 jijx因此本问题可建立如下的非线性规划模型非线性规划模型：14157.1.112171151522.1(
14、1)()(1)min(2020j2,3,15500 0s.t. 0 1,7,2,150jjj jjj jj ijij jjiijj iijiij jjijjj jt tAtAtfxaxnxsxxijtA LLL或数学建模数学建模案例分析83.3. 模型求解模型求解：由于 MATLAB 不能直接处理约束条件：或，我们i jijsx 1525000152 jijx可先将此条件改为，得到如下模型：i jijsx 152用 MATLAB 求解，分析结果后发现购运方案中钢厂的生产量不足 500 单位，7S下面我们采用不让钢厂生产和要求钢厂的产量不小于 500 个单位两种方法7S7S计算：1）不让钢厂生产
15、7S计算结果：1278632（万元） （此时每个钢厂的产量都满足条件）.1f2）要求钢厂的产量不小于 500 个单位7S计算结果： 1279664 （万元） （此时每个钢厂的产量都满足条件）2f. 比较这两种情况，得最优解为， =1278632（万元）121),min(minffff具体的购运计划如表 2： 表 2 问题一的订购和调运方案订购量A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S18000201133200266000000000S28001791114295003000000000S31000139111860006640000000S4000000000000000S5101503582420000004150000S6155600000000035186333621165S700000000000000014157.1.112171152.1(1)()(1)min(2020j2,3,15s.t. 0 1,7,2,150jjj jjj jj ijij jjiijj iiji j
