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1、第三章 衍射理论基础衍射是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离“直线传播”的现象。 “光的衍射”也可以叫作“光的绕射” ，就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传播到障碍物后面的阴影区。对于声波和无线电波来说，由于它们的波长较长，在日常生活中可以很明显地感觉到它们的衍射现象；而光的衍射现象，由于光的波长较短，只有光通过很小的孔或狭缝时才能明显地观察到。光的衍射现象，按光源、衍射孔（或屏障）和观察衍射的场三者之间的距离的大小，通常分为两种类型：一种叫菲涅耳（Fresnel）衍射，这是光源和衍射场或二者之一到衍射孔的距离都比较小的情况；另一种叫夫琅和费（Fraunhofer）衍射，这是光源与衍射
2、场都在离衍射物无限远处的情况。3-1 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯（Huggens）原理是描述波的传播过程的一个原理。如图所示，设波源 S 在某一时刻的波阵面为 ， 面上每一点都是一个次波源，发出球面波。次波源在随后的某一时刻的包络面形成一个新的波阵面 。波面的法线方向就是波的传播方向。这就是惠更斯原理。只根据惠更斯原理是不能确定衍射花样的分布的。菲涅尔在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来自同一光源，应该相干，因而波阵面 上每一点的光振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的次波叠加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。据此我们可以建立一个单色波在传播过程中两个任意面上
3、光振动分布之间的关系。我们现在来考察一个单色点光源 M 对于任意一点 P 的作用，如图所示。根据惠更斯-菲涅尔原理，光源 M 对 P 点的作用可以看成 M 与 P 之间的任一个波面 上各点所发出的次波在 P 点叠加的结果。如果我们不考虑时间因子，单色点tje光源 M 在波面 上任一点 Q 产生的光振动的复振幅可以表示为 a0ejkr/R（其中 a0是离点光源 M 单位距离处的振幅，R 是波面 的半径） 。在波面 Q 点取微元波面 ds，则ds 面元的次波源发出的次波在 P 点产生的复振幅可以表示为dsre ReaKPdUjkrjkR 0)()(式中 r =QP，K()为倾斜因子，表示次波的振幅
4、随元波面法线和 QP 的夹角 而变( 称衍射角)。按照菲涅尔的假设，当 =0 时，K 有最大值；随着 的增大，K 迅速减小，当 /2 时，K=0。也就是说元波面法线和 QP 的夹角大于等于 90时，元波面对 P 点的振动没有贡献。此时 波面有效部分在 P 点产生的光振动的复振幅为dsreKReaPUjkrjkR )()(0这就是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式。利用这一表达式原则上可以计算任意形状开孔或屏障的衍射问题。但是上述积分在一般情况下计算起来很复杂，只有在某些简单的情况下才能精确求解。对于平面波，衍射屏处各点的复振幅都相同，记此振幅为 A，则dsreKAPUjkr )()(若观察屏离衍射
5、屏很远，则 0，K()常数，所以对于平面波衍射又可近似为dsreAPUjkr )(3-2 基尔霍夫衍射公式利用惠更斯-菲涅耳衍射公式对一些简单形状的开孔的衍射现象进行计算，虽然算出的衍射光强分布与实际的结果符合的很好，但是菲涅耳衍射理论本身是不严格的。例如它勉强引入倾斜因子 K()，缺乏理论根据。菲涅耳原理的缺陷，可以由基尔霍夫(Kirchhoff)的衍射理论来弥补。一、基尔霍夫积分定理基尔霍夫衍射公式是用下面的方法推导的。因为光波是电磁波，其必然满足波动方程012222tu cu通过对波动方程分离时间变量 t，可以得到关于空间位置变量函数 U(P)满足的亥姆霍兹(Helmhotz)方程0)(
6、22Uk而自由空间单色光的复振幅也只是空间位置变量的函数，所以亥姆霍兹方程的解U 一定就是自由空间单色光的复振幅。可以用格林定理求解亥姆霍兹方程。格林定理说的是：两个空间位置函数 U(P)和 G(P)，如果它们的一阶导数和二阶偏导数在一个封闭面 S 内部和封闭面 S 上各点是单值连续的，则有VSdSnGUnUGdVGUUG)()(22式中表示在 S 面上各点沿外法线方向的方向导数。这个定理给出了把空间位置函数n的体积分变为面积分的关系。如果我们适当选取一个辅助函数 G(P)(22GUUG（格林函数） ，就可以用格林定理解决上面的边界值问题。基尔霍夫选择的格林函数 G(P)是以考察点 P 为中心
7、的单位振幅的球面波的复振幅函数，即。rePGjkr )(其中 r 表示空间任意点到 P 点的距离。由于 r=0 是 G(P)的奇点，因此要正确应用格林定理，必须使 P 点不包含在体积 V 内。为此我们作一个以 P 为中心， 为半径的小球面 S，这样格林定理在由 S 和 S包围的体积内成立，于是 VSSdSnGUnUGdVGUUG)()(22由于 U(P)和 G(P)都满足亥姆霍兹方程，所以 VVdVGUkUGkdVGUUG0)()(2222从而0)( SSdSnGUnUG即SSdSnGUnUGdSnGUnUG)()(对于 S，外法线方向指向球心，它与 P 点到 S面上的矢径方向正好相反，所以r
8、ejkrre rrG nGjkrjkr )1()(在 S面上各点，r=，所以jkejknG)1(对于 U(P)，因其自身和其偏导数在 P 点连续，所以 0 时 U 和即是它们在nU P 点的值，对于确定的 P 点，它们都是有限常量，这样Sjkjk P PjkjkP PjkSjkP PjkSdSnGUnUGPUdjkeeUnUedejkUnUedSejkUnUedSnGUnUG)()(4)(|lim)1(|lim)1(|lim)(lim02000其中 d 表示元立体角。所以SjkrjkrSdSre nUnU redSnGUnUGPU)(41)(41)(这样，P 点的复振幅 U(P)可以由包围 P
9、 点的封闭曲面 S 上各点的 U 和的值通nU 过积分求出，这个式子就叫基尔霍夫积分定理。从基尔霍夫积分定理的推导过程知道，它是根据波动方程和格林定理得到的，在推导的过程中没有引入假设或近似，所以它在理论上是严格的。二、平面衍射物的基尔霍夫积分公式虽然基尔霍夫积分定理具体地表达出惠更斯-菲涅耳原理的基本概念，但不同面元的贡献所遵守的规律却比菲涅耳所假定的要复杂的多。不过，基尔霍夫证明，在大多情况下，这一定理可以化为一种近似的、但是大大简化的形式，它和菲涅耳的数学表达基本相同，但是它同时还给出了菲涅耳理论中尚未确定的那个倾斜因子 K()。考虑从点源 P0发出的一个单色波，它通过一个不透明平面屏的
10、一个开孔，传播到P。假定开孔的线度比波长大，但比 P0和 P 到屏的距离都小的多。为求得 P 点的扰动，我们围绕 P 点作一个封闭面 S，对它取基尔霍夫积分。封闭面 S 由三部分构成（见图）：开孔 ；不透明屏的部分背照面 S1；以 P 为中心 R 为半径的大球的部分球面 S2。这时，基尔霍夫积分定理就可以表示为 12)(41)(41)(SSSdSnGUnUGdSnGUnUGPU式中 r 是 P 点到面元 dS 的距离，表示沿积分面外法线方向的微商。n这里我们碰到一个问题，就是如何确定 、S1、S2面上的 G、U、并将nG nU 其代入上面的式子中。我们先看在 S2面上的 G、。因为nG Rer
11、GjkRRr| )(RrRrjkRRrrGRjrGRjkRe RjknrG | )()12(| )()1()1()( 当时，则RRrRr RrrjkGrGjnrG | )(| )(2)( 所以在 S2面上，当时RRdjkUnUeRdjkUnUGRdRjkUnUGdSjkUnUGdSnGUnUGjkRSS)()()()()(222 是 S2面对 P 点所张的小于 4 的立体角。我们再看在 S2面上的 U、。当 R时，因为 U 远离光源区域而无限小，从nU 而0lim,0lim nUU RR但是这一条件并不能保证在 R时，也趋于 0，从而也不能保证RjkUnU)(趋于 0。为此我们需要用另外的观点
12、分析这一积分趋于 0 的可能 RdjkUnUejkR)(性。很明显从物理上可以假定，光辐射场并非所有时刻都存在，而是从某特定时刻 t0开始由波源所产生（当然这一假定偏离了严格的单色性，我们在第一章的例题中已经分析过有限长的简谐波不是单色的） ，于是在 tt0的任何时刻，光波场所充满的空间区域的外边界距光源中心 P0的距离不超过 c(t-t0)。因此如果 R 选择的足够大，使得我们在讨论 P 点的扰动时刻，还不存在 S2面上的 U(R)（或者说 U(R)=0） ，当然也就不存在S2面上的 U(R)对 P 点扰动的贡献。所以0)()(2 RdjkUnUedSnGUnUGjkRS而 R时，是一有限值
13、，所以必有)sin()cos(kRjkRejkR0)(limRjkUnUR上式我们称之为索末菲辐射条件。实际上我们上面的分析就是在证明点光源的索末菲辐射条件。这样 P 点的复振幅就变为 1)(41)(41)(SSdSnGUnUGdSnGUnUGPU由于不透明屏的遮挡，基尔霍夫假设，S1面对 P 点的振动也没有贡献，即 U、都等于零，所以nU dSnGUnUGdSnGUnUGPUS)(41)(41)(在 面上，假定 U、的分布与屏不存在时相同，即完全由入射光波在 面的nU 光场决定。根据下图所示的角度关系，我们可以写出reGjkr 时）（rrejkre rjkrG nGjkrjkr ),cos(
14、)1)(,cos(),cos(rnrnrn其中是 P 点到 面某一点的矢径和该点外法线 n 夹角余弦。),cos(rn对位于 P0的点光源，在 Q 点的复振幅为00jkrerAU 时）（0 00 000000 ),cos()1)(,cos(),cos(rrAejkre rjkrU nUjkrjkr rnrnrn其中是 P0点到 面某一点的矢径和该点外法线 n 夹角余弦。),cos(0rn将上述各值代入基尔霍夫积分公式，得dSreQUjdSrre jAdSreerAjkerA rejkdSnGUnUGdSnGUnUGPUjkrrrjkjkr jkrjkrjkrS2),cos(),cos()(12),cos(),cos(),cos(),cos(41)(41)(41)(000)(00000rnrnrnrnrnrn0上式就成为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。U(Q)是点光源 P0在 面 Q 点的复振幅。当光源为近轴点光源且离衍射屏足够远，r0与 n 的夹角接近 180，从1),cos(0rn而上式可以写为 dSreQUjPUjkr2),cos(1)(1)(rn 虽然菲涅耳-基尔霍夫衍射公式是在点光源照明的情况下推导出来的，但是只要注意 U(Q)是 面 Q 点的复振幅，其
