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1、随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数 f(x)的自变量是实数 x，而在随机变量的概念中，随机变量 X 的自变量是试验结果。随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性。随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量：比如，
2、一次掷 20 个硬币，k 个硬币正面朝上，k 是随机变量，k 的取值只能是自然数 0，1，2，20，而不能取小数 3.5、无理数20，因而 k 是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量，比如，公共汽车每 15 分钟一班，某人在站台等车时间 x 是个随机变量，x 的取值范围是0,15)，它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、20 等，因而称这随机变量是连续型随机变量。离散型随机变量及其分布列对于离散型随机变量 X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了
3、随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率。定义：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi (i1,2，n)的概率P(Xxi)=pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列。离散型随机变量的分布列的性质：(1)pi0，i1,2,3，n；(2)pi1.ni1例如：设 X 为掷骰子的结果，则其分布列为：X123456P(X)1 61 61 61 61 61 6下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( )设随机变量 分布列为 P(i)a，i1,2,3，则 a 的值为( )(
4、1 3)A1 B. C. D.91327131113一袋中装有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个大小相同的球，现从中随机取出 3 个球，以 X 表示取出球的最大号码(1)求 X 的分布列； (2)求 X4 的概率将一颗骰子投两次，求两次掷出的最大点数 X 的分布列伯努利实验定义：设实验结果只有两种可能，则称为伯努利实验。投掷硬币就是典型的A与伯努利实验。特殊的离散型随机变量：1.两点分布如果随机变量 X 的分布列为：X10 Ppq 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布。两点分布也称为（01）分布。也即是伯努利实验的分布。篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分
5、，已知他命中的概率为 0.7，求他罚球一次得分的分布列。将一枚硬币扔三次，设 X 为正面向上的次数，则 P(02)袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，求：(1) 不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列(2) 有放回抽样时，取到黑球个数的分布列。这两个问题的求解方法一样吗?超几何分布：适用于不放回抽取。本小题第二问是二项分布这是我们后面要研究的内容3.二项分布在 n 重伯努利实验中，p 为事件 A 在每次实验中发生的概率，定义随机变量 X 为：“n 重伯努利实验中事件 A 发生的次数”，此时 X 所满足的分布律就是二项分布。公式中参数 n, p 分别表示伯
6、努利实验的重数，事件 A 发生的概率。当 n=1X(,)时，二项分布退化为 PX=k = p k (1-p)1-k, k=0,1. 成为（01）分布。某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。0.6（1）求射手在次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；3（2）求射手第 3 次击中目标时，恰好射击了 4 次的概率；（3）设随机变量表示射手第 3 次击中目标时已射击的次数，求的分布列。一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 。1 3（1）设为这名学生在途中遇到的红灯次数，求的分布列；XX（
7、2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。 某安全生产监督部门对家小型煤矿进行安全检查（安检）。若安检不合格，则必须进行6整改。若整改后经复查仍不合格，则强行关闭。设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算：0.60.9（1）恰好有三家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率。（精确到）0.01粒种子分种在甲、乙、丙个坑内，每坑粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内9330.5至少有 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要1补种。（1）求甲坑不需
8、要补种的概率；（2）求个坑中需要补种的坑数的分布列；3X（3）求有坑需要补种的概率。（精确到）0.001连续型随机变量正态分布如果对于任何实数 a,b(a0),()态分布密度曲线，简称正态曲线。 (2) 正态曲线的性质：a.曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；b.曲线是单峰的，它关于 y 轴对称；c.曲线在 x= 处达到峰值；1 2d.曲线与 x 轴之间的面积为 1；e.当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；f.当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。（2011 湖北，5）已知随机变量 服从正态分布，且
9、= (2,2)P( 4) = 0.8,则(0 2)( )A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ ）)(1021)(200)80(2 Rxexfx A该市这次考试的数学平均成绩为 80 分；B分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同；C分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同；D该市这次考试的数学成绩标准差为10.设随机变量服从标准正态分布，若，则（） 0,1N1Pp10P A. B. C. D. 2p 1p1 2p1 2p设随机变量，且 ，则 c
10、等于（ ） ),(2N)()(cPcP.0.DCBA设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（ ）2)1(221)(x exf(A) ) 1() 1(pp(B) ) 11() 11(pp(C) )(xf的渐近线是0x(D) 1) 1 , 0(N设随机变量服从正态分布，记，则下列结论不正确的是（ 0,1N xPx）A B 102 1xx C D 210Paaa 10Paaa 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。(70,100)N已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名。（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的
11、学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()xP xx0x01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857
