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1、用TI Nspire计算不定积分不能一蹴而就怎么办田增锋浙江万里学院基础学院TI Nspire CAS内置的计算机代数系统可以解决相当一部分的不定积分计算, 但是和它强大的计算定积分的能力比较起来, 计算不定积分的能力要差很多, 毕竟定积分存在大量的数值积分方法.计算不定积分的方法一般有: 直接积分即通过一些恒等变形将被积函数化成已知积分; 换元积分法(包括第一类换元积分法和第二类的换元积分法); 分部积分法.1几类不能直接积分的问题处理方法以下的一些例子说明如何结合其它方法运用TI Nspire CAS计算不定积分.例1.x(x + 1)x +x + 1dx这是一个可以直接积分的问题. 利用
2、TI Nspire CAS的积分计算模板, 返回结果和原式相同, 也就是说不能直接算出这个积分(见图1).这个积分事实上可以首先分母有理化后简化为两个积分的.TI Nspire CAS分母有理化后给出一个提示信息: 结果的域可能扩大.我们使用计算函数定义域的命令domain来分别计算原来函数和有理化后的函数的定义域.结果都是0 x (见图1). 接下来将分子用expand命令展开, 然后计算两个不定积分(见图2).图1图2例2.x + 1 x(1 + xex)dx 这是一个凑微分的问题, 利用TI Nspire CAS的积分命令, 返回结果只是将分子拆开, 变成了两个不定积分(见图3). 经过
3、观察, 用凑微分的话, 令u = xex. 给分子和1分母都乘以ex后, 再次用积分命令结果依然不变.看起来TI Nspire CAS并非那么全能啊:-)使用with命令|做变量代换, 然后计算换元后的不定积分, 最后用|做回代(见图4).图3图4例3.13(x + 1)2(x 1)4dx此问题属于第二类换元积分问题. 直接用TI Nspire CAS的积分命令得到的结果只是把分母的根式变成了幂(见图5). 根据经验此种类型的积分, 可以做变换t =x + 1 x 1, 为此将分母中的(x 1)2提取出来, 但是TI Nspire CAS依然没有理会我们的提示噢(见图5). 为了做换元积分,
4、需要从t =x + 1 x 1解出x, 利用solve命令即可,然后用求导数 命令计算dx(见图5).将x =t + 1 t 1和dx带入原来的积分化简后积分, 最后回代可得结果(见图6).图5图6例4.1 (1 + x)21 x2dx此例属于三角代换的换元积分问题.直接积分原样返回(见图7).此类积分做三角代换x = sint,t /2,/2消去根式, 为此先在被积函数中将x换成sint, 然后将积分中的dx换成d(sin(t), 最后积分(见图7).这里我们去掉了绝对值, 因为在一四象限余弦函数是非负的.2因为关于t的被积函数是周期函数因此结果里面给出了用mod函数表示的周期结果,此例中只
5、考虑t /2,/2, 所以只需利用第一个结果做回代t = arcsinx即可(见图8). 如果对结果存疑, 用求导运算可以验证(见图8).图7图8例5.x 1 + cosxdx 直接积分原样返回(见图9). 问题出在了分母上, 用半角公式1+cosx = 2cos2 x2将 分母变形(见图9).变形后再积分就能计算出来了, 这里事实上是运用的分部积分法(见图10).图9图10例6. xtanxsec4xdx这是一个分部积分问题, 直接积分返回用正弦和余弦表示的一个中间结果,但是没有最后结果(见图11).这 个 虽 然 不 是 最 后 结 果 但 是 提 示我 们 用 分 部 积 分 法,选 择
6、u=x,v=14cos4x=14sec4x,则xtanxsec4xdx = x4cos4x +1 4sec4xdx,最后计算14 sec4xdx(见图11).图1132使用建议在承认TI Nspire CAS功能的强大时, 也要清醒认识到这毕竟是个计算器(当然是个高级的计算器啦), 很多问题并没有完全智能话, 学习微积分时还是需要系统地掌握各种方法, 对于一些繁琐的和例行性的工作则可以借助于TI Nspire CAS摆脱繁重的计算任务.通过上述的几种问题, 同时我们也可以看到TI Nspire CAS对于创新式思维培养的作用: 不拘泥于问题, 寻求各种方案解决问题的能力.参考文献1 吴赣昌主编,微积分(经管类), 中国人民大学出版社,2008年1月4
