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1、1泛函分析知识点小结及应用泛函分析知识点小结及应用第七章第七章 度量空间度量空间11 度量空间的进一步例子度量空间的进一步例子一一 度量空间的定义度量空间的定义设是任一非空集合，若对于，都有唯一确定的实数Xyx,X与之对应，且满足yxd,1非负性：，=0;yxd,0yxd,yx 2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);3三角不等式：对，都有+， 则zyx,yxd,zxd,zyd,称(，)为度量空间，中的元素称为点。d欧氏空间欧氏空间 对中任意两点和，规定距离为 nRnRnxxxx,21Lnyyyy,21L=.yxd,2112 niiiyx空间空间 表示闭区间上实值(或复值)连续函数的baC,
2、baC,ba,全体.对中任意两点，定义=.baC,yx,yxd,tytx bta max（空间空间 记=.pl)1 ppl 11 kp kkkxxx设，定义 =. 1kkxx 1kkyyplyxd,pip iiyx11 二二 度量空间的进一步例子度量空间的进一步例子 例例 1 1 序列空间S2令表示实数列(或复数列)的全体，对，S 1kkxx，令 =. 1kkyyyxd,121kk kkkk yxyx1例例 2 2 有界函数空间 AB设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全A ABA体. ，定义 =.yx, AByxd,tytx At sup例例 3 3 可测函数空间 XM设为上
3、实值(或复值)的可测函数的全体，为 Lebesgue XMXm测度，若，对任意两个可测函数及，由于 Xmtftg，故不等式左边为上可积函数. 令 11tgtftgtfX=.gfd, t1f tg tdXf yg t 22 度量空间中的极限度量空间中的极限设是中点列，若，s.t. 1nnxdX,Xx( )0,lim xxdnn则称是收敛点列收敛点列，是点列的极限极限. 1nnxx 1nnx收敛点列的极限是唯一的收敛点列的极限是唯一的. 若设既牧敛于又收敛，则因为nxxy，而有 =0. 所以0,0nnxydxxdyxdnyxd,=.xy3注注 ( )式换一个表达方式：=. 即当点xxdnn,lim
4、 xxdnn,lim 列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有距离距离是是和和的连续函数的连续函数.yxd,xy证明证明 + -yxd,0,xxd00, yxdyyd,0yxd,+; 00, yxd0,xxdyyd,0+ -00, yxdxxd,0yxd,0, yyd00, yxdyxd,+. 所以|-|+0,xxdyyd,0yxd,00, yxd0,xxdyyd,0具体空间中点列收敛的具体意义：具体空间中点列收敛的具体意义：1.1. 欧氏空间欧氏空间 = =，为nRmx m nmmxxx,21LL, 2 , 1m中的点列，=， = =nRxnxxx,2
5、1LnRxxdm,. . 2222211nm nmmxxxxxxLxxmm对每个，有 . .ni 1 im ixxm2.2. 设，则 = =baC, 1nnxbaC,xbaC,xxdn,在一致收敛于一致收敛于.0max txtxn btan 1nnxba,x3.3. 序列空间序列空间 设= =，Smx LL,21m nmmL, 2 , 1m及=分别是中的点列及点，则xLL,21nS依坐标收敛于依坐标收敛于. 10121,kkm kkm kkmxxdmmxx4.4. 可测函数空间可测函数空间 设， XM 1nnf XMf XM4则因=，有有 .ffdn, Xnndmtftftftf1ffnffn
6、33 度量空间中的稠密集度量空间中的稠密集 可分空间可分空间定义定义 设是度量空间，和是的两个子集，令表示XNMXM的闭包，若，则称集在集中稠密，当=时，称MN MMNNX为的一个稠密子集稠密子集. 若有一个可数的稠密子集，则称是可可MXXX 分空间分空间. 例例 1 1 维欧氏空间是可分空间. 事实上，坐标为有理数的点nnR 的全体是的可数稠密子集.nR例例 2 2 离散距离空间可分 是可数集.XX例例 3 3 是不可分空间是不可分空间.l44 连续映照连续映照 定义定义 设=，=是两个度量空间，是到中的XdX,Y dY,TXY映射：= =. ，若0，0，s.t. XdX,T Y dY,0x
7、X且，都有，则称在在连续：连续：xX0,xxd0,TxTxdT0x定理定理 1 1 设是度量空间到度量空间中的映射：TdX, dY,， 则在连续 当时，必有.dX,T dY,T0xnx0xnTx0Tx定理定理 2 2 度量空间到中的映照是上的连续映射 任XYTX 意开集开集，是中的开集开集.MYMT1X定理 度量空间到中的映照是上的连续映照 任2XYTX 意闭集闭集，是中的闭集闭集.MYMT1X 55 柯西点列和完备度量空间柯西点列和完备度量空间定义定义 1 1 设=(，)是度量空间，是中的点列. 若XXd 1nnxX0,，s.t.当时，有，则称 NNNnm,mnxxd,5是中的柯西点列柯西点
8、列或基本点列基本点列. . 若度量空间(，)中每个柯 1nnxXXd西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间完备的度量空间. .Xd 在一般空间中，柯西点列不一定收敛在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列 1, 1.4, 1,41, 在中收敛于，在有理数集中不收敛.L,412. 11R2但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.定理定理 1 1 完备度量空间的子空间是完备度量空间 是XMM 中的闭子空间.X 常见例子常见例子：(1)（收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间C(2) 是完备的度量空间baC,(3) (实系数多项式全体) 是不完备的度量空间是不
9、完备的度量空间baP ,66 度量空间的完备化度量空间的完备化定义定义 1 1 设(,)，(,)是两个度量空间，若存在到上的XdXdXX保距映射保距映射(,，有(,)=(,)，则称(,T1x2xXdT1xT2xd1x2xX)和(,)等距同构等距同构，此时称为到上的等距同构映照等距同构映照。dXdTXX等距同构映照是等距同构映照是 1-11-1 映射映射. . 因设,，且，则因1x2xX1x2x(,)0 及(,)=(,)0，知.d1x2xdT1xT2xd1x2xT1xT2x定理定理 1 1 ( (度量空间的完备化定理度量空间的完备化定理) ) 设=(,)是度量空间，那么一XXd定存在一完备度量空
10、间=(,)，使与的其个稠密子空间XXdXX等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若(,)也是WXXd一完备度量空间，且与的其个稠密子空间等距同构，则(,XXWX)与(,)等距同构.dXd77 压缩映照原理及其应用压缩映照原理及其应用6定义定义 设是度量空间，是到中的压映照，若存在一个数：XTXX01，s.t. 、，成立 xyXTyTxd,yxd,则称是到中的压缩映照(简称压缩映照).TXX定理定理 1.(压缩映射定理) 设是完备度量空间，是上的压缩映照，XTX 则有且只有一个不动点(即方程有且只有一个解).TxTx 补充定义：若 TX=X,则称 X 是 T 的不动点，即 X 是 T 的不动
11、点X 是方程 TX=X 的解。定理定理 2.2. 设函数在带状域，中处处连续，yxf,bxay且处处有关于的偏导数，若存在常数和， 满足 yyxfy,mMm，0 0， 则方程 =0 在区间上必有Mmyxfy,Myxf,ba,唯一的连续函数作为解：0，. xy xxf,xba,88赋范线性空间和赋范线性空间和 Banach 空间空间线性空间线性空间+ +范数范数 线性赋范空间线性赋范空间线性赋范空间线性赋范空间+ +完备性完备性 巴拿赫空间巴拿赫空间定义 1 设 X 是任一非空集合，若 K 是一个数域（R 或 C） ，如果 X 对 某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且x,y,zX, ,K, 满足
12、：1) x+y=y+x （加法交换律） 2) (x+y)+z+x+(x+y) （加法结合律）3) X, 使 x+=x （零元素存在性）4) xX,使 x+x= （逆元存在性）5) (x)=x=(x) （数乘结合律）6) 1x=x, 0x=77) (+)x=x+x （元素对数的加法分配律）8) (x+y)=x+y （数对元素的加法分配律）则称 x+y 为 x 与 y 的和，x 为数 与 x 的数乘 , 称 X 为线性空间线性空间或 向量空间向量空间 (实或复)，X 中的元素称为向量。 定义定义 (范数，赋范线性空间范数，赋范线性空间) 设为是实（或复）数域的线性空间，若对XF，存在一个实数于之对
13、应，且满足下列条件：xX x(1) ; 且； （非负性）0x0x 0x(2) ，； （正齐（次）性）xxF(3) ，； （三角不等式）xyxy,Xx y则称为的范数范数(norm)，称（或：）为赋范线性空间赋范线性空间 xx(,)XX定义 完备的赋范线性空间称为巴拿赫巴拿赫（ （Banach） ）空间空间。例子：，空间空间， 维 Euclidean 空间， , C a bplnnR , a bL都是 Banach 空间。 度量空间与赋范线性空间度量空间与赋范线性空间 区别：区别：度量空间是定义了度量的线性空 间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等 式。赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理（非 负性，齐次性，三角不等式） 联系联系：都是在线
