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1、 目录目录摘要1高中数学引入向量空间的必要 .12高中数学空间向量知识点及应用 .22.1 向量的基本概念 .22.2 向量的基本方法 .3参考文献 .4致谢.5摘要：摘要：为适应新课程改革的需要，高中数学引进了空间向量。向量是新教材增加 的内容，它的引入符合社会发展的需要，也有利于其他学科的学习。向量有数 和形的双重特点，是解决力学、电磁学等物理学问题以及其它问题的工具。高 中数学中引进空间向量，用它来解决部分立体几何问题，可以大大降低难度， 激发学生的学习兴趣，有利于学生在学习中获得成功的体验。关键词：关键词：向量平行、立体几何、法向量AbstractAbstractTo meet the
2、 needs of new curriculum reform, high school mathematics introduction of vector space. Vector is the new teaching materials to increase the content of the introduction, it meets the needs of social development, but also conducive to the other subjects of study. Vector several and form the dual chara
3、cteristics, mechanics, electromagnetism and so is to solve physics problems and other tools. The high school mathematics in the introduction of the vector space, use it to solve some problems in solid geometry, can greatly reduce the difficulty, arouse the students interest in learning, help student
4、s to obtain the experience of success in learning.KeyKey words:words: vector parallel, solid geometry, normal vector一、 高中数学引入向量空间的必要。 第一，利用空间向量解决一些立体几何问题，将大大简化原本利用其他数 学工具解题的步骤和难度，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。 如新教材第九章 “空间线面关系的判定” 、 “空间角的计算”的推导能够较好 地说明这个观点。在这里新教材中采用了空间向量推导，可以看出：空间向量 解法在解题难度和解题步骤上较之非向量解题方法都有很大的简化
5、，计算量也 大大减少。而象这样的具体实例在整套新教材中不胜枚举。在教学过程教学过 程中，认真仔细地讲解好这样的每个实例，是使学生体会到向量工具的强大功 能，坚定其学习好、掌握好、运用好向量理论这一数学工具的最有说服力的证 据。而这一目标的达成也是新教学大纲的基本要求之一。 第二，空间向量的引入将使高中立体几何中“数形结合”的思想得到新的 解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。 空间向量具有很好的“数形结合”特性。一是“数”的形式，即利用一对实数 对既可表示空间向量大小，又可以表示空间向量的方向；二是“形”的形式， 即利用一条有向线段来表示一个空间向量。而且这两种形式又
6、是密切联系的， 它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。可以说向量是联系代数关系与几 何图形的最佳纽带。它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出 精确的最终结论。使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。通过空 间向量可以轻而易举地在“数”与“形”之间建立桥梁，通过空间向量将“形” 转换成“数”来研究“形” ，反之亦然。而这对于研究“形”的“解析几何”和 “立体几何”可想而知会极具现实意义和产生革命性影响。 第三，把空间向量理论引入高中立体几何教材，也是当今世界中等教育的 一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结
7、果。 追溯向量在数学上的兴起与发展，还是近几十年的事。翻阅早期一些关于 数学学史的书藉，很少有关于向量发展史的介绍。随着向量研究的深入，在许 多方面已经取得了突破，空间向量与立体几何等数学分支结合日趋完备，形成 了独立的数学理论。越来越多的数学教育者认识到空间向量使立体几何不象其 他新兴数学学科那么深奥难懂，易于处于高中文化水平之上的学生理解和接受， 且其所具有的良好的“数形结合”特点使它与高中数学知识能够融汇贯通，相 辅相承。因此，为了保持与世界数学教育发展同步，使当代中学生能够较早接 触当代数学的前沿，在高中立体几何教育中引入空间向量是非常必要和可行的。二、高中数学空间向量知识点及应用 2
8、.1 向量的基本概念1向量：既有大小又有方向的量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量一般用a b c 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ;坐标表示法,axiyjx y 奎屯王新敞新疆 向量的大小即向量的模（长度） ，记作AB头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头即向量的大小，记作a奎屯王新敞新疆 注意：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小2.零向量：长度为 0 的向量，记为0 ，其方
9、向是任意的，0 与任意向量平行头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头零向量a 0 a奎屯王新敞新疆0奎屯王新敞新疆 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条 件 （注意与 0 的区别） 3.单位向量：模为 1 个单位长度的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量0a 为单位向量0a1奎屯王新敞新疆4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量头 头头 头
10、头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头任意一组平行向量都可以移到同一直线上头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头方向相同或相反的向量，称为平行向量奎屯王新敞新疆记作a b奎屯王新敞新疆由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量奎屯王新敞新疆 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取， 现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解 好平行向量中的
11、“平行”与几何中的“平行”是不一样的 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头相等向量经过平移后总可以重合，记为ab 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头大小相等，方向相同),(),(2211yxyx 2121 yyxx头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法头 头头 头 头 头 头 头
12、头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头设,ABa BCb ，则abAB BCAC 2.1 基本方法： 2.1.1、 利用向量证明平行(1) 线线平行（面面平行）方法： 例题 1. 如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行已知：直线平面，直线平面，、为垂足OABDOB求证：/OABD证明：以点为原点，以射线为非负轴，OOAz建立空间直角坐标系，为沿轴，轴，轴的坐标向量，Oxyz, ,i j kxyz且设BD=(x,y,z)， BDBD,BDij BD( , , )(1,0,0)0ix y zx BD( , , )(0,1,0)0jx y zy BD( , , )(0,0,1)(0,0, )zx y zz ，即BDzk BD/ /k由已知、为两个不同的点，/OBOABD(2) 线面平行方法：利用共面向量定理，如果两个向量a 、b不共线，则向量c 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对, x y，使cxayb 21.2 利用向量求距离（1） 点到平面的距离方法 1：直接作出距离，然后用向量进行计算方法 2：已知 AB 为平面的一条斜线段，n为平面 的法向量，则点 A 到平面的距离AB n d n （A 为平面上一点，B 为平面外任意一点）例题 2. 如图，PABCD 是正四棱锥，是正方体，其中1111ABCDABC
