数理金融笔记

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1、22 期望效用理论期望效用理论期望效用函数理论是 20 世纪 50 年代，冯诺依曼和莫根施特恩在公理化假设的基础 上，运用逻辑和数学工具，对不确定条件下理性人选择行为进行分析所建立的一套理论框 架。这一理论成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此 展开额的包括宏观、金融、计量等在内的宏伟而又优美的理论大厦，它自然也是数理金融 学中投资消费理论及资产定价理论的理论基础。投资分析投资分析 从模型,CAPM,APT线性定价或随机折现因子统一,都引起了争论,2X认为缺乏经济学内容。 一、圣彼得堡悖论一、圣彼得堡悖论 经济活动者在不确定环境(带概率)下的决策问题。赌博问题 期望

2、收益成为刻画理性赌徒在赌博输赢中的总体指标。令(i)若 则对赌博参与者有利；0fR(ii) 若 则该赌博是公平的；0R(iii) 若 则对赌博参与者是不利。0pR 但是这种决策依据很快被质疑。 例 1(猜硬币问题) 一场猜硬币正反面的赌博，若第一次猜对了就可以得到 2 元；若第一次 没猜中且第二次猜中就可以得到 4 元；一般是前 n-1 次都没有猜中,但是第 n 次猜中可以得到元。问:若参与者参与这场赌博,他应该交多少钱才能使这场赌博成为“公平赌博”n2 ? 解：设随机变量为事件“参与者赢钱”,则的概率分布律为:XXX24n2P2141n21所以的期望为:XLLnnX21*221*221*22

3、2即参与者无论交多少钱,都是对其有利的。然而，真要付诸实现，即使敢冒任何风险的赌徒，当标价非常高时，也会不愿参加。 “圣彼得堡悖论”中对赌徒有利的赌博，实际上只有疯子才会参加。“圣彼得堡悖论”并非是一个科学的问题，而是一个对人的行为动机的认识问题。但 D-B 认为这个问题的解决方法也是非科学的，即人不是根据可得钱的数学期望而是由其 “道德期望”行动的，接近“边际效用递减”假设。 “道德期望”并不与得利多少成正比， 而与原来有多少钱有关。将这个问题用数学语言可以这样描述：“道德期望”是利益的导数递减的凹函数。于是 D-B 选用“道德期望”函数为对数函数，于是)0(lgfaxaaiaaaaxani

4、in n39. 1)2(2lg2lg*212lg*212lg*21lg12 2 LL这个答案过于数学化。实际上，赌博会在有限次中结束。如当，猜对一次，则赢钱的期望为：10n1021*221*221*210102Ln10 次后猜中，即使不给参赌者付钱，大家也会去尝试，最多输 10 元，但也有可能可以赢到元。按照这种算法，很多年前，美国财政收入为美元，最多也就猜 43 次。1024210432如果按照这个问题中的“公平”定义，只需付 43 元，理论上就可以赢得“全美国” 。若 次呢？10000000nD-B 的“道德期望”长期以来不被人们所理解。直到边际效用创立人门格尔的儿子， 数学家门卡门把它与

5、效用函数联系起来，尤其是冯诺依曼和莫根施特恩在对策论与经 济行为中公理化论证后，受到数学家和经济学家重视。 2 2、冯冯诺依曼和莫根施特恩效用函数的公理化陈述诺依曼和莫根施特恩效用函数的公理化陈述效用函数是在历史上（甚至至今）引起长期争论的概念，一个人的消费行为可以用他 消费的商品量的（效用）函数来刻画，这始终是令人怀疑的，其中，效用函数无法被实际 测量是它受到抨击的一个重要原因。于是后来效用函数的概念就逐渐被偏好概念所替代。 冯诺依曼和莫根施特恩效用函数理论的一个贡献在于：如果是在带概率的不确定性的环 境中，并认为人们追求的是效用函数的数学期望最大，那么在一定的合理假设下，偏好所 决定的效用

6、函数在可相差一个平移和相似（即相差一个仿射变换）的意义下是唯一的。 、在不确定性的一般经济均衡中，一种处理方法是假定商品都是随机变量，即大小依赖 不确定状态。若仍用效用函数，人们将无法直接通过效用函数值来决策，因为它依赖的状 态是随机变量。在这种情况下，人们可以对效用函数求均性（数学期望）比较大小。即在涉及的随机商品里集合上定义，且满足x)(xu)()(1xuxuE其中是随机变量，是把局限到非随机量的函数。)(1xu1uu例 2 设为随机变量，它的分布律为：X Xab Ppp1那么)()1 ()()(11bupapuxu即一种“未定商品”的效用等于该“确定商品”的效用函数的均值。问题：这种等式

7、关系 是否合理？是否存在呢？冯诺依曼和莫根施特恩用数学公理化方法处理了这一问题。考虑一个面临决策的个 体。提供给个体进行选择的商品选择集，记为。在这里，商品选择集中的商品按其是否B 具有不确定性分为两类。一类称为确定性商品，另一类称为未定商品，或博弈束，或彩票。为了对进行数量化分析，对配备以下公设：BB公设公设 1.11.1 假如，那么对所有。Byx, Byx1,1 , 0公设公设 1.21.2 对每个和，且。Byx, 1 , 0xxx1xyx01公设公设 1.31.3 对每个和，。Byx, 1 , 0xyyx11公设公设 1.41.4 对每个和，Byx, 1 , 0,321 11111121

8、312131221331 yxyxy假定每个个体对中的元素装配有如 1.1 节定义的偏好序关系，且同样满足 1.1 节同样的B 6 个定理。 （P3 公理 1.1公理 1.6）序数效用函数存在定理序数效用函数存在定理 （P7 公理 1.2）对于等式（冯诺依曼和莫根施特恩效用函)()1 ()()1(yUxUyxU数，也称为期望效用函数或基数效用函数）在满足以上公设及公理的条件下，这样的效用 函数是否一定存在呢？回答是否定的。在以上公设和公理的条件下，还需要加上以下称为 “强独立性”的公理才能保证上述等式的存在性。（强独立性强独立性）对，假如，那么对任意的和任意的，Byx,yx f 1 , 0Bz

9、。 zyzx)1 (1f于是就有了基数效用函数存在定理（P8 定理 1.3） 。 3 3、效用函数的性质效用函数的性质性质性质 1.21.2（正仿射变换） 假如和是关于偏好序的两个效用函数，RBU:RBW:f 那么存在实数和，使得0。)()(zWzU性质性质 1.31.3 效用函数在任何正的仿射变换下其凸性不变。U“期望效用函数假设”是一个长期争论的概念，有的反对该假设主要有两点理由： （1）认为该假设不是对实际现象的一种有用或合理的解释。 （2）该假设根本反对用一个函数来测量人们在不确定环境下的决策行为。 4 4、阿莱悖论和卡尼曼阿莱悖论和卡尼曼- -特韦斯基的研究特韦斯基的研究冯诺依曼和莫

10、根施特恩提出效用函数公理体系，原意是在不确定环境下人们可能来 “测量”效用函数。其用的公理化方法是逻辑方法,有问题就是公理体系的问题。1952 年，Allais 提出责难正是这样的问题，引起人们不得不深思，使人们注意区分 冯诺依曼和莫根施特恩的期望效用和一般效用函数概念。他主要指出他主要指出：独立性公理不符 合实际。 阿莱悖论:假设两组文件需要作出决策：第一组：肯定能得到 100 万元，记为；1A以 0.1 的概率得到 500 万元；以 0.89 的概率得到 100 万元；以 0.01 的概率什么都得不到，极为。2A第二组：以 0.1 的概率得到 500 万元；以 0.9 的概率什么都得不到，

11、记为；3A以 0.11 的概率得到 100 万元；以 0.89 的概率什么都得不到，记为；4A人们一般会怎么来决策呢？阿莱在上百个了解概率的人的调查中表明：一般人会在、中选择；而在、1A2A1A3A中选择。但这样的选择恰好违背独立性公理。4A3A阿莱悖论后，学者们提出各种讨论。20 世纪 70 年代，两位心理学家卡尼曼特韦斯 基进入了这一领域，认为在不确定环境下进行决策分析要区分三种不同方法。 （1）规范分析：决策问题的理性解答。 （2）描述分析:人们实际上是怎样决策的。 （3）惯例分析：实践建议，有助于人们作出较合理决策。 例 3 携夫人看电影。 例 4 受疫情威胁村子，村中共有 600 人

12、，现在有两种方案：一是使 400 人死亡，200 人获救；二是 600 人有的概率死亡，的概率获救。32315 5、阿罗阿罗普拉特风险厌恶度量普拉特风险厌恶度量投资者期望效用函数为度量函数，不妨设为收入，设，为两种可能的收)(xu0,yx入，且它们满足 XxyPpp1由冯诺依曼和莫根施特恩效用函数可知：)()1 ()(),(yupxpupyxu于是人们对条件所包含的风险的态度可由函数值的比较来刻画。),(pyx)1 (yppxu对的函数值有三种情况：)1 (yppxu（1）若，则称风险厌恶；),()1 (pyxuyppxu（2）若，则称风险中性；),()1 (pyxuyppxu（3）若，则称风

13、险偏好。),()1 (pyxuyppxu阿罗普拉特绝对厌恶风险函数：；)()()( xuxuxAu风险容忍函数：；)(1)(xAxTuu相对风险厌恶函数：。)()(xxAxRuu6 6、典型期望效用函数典型期望效用函数 例 5 （1）双曲绝对风险厌恶函数类（HARA），0,)1(1)(bbaxxU 其中为实数；xba,（2）负指数效用函数；axexU)(（3）幂效用函数。xxU)(解解：（1）；abx xAxT1)(1)(（2）；axA)(（3）。1)(xR根据这一计算结果，读者可以自行体会具有这三种效用函数的个体，起厌恶风险的程度是 怎样随当前财富水平而变化的。x 对于 HARA 函数类，有

14、以下几点讨论：（1），这说明钱越多越不在乎风险；)(,xTxu（2），钱越多越不怕风险；1（3），钱越多越想冒险。133 单周期随机资产市场的一般套利定价定理单周期随机资产市场的一般套利定价定理基本的资产市场模型：该模型仅有两个投资时刻，记为时刻 0（代表今天）和时刻 1（代表明天） 。经济系统在时刻 1 是不确定的，经济系统的不确定性由一个可能性状态集所特征化。状态集称为状态空间，一个特别的状态被记为。资产的价格一般记为，它表示时刻 1 状态出现资产以现金表示的现金流。)(XX在时刻 0 市场交易的资产集合记为，在时刻 1 资产状态所形成的信息集记为。M)(M假定有如下假设：假设假设 1.1

15、1.1 假如且，则。MYX,R,MYX假设假设 1.21.2（共同信仰共同信仰）若事件，对任意两投资者 与都有，当且仅)(MHij0)(HPi当。0)(HPj假设假设 1.31.3（无摩擦市场（无摩擦市场）资产市场无任何交易成本、税收，无卖空限制（如要求保证金） ， 资产数量单位无限可分。 假设假设 1.41.4（竞争市场）（竞争市场） 投资者都是价格承受者，即任何投资者的投资行为都不会影响市场 资产的价格，也就是说，市场不存在价格垄断。现假定市场上有种资产，第种资产在时刻 1 的价格是一随机变量，记为，1KjjX在时刻 0 的价格记为，其中。下面给出 4 个以后经常使用的定义：)(jXpKj, 1 , 0L定义 1.5（投资组合） 假定投资者投资于第种资产的数量为，代表买入（或jjN0jN称为做多） ，代表卖出（或称为做空） ，那么称向量为投资者的投0jN),(10kNNNL资组合。 定义定义 1.61.6（资产组合）（资产组合）设或 Kiiijj j XNXN0 Kiiij