四年级上下册疑难问题解答

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1、- 1 -四年级上册疑难问题解答 小学数学课程教材研究开发中心 丁国忠 一、教材第 20 页提到“0 也是自然数，最小的自然数是0”，这与九年义务教育小学数学 教科书中的说法不一致。这什么要做出这样的改动？从历史上看，国内外数学界对于自然数的定义一直存在着两种观点。一种观点认为 0 不是自然数。例如 , 意大利数学家皮亚诺于 1889 年提出了一组刻画自然 数特征的公理，包括以下五条：（ 1）1 是自然数。（ 2）任一自然数都有唯一自然数为其后继 数。（3）没有两个相异的自然数有同一后继数。（4）1 不是任何自然数的后继数。（ 5）如 果 1 具有性质 P，且任何具有性质 P 的自然数其后继数

2、也具有性质P，则一切自然数都具有性 质 P。从这组公理可以清楚地看到，皮亚诺把0 划归在自然数之外的。再如，上海辞书出版社 出版的辞海（1999 年版）把自然数解释为：在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要， 用以表示个数的数目。首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，统称为“自然 数”。建国以来，我国的中小学教材一直采用自然数的这种定义，用 N=1，2，3，4，5，来表示自然数集，而用 N*=0，1，2，3，4，5，表示扩展的自然 数集。还有一种观点把 0 划归为自然数的范畴。例如，对现代数学基础有很大影响的法国布尔巴 基学派的 数学原本 中，从集合论的角度，把 0 作为空集的基数

3、，这样，所有有限集合的基 数就都可以用自然数来刻画了。目前，国际上大多数国家也把0 纳入自然数集中。为了国际 交流的方便，国家技术监督局于1993 年 12 月 27 日发布的 中华人民共和国国家标准 （GB31003102-93）量和单位 第 311 页，就已经规定自然数集 N=0，1，2，3，。 在现代汉语词典 2005 年 6 月第 5 版中也把自然数定义成：零和大于零的整数，即 0，1，2，3，4，5，。根据上述原因，教材研究编写人员在对原九年义务教育教材进行修订和编写课程标准实验教 材时，依据有关国家标准对自然数的定义进行了修改，规定0 属于自然数。二、对于亿这样比较大的计数单位，怎

4、样帮助学生建立相应的数感？新课标非常强调对学生数感的培养，教材中也在相关的单元编入了大量帮助学生建立数感的 素材。例如，在认识 20 以内的数、 100 以内的数时，教材就注意通过估一估、数一数等活动帮 助学生形成对十、百等数量大小的感觉。但是，对于一些比较大的计数单位（如万、亿），如何 建立相应的数感？确实成为教师们教学中的困惑。首先要说明一点，为了叙述方便，这儿所讲的数感仅仅指对一个数量相对大小的感觉（事实 上，数感有着更丰富的内涵，指的是关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、 数量关系等方面的感悟）。数感的培养不是一两堂课就能达到目标的。因此，在日常教学中，需要时时处处进

5、行这方面 的渗透，不断积累这方面的经验。例如，为了帮助学生形成对100 这个数的感觉，教师可以 通过让学生看百羊图、数 100 粒花生、数 100 根小棒、估计一堆水果的数量等活动，来建立相 应的数感。由上面的例子也可以看出，数感的培养不可能是一个抽象的过程。空泛地让学生说一说 “1 万有多大？ 1 亿有多大？ ”并没有太大的意义，应该借助大量的生活经验，帮助学生感受某 种具体事物某个数量的相对大小。即便是借助直观的物体，学生也未必能建立起很好的数感。例 如，我们可以让学生观察一个由1000（101010）个小正方体组成的大正方体，感受1 千 有多大，也可以让他们看十个这样的正方体，感受1 万

6、有多大，但如果想通过同样的方式来建 立 1 亿的数感，恐怕在操作层面上是难以实行的。要建立1 亿的数感，需要发挥学生的想像力，- 2 -凭借生活经验，形成一种大致的感觉就可以了，教学时要求不宜过高。教材中提供了一些帮助学生建立数感的范例，教学时可以参考借鉴。例如，第12 页的第 15 题，让学生通过一些数学策略和生活经验判断某个数据信息的合理性，就是一种很好的建立 数感的方式。再如，第 4 页的“你知道吗 ”以及第 33 页的“1 亿有多大 ”，都是借助一些具 体活动，通过计算，帮助学生感受1 亿的相对大小。但要感受 1 亿，并不像较小的计数单位 那样，仅仅凭用眼看、用手摸等直观活动就能达到目

7、的，还需要学生能更好地利用数学工具，同 时，要具备很好的长度观念、质量观念、时间观念，更需要学生有较强的想像能力，所有这些， 都可以辅助学生较好地建立1 亿的数感。例如， 1 亿名小学生手拉手可以绕地球赤道3 圈半， 学生虽然不可能对地球赤道的长度有亲身体验，但可以利用想像和简单的科学知识，进行粗略的 感受。除了教材上提供的这些素材以外，教师还可以充分发挥学生的创造性，让学生自行选择素材， 设计各种活动，感受丰富多样的 “1 亿”，如：一亿名小学生站在一起，占地面积大约是多少； 1 亿粒大米有多少； 1 亿粒黄豆有多少； 1 亿滴水有多少；等等。 三、教材中介绍了计算器的使用，但实际教学中一般

8、不允许使用计算器，应如何处理这一矛 盾？ 随着经济、科技的快速发展，计算器、计算机在生活中的使用越来越广泛。对于社会生活中 一些大数目、多步骤的复杂计算，纸笔运算、珠算等显然已经不能完全满足新的要求，需要有更 先进的计算工具来代替。因此，计算器乃至计算机的使用已经成为现代社会公民的一项基本技能 要求，在小学阶段要求学生学会使用计算器，是符合社会发展的要求的。新课标在第二学段中明 确要求学生： “能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律。 ”根据社会的发展状况和课标的精神，教科书中除了介绍计算器的基本使用方法以外，还编入了 一些利用计算器探索数学规律的习题。与此同时，

9、我们也应看到，在小学阶段，学生的主要任务是较好地掌握口算、笔算、估算技 能。在此次小学数学课程和教材改革中，虽然删去了大量的数目较大、步骤较多的计算内容，计 算要求也相应降低，但是值得注意的是，基本的计算能力仍然要求学生熟练掌握，这一点不会因 为教材中引入计算器而有所改变。学生对四则运算的意义、算理、算法的理解和掌握，仍然是小 学数学教学的重点。因此，要求学生熟练掌握口算、笔算、估算技能与学习使用计算器不是对立的，而应该和谐 统一、互为促进。在计算教学中，首先要使学生学会判断何时使用口算，何时使用笔算，何时使用估算就足够 了，何时又最好使用计算器。根据不同的情境、不同的要求，选择合适的算法，是

10、对学生计算能 力的基本要求。试想一下，学生学会计算器以后，如果面对67 这样的简单计算也用计算器 去计算，我们该如何评价其计算能力呢？但如果碰到的是像32842367.7 这样的计算，又何 必为难学生，非得要求他们用笔算呢？我们认为除了学习基本的按键方法以外，学生可以在以下 情况使用计算器：计算涉及到的数目较大，计算涉及的步数较多，验算（要求笔算验算的除外）， 利用计算器探索和验证数学规律。当然，计算器不是万能的。有时，对于一些特殊的题目，如 1998+1999+2000+2001+2002，运用巧妙的简算方法，速度更快，准确率更高。再如，有时由于 按键失误，反而引起错误，此时利用口算、估算的

11、技能，也可以帮助验证计算器计算的准确性， 如计算 325125，如果积的个位不是 5，就可以判断一定是按错键了。因此，在学习这部分内容时，要避免两种极端的做法。一是因为教材中编入了计算器的内容， 一遇计算就使用计算器，使得学生的口算、笔算能力大幅滑坡。二是怕学生养成对计算器过分依 赖的坏习惯，索性就不教学生使用计算器，这种讳疾忌医的做法也是没有必要的。关键是在教学 中根据具体情况灵活把握尺度，既要保证学生的基本计算能力得以牢固掌握，又要使学生掌握先- 3 -进的计算工具，在一个信息化的时代，这种技能的培养也是不可或缺的。四、教材第 60 页的问题解决中，运用了乘法估算，并把两种估算方法加以比较

12、。估算方法 有好坏之分吗？应怎样展开估算教学？估算能力是学生计算能力中很重要的一个方面，新课改中加大了估算内容的比重，这也是符 合各国数学课改的潮流的。估算的功能分为两方面，一是数学上的功能，例如培养数感（如判断2412=2408 计算 结果的合理性），为精确计算作准备（如要计算49212 时，往往先用 48010 或 49010 或 50010 来试商）。二是估算在生活中的应用，当无法精确计算或没有必要精确计算时，有 时用估算也能解决问题。下面谈的主要是第二种情况。在进行估算教学时，可以从以下几方面去思考，以供参考。一、估算意识与估算技能的培养同样重要，前者的重要性有时甚至超过后者。过去的教

13、学中， 教师往往把更多的注意力放在 “如何估算 ”上，例如，先用 “四舍五入法 ”求出算式中的近 似数，再对近似数进行精确计算，这样，估算就变成了一种僵化的固定的方法。对于“为什 么要估算 ”，过去关注得比较少。实际上，学生能否根据不同的情境灵活选择合适的算法，是 考查其解决问题能力的重要方面。对面对一个数据模糊不清甚至残缺的问题情境时，有的学生束 手无策，因为数据不完整，无法精确计算，但有的学生却能利用已有信息，灵活运用估算策略， 把问题解决，这就反映出两类学生不同层次的解决问题水平。二、估算策略的灵活性问题。上面已经谈到，过去教学估算，策略往往是唯一的、固定的， 但实际生活中解决一个现实问

14、题时，常常是“条条大路通罗马 ”，选择何种估算策略，并没有 一定之规。例如，要解决这样一个问题： “燕鸥每天飞 735 千米，从北极到南极行程 17000 米，20 天能飞到吗？ ”可以把 735 看成 750，也可以把 735 看成 800，都能达到解决问题的目 的。三、估算策略的有效性问题。抽象地讨论估算方法的优劣似乎意义不大，因为判断优劣的标 准本身就不好定。但对于一个具体的问题情境而言，这种讨论还是有必要的。要判断某种估算策 略是否合理，其标准就是利用该策略能否解决该问题。就拿教材第60 页例 5 来说，第一种解 法是典型的 “四舍五入 ”的估算方法，但在这儿却对解决问题无效，因为把一

15、个因数估小了， 另一个因数估大了，不能把最后的估算结果5000 作为解决问题的依据。第二种解法是把两个 因数都估大了，估算出要准备5500 元钱，一定能解决问题。四、要明确一点，估算不是万能的。有时候，某种估算策略能在某一问题情境中加以应用， 是因为无需利用精确计算就可解决该问题。但有的时候，用若干估算策略仍然不能解决问题，说 明该问题仅用估算是不够的，必须进行精确计算。例如，要解决这样一个问题：“89 个同学 去公园，门票 9 元一张，带 800 元够吗？ ”如果把 89 估成 90，909=810，如果把 9 估成 10，8910=890，如果把 89 估成 80，809=720，这三种策

16、略都不能很好地解决这个问题。在 这种时候，说明用估算不足以解决问题，要精确计算。总之，在解决某一具体问题时，可能存在多种可用的估算策略，也可能用任何一种估算策略 都不能解决问题。估算策略是否可用，完全是视问题情境（包括其中的数据）灵活而定，在某一 情境中适用的策略，在另一情境中不一定适用。五五、如如何何理理解解教教材材第第 1 11 14 4页页“做做一一做做”第第1 1题题中中的的优优化化问问题题？关于饭馆做菜问题，我们可以从两方面来谈优化的问题。一是让顾客等待的时间问题，二是饭馆的客- 4 -流问题。我们可以用一个最简单的模型来描述教材上所描述的问题。共有两个厨师，三位顾客，每位顾客点两个菜。假设做每个菜的时间是 3分钟，吃每个菜的时间是 5分钟。（当然这只是假设，实 际情形要复杂得多。）方案一：先做顾客 1的两个菜，再做顾客 2的两个菜，最后做顾客 3的两个菜。方案二：先做顾客 1和2的第一个菜，再做顾客 1的第二个菜和顾客 3的第一个菜，最后做顾客 2和3的第二个菜。那么可以算出两种方案中每位顾客的