正余弦定理常见题类型

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1、正余弦定理常见解题类型正余弦定理常见解题类型山东 胡彬1 解三角形解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：已知两角和任一边，求其他两边 和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：已知三边，求三个角；已知两 边和它们的夹角，求第三边和其他两个角例例 1 已知在中，解此三角形ABC4526Aaco，解解：由余弦定理得，22( 6)2 6 cos454bbo从而有31b 又，222( 6)222 cosbbC得，或1cos2C 60Co120Co或75Bo15Bo因此，31b 60Co75Bo或，31b 120Co15B

2、o注：注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做2 判断三角形的形状判断三角形的形状 利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系 或边的关系，一般的，利用正弦定理的公式，可将边转2 sin2 sin2 sinaRAbRBcRC，化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：；利用余弦定理公式，ABC 222222 coscos22bcaacbABbcac，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知222 cos2abcCab识来解决问题例例 2在中，若，判定三角形的形状ABC2222sins

3、in2coscosbCcBbcBC解解：由正弦定理，为外接圆的半径，2sinsinsinabcRABCRABC可将原式化为，22228sinsin8sinsincoscosRBCRBCBC ，sinsin0BC ，即sinsincoscosBCBCcos()0BC，即，故为直角三角形90BCo90A oABC3 求三角形中求三角形中边边或角的范或角的范围围例例 3在中，若，求的取值范围ABC3CB c b解：解：，ABC 4AB 可得04B 210sin2B又，2sinsin334sinsinsincCBBbBB故2134sin3B 13c b点评：点评：此题的解答容易忽视隐含条件的范围，从而

4、导致结果错误因此，解此类问B 题应注意挖掘一切隐含条件4 三角形中的恒等式三角形中的恒等式证证明明根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式例例 4在中，若，求证：ABC2()ab bc2AB证明证明：，2222 cos2222acbbccbcaBacacab22222 2 22222cos22cos1214222aabbbcbcbBBbbbb 又，222222()cos222bcabcbcbcbAbcbcb，而是三角形内角，coscos2ABAB，2AB一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解在具体的解题过程 中，同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式