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1、1 2 行列式 1.性质 1 行列式与它的转置行列式相等.即 DnDn . 2.性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 3.性质 3 行列式 Dn 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积的和.推论 行列式任意一行(列)的元素与另一行(列)的代数余子式乘积的和为零. 4.性质 4 行列式某行(列)元素的公因子可提到行列 式符号之外. 也即 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论 若行列式有两行(列)成比例，则其值为 0 eg. 奇数阶反对称行列式的值必为 0 5.性质 5 若
2、行列式的某行(列)的元素均为两项之和，则行列式可按此行(列)拆成两个行列 式之和 6.性质性质 6 行列式某行(列)的倍数加于另一行(列)，行 列式的值不变 7.行列式的计算 （1）范德蒙德(Vandermonde)行列式等于 x1, x2, , xn这 n 个数的所有可能的差xi xj 1 j i n 的乘积. （2）行列式主对角线上方和下方元素完全相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:所 有行(列)都加到第一行(列),然后化成三角形行列式 （3）主对角线上方和下方元素分别相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:可用拆分 法. （4）三对角线型行列式:指主对角线上元素与主对角线上方
3、和下方第一条次对角线上元素 不全为 0 而其余元素全为 0 的行列式. 三对角线型及其变形行列式通常可用数学归纳法、递推法、化成三角形行列式等方法.8.行列式的乘法即行乘列规则，An的第 i 行与 Bn的第 j 列对应元素乘积之和为 ijc9.克拉默法则 (1)用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零(2)定理 若方程组的系数行列式 ,那么线性方程组有解，并且解是唯一的0 (3)推论 若齐次线性方程组的系数行列式,则方程组只有惟一零解 0 推论的等价叙述： 齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必等于零。 矩阵 1.几种特殊矩阵 (1)对角
4、矩阵 aij 0 ( i j, i , j = 1, 2, , n) 可记作 Adiag(a11,a22,ann) (2)数量矩阵 对角矩阵 A 的对角线元素为同一个数,即当 a11 a22 ann a，则 Adiag(a , a , a ) (3)单位矩阵 Adiag(1,1 ,1 ) (4)三角形矩阵 (5)对称矩阵 反对称矩阵2.矩阵与矩阵相乘 nkkjikijbac1pjmi, 2 , 1;, 2 , 1LL注意(1)只有当第一个矩阵的列数第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.(2)相乘所得矩阵的行数等于前一矩阵的行数，列数等于后一矩阵的列数. (3
5、)矩阵乘法不满足交换律、消去律(4) kkkBAAB)(一般地3.方阵的多项式:设 A 为一个方阵, f(x)为一个多项式 f(x) = asxs + as1xs1 + + a1x + a0 规定 f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0I 4.矩阵的转置 设 A(aij)mn ,把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置 矩阵，记作 AT. 矩阵的性质5.方阵的行列式定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A 性质这里 A,B 为 n 阶方 阵 6.逆矩阵（唯一唯一） (1)伴随矩阵 A是 ai
6、j的代数余子式代数余子式 Aij替换原有方阵 A 的元素 aij所构成矩阵的转置矩阵转置矩阵(2) nnnnnnAAAAAAAAAAAAALLLLLLL212221212111111(3)(1)称A 0 的矩阵 A 为非奇异矩阵或满秩矩阵; 称A 0 的矩阵 A 为奇异矩阵或降秩矩 阵 (2) 定理可叙述为 A 可逆 A 非奇异 ;)()(3*TTAA;)(*1*AkkAn;1*nAA(4) A A A A A I 此结论对任意方阵 A 成立，即 A 可逆或不可逆都成立 .1)(51*AAAAA且可逆，可逆(4)逆矩阵的性质 .,11TTTAAAA且亦可逆则可逆若且可逆则数可逆若, 0,AA可
7、逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵. .,11 AAA则有可逆若(7)分块矩阵 采用相同的分块法列数相同的行数相同与设矩阵,1BA ;4TTTABAB .41221TTT kT kAAAAAALL ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTkAkA;1AAT ;2BAAB .BAAB ,211 srAAALMML设rA1T sA1.11T srTTAAALMML则;AkkAn(3) 对对 A 的列的分法与对的列的分法与对 B 的行的分法相同的行的分法相同,矩阵为矩阵为设nlBlmA(8)块对角阵 性质（1） .21sAAAAL（2）（3）,0都是可逆方阵和其中设CBCDBA .1111 1 COD
8、CBBA则左乘同行右乘同列再加负号左乘同行右乘同列再加负号 (9)初等变换(1) 交换矩阵的任意两行(列); (2) 以非零常数乘矩阵的某一行(列);(3) 以常数 k 乘矩阵某一行(列)加到另一行(列); (10)若矩阵 A 经过有限次初等变换化为 B, 则称 A 与 B 等价.记为 A B. (11)对矩阵 A 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的初等矩阵 Ii ,j ，Ik i ，Ik i ,j ; 对矩阵 A 施行一次初等列变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵 Ii ,j ，Ik i ，Ik i ,j ; (12)初等矩阵的性质 (1)初等矩阵的转置仍是初等矩阵, 且
9、转置矩阵还是同类型的初等矩阵. (2) 初等矩阵是可逆矩阵且逆矩阵还是同类型的初等矩阵 (13)矩阵在初等变换下的标准形矩阵在初等变换下的标准形换化为如下形式的矩阵总可经过有限次初等变矩阵对于任何,)(A nmijanmnmr OOOIB .在初等变换下的标准形称为矩阵的秩，为矩阵阶单位矩阵，为其中ABArrIr推论 1 可逆矩阵必为初等矩阵的乘积，反之亦然。 推论 2 使得矩阵必存在可逆矩阵对于任何,)( nmQPaAnmij推论 3 可逆矩阵可经一系列初等行变换化为单位矩阵. eg (14)用初等变换求逆矩阵 也可用于求也可用于求即):(:1AEEABA1),(,1BAEBA,CA1 CA
10、I列变换(15)矩阵的秩（mn 阶矩阵 A 的不等于零的子式的最高阶数为 r，即矩阵中非零行的行数）1sAT rA11111.21sAAAAOoonmr OOOIPAQ .,PAQBQPBA使得存在可逆矩阵(1)rank(AT) = rank (A) . 定理 1 mn 阶矩阵 A 的秩等于 r 的充要条件是 在 A 中存在一个 r 阶非零子式,且 A 的所有 r +1 阶 子式都等于零. 定理 2 初等变换初等变换不改变矩阵的秩矩阵的秩.(化为阶梯型矩阵，非零行即为矩阵的秩非零行即为矩阵的秩) 定理 3 设 A 为 mn 阶矩阵, P, Q 分别为 m 阶与 n 阶可逆矩阵, 则 rA rP
11、A rAQ rPAQ（即用可逆矩阵乘某矩阵不改变该矩阵的秩可逆矩阵乘某矩阵不改变该矩阵的秩.） eg rAB minrA , rB .3.向量空间 1. Rn 的子空间.的一个子空间为向量空间，则称和数乘运算也构成一个对向量的加法的一个非空子集若nnRWWR判别方法判别方法: (1) 证集合 W 非空,一般证 0 W 即可. (2)证集合 W 对加法封闭. (3)证集合 W 对数乘封闭. 注：子空间必包含零向量子空间必包含零向量.一个不包含零向量的集合就不能成为子空间。一个不包含零向量的集合就不能成为子空间。 2.定理 1 L1, 2 , , t 是 Rn的子空间. 3.向量组等价向量组等价,
12、 .,), 2 , 1(, 212121212121tststissiLLLLLLL记作则称这两个向量组等价互线性表示，若两个向量组可以相线性表示可由向量组则称向量组线性表示，都可以由向量组中每一个向量如果向量组4.向量的线性相关性向量的线性相关性定义：0 , 22112121 ssss kkkkkkLLL使如果存在不全为零的数给定向量组则称向量组1,2 , ,s 是线性相关线性相关的，否则称向量组1,2 , ,s 是线性无关的 (1)若对任意一组不全为零的数不全为零的数 k1,k2 , ,ks,都都 k11 k2 2 kss 0,则1,2 , ,s线性无线性无 关关. (2)在 R3 中，对
13、于含有两个向量的向量组，它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成 比例,几何意义是两向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。 (3)n 维单位向量组是线性无关的. 5.线性相关与线性无关的有关定理线性相关与线性无关的有关定理定理定理 1 充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性相关的向量组s,21L线性组合. 逆否命题逆否命题(1)向量组 1,2 , ,s s 2线性无关 1,2 , ,s中每一个向量都不能经其余 s 1 个向量线性表示. (2)包含零向量的任意向量组是线性相关的.因零向量必可由其余向量线性表示. 定理定理 2(部分相关部分相关,则整体也相关则整体也相关.).,n
14、21向量组也线性相关相关，则该的一个部分向量组线性维向量组设sL推论：推论：(整体无关整体无关,则部分也无关则部分也无关.).,21线性无关则其任一部分向量组也线性无关，维向量组设snL定理定理 3且表示式是唯一的。线性表示组必能由向量向量则线性相关而向量组线性无关设向量组, 21121sss LLL定理定理 4 .,2121tsts线性表示，则且可由向量组线性无关，设向量组LL推论推论 1 线性相关。则必有且线性表示，可由向量组设向量组ststs,212121LLL推论推论 2 Rn中任意 n +1 个向量必线性相关. eg (1)设向量可由向量组1, 2 , , t线性表示,则表示法唯一的充要条件是1,2, ,t线性 无关(零向量由1,2, ,t线性表示时表示方法唯一. ) (2)两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。 6.向量组的结构向量组的结构 定义定义
