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1、1方方程程公公式式悠悠久久的的历历史史一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 的求根公式是 1545 年由意大利学者卡当发表在关 于代数的大法一书中，人们就把它叫做“卡当公式（有的数学资料叫“卡尔丹公式”） 。可 是事实上，发现公式的人并不是卡当本人，而是塔塔利亚（Tartaglia N.，约 14991557） 。 144。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听 他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密 武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利 亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利
2、亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求， 而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在 1539 年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉 了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545 年在其所著 重要的艺术一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：“这一解法来自于一位最 值得尊敬的朋友-布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我， 但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。 ”从此，人们就把 一元三次方程的求根公式称为卡当公式。 塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒 不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于
3、发现法则者是谁的附笔只 能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡 当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受 到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把 发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃； 而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄 露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普 及和人类探索一
4、元 n 次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公 式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。 一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公 式给出的只是一个实根。又过了大约 200 年后，随着人们对虚数认识的加深，到了 1732 年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。 塔尔塔利亚 是意大利人，出生于 1500 年。他 12 岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说 话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名 反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听 了不服气，来找他较量，每人
5、各出 30 道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚 30 道三次方 程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学 家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔 利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程 式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原 来的信约，在他的著作关于代数的大法中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。 后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃 以后被埋没了一样。 至于一元四次方程 ax4 +bx3 +
6、cx2 +dx+e=0 求根公式由卡当 的学生费拉里找到了。 关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，复 数是指能写成如下形式的数 a+bi,这里 a 和 b 是实数，i 是虚数单位（即-1 开根） 。 由意大 利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作， 此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。 它满足四则运算等性质。它是复变函数论 、解析数论、傅里叶分析 、分形、流体力学、 相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 一元三次、四次方程求根公式找到2后，人们在努力寻找一元五次方程 求根公式，三百年过去了
7、，但没有人成功，这些经过尝 试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。 后来年轻的挪威数学家阿贝尔于 1824 年所证实， n 次方程(n5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束， 因为人们发现有些 n 次方程(n5)可有求根公式。那么又是什么样的一元 n 次方程才没没有 求根公式呢？ 不久，这一问题在 19 世纪上半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的 全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。 编辑本段一一元元三三次次方方程程求求根根公公式式一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的 求根公式的配方法只能将型如 ax3+bx2+cx
8、+d=0 的标准型一元三次方程形式化为 x3+px+q=0 的特殊型。 卡卡尔尔丹丹公公式式的的推推导导第第一一步步： ax3+bx2+cx+d=0 为了方便，约去 a 得到 x3+kx2+mx+n=0 令 x=y-k/3 ， 代入方程(y-k/3)3+k(y-k/3)2+m(y-k/3)+n=0 ， (y-k/3)3 中的 y2 项系数是-k ， k(y-k/3)2 中的 y2 项系数是 k ， 所以相加后 y2 抵消 ， 得到 y3+py+q=0， 其中 p=(-k2/3)+m ， q=(2(k/3)3)-(km/3) +n。 第第二二步步： 方程 x3+px+q=0 的三个根为： x1=
9、-q/2+(q/2)2+(p/3)3) (1/2)(1/3)+ +-q/2-(q/2)2+(p/3)3)(1/2)(1/3)； x2=w-q/2+(q/2)2+(p/3)3) (1/2)(1/3)+ +w2-q/2-(q/2)2+(p/3)3)(1/2)(1/3)； x3=w2-q/2+(q/2)2+(p/3) 3)(1/2)(1/3)+ +w-q/2-(q/2)2+(p/3)3)(1/2)(1/3)， 其中 w=(-1+i3)/2。 推导过程： 1、方程 x3=1 的解为 x1=1，x2=-1/2+i3/2=，x3=-1/2-i3/2=2 ； 2、方程 x3=A 的解为 x1=A(1/3)，
10、x2=A(1/3)，x3=A(1/3)2 ， 3、一般三次方 程 ax3+bx2+cx+d=0(a0),两边同时除以 a,可变成 x3+sx2+tx+u=0 的形式。 再令 x=y-s/3,代入可消去次高项，变成 x3+px+q=0 的形式。 设 x=u+v 是方程 x3+px+q=0 的解，代入整理得： (u+v)(3uv+p)+u3+v3+q=0 ， 如果 u 和 v 满足 uv=- p/3,u3+v3=-q 则成立， 由一元二次方程 韦达定理 u3 和 V3 是方程 y2+qy-(p/3) 3=0 的两个根。 解之得，y=-q/2(q/2)2+(p/3)3)(1/2)， 不妨设 A=-q
11、/2-(q/2) 2+(p/3)3)(1/2),B=-q/2+(q/2)2+(p/3)3)(1/2)， 则 u3=A；v3=B ， u= A(1/3)或者 A(1/3) 或者 A(1/3)2 ； v= B(1/3)或者 B(1/3) 或者 B(1/3)2 ， 但是考虑到 uv=-p/3，所以 u、v 只有三组解： u1= A(1/3)，v1= B(1/3)； u2=A(1/3)，v2=B(1/3)2； u3=A(1/3)2，v3=B(1/3)， 最最后后： 方 程 x3+px+q=0 的三个根也出来了，即 x1=u1+v1=A(1/3)+B(1/3)； x2=A(1/3) +B(1/3)2； x3=A(1/3)2+B(1/3)。 卡卡尔尔丹丹公公式式方程 x3+px+q=0， （p，qR） 判别式=(q/2)2+(p/3)3。 x1=A(1/3) +B(1/3)； x2=A(1/3)+B(1/3)2； x3=A(1/3)2+B(1/3)。 这就是著 名的卡尔丹公式 。 3
