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1、线性代数解题的八种思维定势线性代数解题的八种思维定势第一句话：第一句话：题设条件与代数余子式 Aij或 A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及 AA*=A*A=|A|E 。 例例 1（2000 年）年）设矩阵 A 的伴随矩阵，且，*1000 0100 1010 0308 A113ABABAE其中 E 是 4 阶单位矩阵，求矩阵 B分析分析 本题相当于解矩阵方程若先从求出及，再代入已知关系式求 B，则*A1AA计算量会相当大考虑到题设与有关，若先用化简，则方便得多*A*AAA AA E解解 由先右乘 A，得，113ABABAE3ABBA再左乘，并利用，得，即 *A*A AA E*3
2、A ABA BA A| 再由，得 ，即 *3A BA BA E4 13*AAA38A2A于是有， 故*26BA BE*(2)6EA BE11100001006(2)610100306 *BEA6000 0600.6060 0301 评注评注 题设与有关时，一般均可考虑利用及其相关公式，结论先*A*AAA AA E化简、再计算第二句话：第二句话：若涉及到 A、B 是否可交换，即 AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：第三句话：若题设 n 阶方阵 A 满足 f (A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE 再说。例例 3 已知为 3 阶方阵满足， （1）证明可逆
3、，并求,A B124A BBE2AE；（2）若，求矩阵1(2)AE120 120 002 BA解：（1）由于，所以 ，即124A BBE124BA BE1124A A BA BE于是 ，11(2)4AEA BE故 可逆 且 2AE111(2)4AEA B（2）由于，所以 ，124A BBE24(4)BABAABE于是 12(4)ABBE又由于 ，有320 4120 002 BE111044 13(4)088 1002 BE于是 020 110 002 A第四句话：第四句话：若要证明一组向量线性无关，先考虑用定义再说。12,sL 例例 4 设 阶矩阵的 4 个不同特征值为， 其对应的特征向量 (
4、4)n n 1234, , , 依次为，记， 求证： 线性无1234, , , 1234 23, , , AAA 关解法解法 112341122334422222 1122334433333 11223344 AAA 23 1234 ,AAA 23 111 23 222 23 333 23 4441 1 1 1 ，从而0,iQ互不相等,范德蒙行列式不等于范德蒙矩阵可逆23, , , rAAA 1234r 无关，故1234,Q 1234(,)4r 23, , , 4rAAA 的秩为 4，故线性无关23, , , AAA 解法解法 2 设存在一组数使1234,k k k k（1）23 1134kk
5、k Ak A 0 A A 由题设，利用特征向量的性质可得1234 （2）1122334422232 1122334433334 11223344,.AAA 将（2）式一并代入（1）式可有1123421122334422323334 311223344411223344()()()()kkkk 0 整理得 2323 11213141122232422323 1323334314243444()()()().kkkkkkkkkkkkkkkk 0 因分属不同的特征值，故线性无关，从而有1234, 23 112231423 122232423 132333423 14243440,0,0,0.kkkk
6、kkkkkkkkkkkk 视为未知数，此为 4 个未知量，4 个方程组成的齐次线性方程组，其系数行1234,k kkk式为范德蒙德行列的转置 因互异，所以1234(,)D 1234, 这表明只有零解，即=0，从而1234(,)0DD 1234kkkk线性无关23,AAA 第五句话：第五句话：若已知 AB=0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。例例 5 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是，其中不全为零，矩阵( , , )a b c, ,a b c， （为常数） ，且，求线性方程组的通解123 246 36k Bk 0AB 0Ax解：解：由知，又则 0AB( )( )3rrAB,00A
7、B1( )2, 1( )2rrAB(1)若，则必有，此时，( )2rA( )1rB9k 方程组的通解为， （ 为任意常数） T(1,2,3)tt(2) 若，则，线性方程组可化为，且满足( )1rA9k 0Ax1230axbxcx230,230, 360.(9)0.abcabc abkckc若，方程组的通解为， （为任意常数） ，0c TT 12( ,0,)(0, ,)t catcb12,t t若，方程组的通解为， （为任意常数） 0c TT 12(1,2,0)(0,0,1)tt12,t t注：也可直接对和进行讨论9k 9k 第六句话：第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列
8、式为零再说。例例 6 已知向量组线性相关，求TTT 123(1,2, 1,1) ,(2,0, ,0) ,(0, 4,5, 2)t的值t解：123120120204044(,)15025102022tt ，120120 011011 025003 000000tt 所以 3t 第七句话：第七句话：若已知 A 的特征向量0，则先用定义 A0=00处理一下再说。例例 7 已知二维非零向量 X 不是 2 阶方阵 A 的特征向量，() 证明线性无关；,XAX（）若满足，求 A 的全部特征值和特征向量，并由,XAX26A XAXX0此判断 A 能否与对角矩阵相似，若能请写出该对角矩阵。解解 () 设，则必
9、有，否则，从而 X 是 A 的属12kkXAX020k 12k k AXX于特征值的特征向量，与题设矛盾。由此有，因为，故，说明12k k1kX0X010k 线性无关；,XAX（）由，得26(3 )(2)A XAXXAEAE X0 =，(2)3(2) A AE XAE X因为线性无关，所以，即是 A 的特征值，A 的属于特征值,XAX(2)AE X03的特征向量为，其中为任意非零数，同理，2 是 A 的特征值，A 的属31(2)cAE X1c于特征值 2 的特征向量为，其中为任意非零数。2(3 )cAE X2c由于 A 有两个相异特征值，从而有两个线性无关的特征向量，因此 A 可对角化，且A 与对角矩阵相似。3002 评注评注 本题综合考查了向量组的线性相关、矩阵分解、特征值和特征向量的概念与性质，矩阵相似对角化的判定等知识点第八句话：第八句话：若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。例例 8 设为正定阵，则仍为正定阵A2*13AAA证：因为是正定阵，故为实对称阵，且的特征值全大于零，易见AAA全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故全是正定矩阵，2*1,AA A2*1,AA A为实对称阵2*13AAA对，有X0T2*1T2T*T1(3)0XAAAXX A XX A XX A X即 的正定矩阵2*13AAA
