补码运算规则

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1、补码补码(twos complement) 在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以 将符号位和数值位统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码 与原码的的相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。补码的特性 1、一个整数（或原码）与其补数（或补码）相加，和为模。 2、对一个整数的补码再求补码，等于该整数自身。 3、补码的正零与负零表示方法相同。机器数：机器数：计算机中参与运算的数被称为机器数，有以下特点，1、计算机中参与运算的数均为二进制数，这是因为，运算电路是由只能识别“0” 、 “1”的数字电路组成。2、机器数有带符号数和无符号数两种。 3

2、、带符号的机器数有源码、反码和补码三种表示方式；无符号数没有源码、反 码、补码的区别。 4、CPU 的运算电路是按补码的运算规律设计，因此，进行运算的带符号数均 用补码表示。无符号数的运算无符号数的运算1、与手工二进制运算的方法相同（指运算电路） 。 2、可以用十六进制数的运算代替二进制数的运算，计算时不容易出错，而且快 捷。源码表示法（带符号数）源码表示法（带符号数）1、正数。最高位是符号位，用“0”表示正号，即 150 位的第 15 位为 0，70 位的第 7 位为 0。 2、负数。最高位是符号位，用“1”表示负号，即 150 位的第 15 位为 1，70 位的第 7 位为 1。 3、求源

3、码的方法：先将真值转换成二进制数，再写成固定的 8 位或 16 位，最 高位用“0”或“1”表示数的正号和负号。计算机就是用这种方法表示。真值真值就是带符号的十进制数（补码的绝对值） ，如+20、-20、+120、-120。 在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是 1，则我们可以判定它为 负数，并且是用补码表示。若要得到一个负二进制补码的真值（原来的数值） ， 只要对其求补码，就可得到真值。 【例 5】-65 的补码是 10111111 若直接将 10111111 转换成十进制，发现结果并不是-65，而是 191。各位取反（除符号位）：11000000，再+1：11000001（-65

4、）反码表示法（带符号数）反码表示法（带符号数）1、正数。源码等于反码。 2、负数。源码的最高位“1”不变，数值部分“1”变“0” ， “0”变“1” 。 3、求反码的方法：正数不用求反码，正数的源码就是反码。负数的反码是以负 数的源码再求反码。补码表示法（带符号数）补码表示法（带符号数）1、正数。源码等于补码。 2、负数。反码的最高位“1”不变，数值部分+1。 求补码的方法。正数的源码等于补码。负数的补码是以该负数的源码求反码然 后再+1 获得。同一个数字在不同的补码表示形式中是不同的。比如-15 的补码， 在 8 位二进制中是 11110001，然而在 16 位二进制补码表示中，就是 111

5、1111111110001。以下都使用 8 位 2 进制来表示。 【例】求-5 的补码。 因为给定数是负数，则符号位为“1” 。 后七位：-5 的原码（10000101）符号位不变（10000101）数值位取反 （11111010）加 1(11111011) 所以-5 的补码是 11111011。【例】数 0 的补码表示是唯一的。 +0补=+0反=+0原=00000000 -0补=11111111+1=00000000 补码转化为原码 已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码： 如果补码的符号位为“0” ，表示是一个正数，其原码就是补码。 如果补码的符号位为“1” ，表示是一个负

6、数，那么求给定的这个补码的补码 就是要求的原码。【例】已知一个补码为 11111001，则原码是 10000111（-7） 。 因为符号位为“1” ，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1” 。 其余七位 1111001 取反后为 0000110； 再加 1，所以是 10000111。补码的运算（带符号数）补码的运算（带符号数）补码的运算原理：补码的运算原理：计算机中的 CPU 仅有加法电路，没有减法电路。采用补码运算的目的，是将减法变为加法。同时，补码运算将符号位视为数共同参与运算， 其结果仍然不会出错。但是，补码运算的条件是运算器有固定的容量，即“模” 。“模”是指一个计量系统的计数范围。

7、如时钟等。计算机也可以看成一个 计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模” 。表示 n 位的计算机计量 范围是 02n-1，模=2n（2n 表示将 2 的 n 次方） 。例如，两位十进制计数器，它的计数容量是 0099，模=100时钟的计数容量是 011，模=12“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计 量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。 例如：假设当前时针指向 10 点，而准确时间是 6 点，调整时间可有以下两种拨 法：一种是倒拨 4 小时，即：10-4=6；另一种是顺拨 8 小时：10+8=12+6=6 在以 12 模的系统

8、中，加 8 和减 4 效果是一样的，因此凡是减 4 运算，都可以用 加 8 来代替。对“模”而言，8 和 4 互为补数。实际上以 12 模的系统中，11 和 1，10 和 2，9 和 3，7 和 5，6 和 6 都有这个特性。共同的特点是两者相加等 于模。对于计算机，其概念和方法完全一样。n 位计算机，设 n=8， 所能表示的 最大数是 11111111，若再加 1 成为 100000000(9 位） ，但因只有 8 位，最高位 1 自然丢失。又回了 00000000，所以 8 位二进制系统的模为 28。在这样的系统 中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。把 补数用

9、到计算机对数的处理上，就是补码。另外两个概念： 一的补码（ones complement) 指的是正数=原码，负数=反码 二的补码（twos complement) 指的就是通常所指的补码。1、补码的加法。两个补码相加，算法与二进制加法相同，也可以用十六进制数 相加。注意：和仍然是一个补码，符合补码定义。 X+Y补 = X补 + Y补【例 6】X=+0110011, Y=-0101001，求X+Y补 X补=00110011 Y补=11010111 X+Y补 = X补 + Y补 = 00110011+11010111=00001010 注：因为计算机中运算器的位长是固定的（定长运算） ，上述运算

10、中产生的最高 位进位将丢掉，所以结果不是 100001010，而是 00001010， 。2、验算结果。由补码求真值的方法：先求出补码对应的源码，再求出真值。对 X 的补码再进行求补码运算，就得到 X 的源码。从补码求源码的方法：正数不用求源码，源码等于补码。负数的补码符号位 不变，数值部分按位取反，然后再+1，得到源码。注意：由真值求补码或由补码求真值的方法，都必须用二进制数表示才能进 行。 补码的减法。计算机不能做减法，采用的方法是对减数进行进行变补，再与被 减数相加实现的。变补运算的方法：连同符号位一同取反+1。 X-Y补 = X补 - Y补 = X补 + -Y补【1】【1】 在上一个版

11、本中有如下说明：“其中-Y补 称为负补，求负补的方法是：负数的绝对值的原码所有位按位取 反；然后整个数加 1。 （恢复本来解释。请路人真正理解并实际验证后再修改。 以免误导大众。另外，例 6 不具典型性，新增例 7。 ） ” 私以为， 不必要提出负补的概念以使问题复杂化，尽管该解法是正确的，但却 完全没有必要增加新的运算方法及运算结构。求-Y补，只需，先将符号位取 反，求出-Y， 再求-Y 的补码即可。尽管这与求负补的方法实际上是一致的， 但是却简化了概念，仅仅是对过去概念以及运算结构的复用。 相应的，原例 7（现例 8）重新作了修改。【例 7】1-1 十进制 1 的原码 00000001 转

12、换成补码：00000001 -1 的原码 10000001 转换成补码：11111111 1+（-1)=0 00000001+11111111=00000000 00000000 转换成十进制为 0 0=0 所以运算正确。【例 8 增】-7-（-10) 十进制 改为加法形式：-7-（-10）=-7+（-（-10） ） -7 的补码：11111001 -（-10）的补码：-10 的原码为 10001010，-（-10）的原码为 00001010， -（-10）的补码就是其原码，为 00001010 -7 - （-10)= -7 + 10 = 3 11111001+00001010 = 00000

13、011 转换成十进制为 33、手工算法：直接减。不论被减数是大于、等于或小于减数，均用被减数减去 减数。当被减数小于减数时，直接向高位借位，结果仍然正确，而且是一个补 码。例：（-64）-（+20）=（-64）+（-20）= -84（+20）-（-64）=（+20）+（+64）= +84带符号数补码的范围带符号数补码的范围1、8 位带符号数补码的范围：-128+127，80H7FH 或 0X800XFF。 2、16 位带符号数补码的范围：-32768+32767,8000H7FFFH 或 0X80000X7FFF。不带符号数补码的范围不带符号数补码的范围1、8 位不带符号数补码的范围：0+25

14、5，00HFFH 或 0X000XFF。 2、16 位不带符号数补码的范围：0+65535,0000HFFFFH 或 0X00000XFFFF。代数解释代数解释在十进制中我们可以把 n 位二进制体系中的数 a 表示为：求补码，意味着求： 而根据等比数列求和公式：则 因为这里 k0,k1,k2,k3不是 0 就是 1，所以 1k0,1-k1,1-k2 的运算就是二进 制下的取反 注：n 位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2(n-1) 2(n-1) - 1，所以模为 2(n-1)。上面提到的 8 位二进制模为 28 是因为最高位非符号位， 表示的数值范围为 028-1。补码总结补码总结

15、补码只是一种相对合理的编码方案。这个方案在负数的机器表示中解决了 3 个 问题： 1、数的表示：在数的表示上通过人为的定义来消除编码映射的不唯一性，对转 换后的 10000000 强制认定为-128。当然对原码和反码也可以做这种强制认定， 那为什么原码和反码没有流行起来？ 2、数的运算：原码和反码没有流行起来，是因为在数的运算上对符号位的处理 无法用当时已有的机器物理设计来实现，由于原码和反码在编码时采用了硬性 的人工设计，这种设计在数理上无法自动的通过模来实现对符号位的自动处理， 符号位必须人工处理，必须对机器加入新的物理部件来专门处理符号位，这加 大了机器设计难度，加大的机器成本，不到万不

16、得已，不走这条路。设计补码 时，有意识的引用了模运算在数理上对符号位的自动处理，利用模的自动丢弃 实现了符号位的自然处理，仅仅通过编码的改变就可以在不更改机器物理架构 的基础上完成的预期的要求，所以补码沿用至今。 3、自身逻辑意义的完整性：补码这个编码方案要解决的是如何在机器中表示负数，其本质意义为用一个正数来表示这个正数对应的负数。所谓-20 的补码是指： 如何在机器中用补码形式表示-20。具体过程是这样的：将 20 的二进制形式直 接写出 00010100，然后所有位取反变成 11101011，再加 1 变成了 11101100。 最简单的补码转换方式，不必去理会转换过程中的符号位，只关注转换前和最 终转换后的符号位就行了。那么对 11101100 求出其补码又具有什么现实含义呢？对一个数求补，逻辑过程 是对这个数的所有的二进制位按位取反再加 1。现实含义是求出这个数对应的 负数形式。对 11