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1、测绘通报2990年第6期电磁波测距三角高程代替等级水准测量的条件李德魁【摘县】 本文通过箱度公式的边值分析,来探讨电磁波洲距三角高程代替等级水准侧t的条件.文中的主 要结果,建立了用电磁波洲距三角高程代替等级水准洲t的翻角容许条件、边坡容许 条件、折光 容许条件的计算公式:并针对侧距精度为(6m I U +S Ppm)、仪高t 侧精度为士lmm的通常情况,给出了三项容许条件的解算结果及相应图表,分析了它们的一些重要性质。近些年来,由于 电磁波测距仪的广泛 应用,用电磁波测距三角高程(简称E DM测 高)代替几何水准测量的问题,被提出来并成为国内外测绘界极为关注 的课 题。一些试 验研究”盆表明
2、,在一定条件下,用EDM测高可以代替三、四等水准测量。但是,究竟在怎样的条件下可以作这种替代,对此间题仍有争议。目前,文 献资料还缺乏深入、全面、完整的研究结果;一些试验研究在作这方面精度探讨论时,多采用分项列表计算方法,不仅十分繁琐,而 且难免片面性。本文里,我们通过精度公式的边值分析,来建立EDM测高代替等级水准测量的测角容许条件、边坡容许条件、折光容许条件的理论计算公式,并对测距精度为(sm限+5ppm)、仪 高量测精度为土lm m的通常情况,给出实例解算结果,进而分析了它们的一些 重 要性质。从而较系统地建立了用E DM测高代替等级水准测量的条件理论。、刀若,.a+ba,+b,t八一八
3、,少万了r十-一一二一一一言-一- 乙J、乙乙: 。 用误差传播定律,并忽。微小量赞的误差影响,易得E DM测高每公里高差中误差计算公式为:单向:m孟(x)=Dm二+ D一(m子h a“a+Z m:)+纂刀,lx, 。(m)对 向:f n鱿1)哥牛加抖D一L乙 (士沉:淤+优,)七. 猫1刀,沉竺。1xl。”(。,此处沉。、,、饥。、,n、及,:分别是垂直角 观测中误差、边长测定中误差、仪高与镜高量 测中误差、折光系数减其平均值之差中误差及(K一K,)之中误差,而一、总条件衰达式从E DM测高高差计算公式单向:hr= S;rsi na,+(z一K)D 二 Sc o 旧a S;,-12单向;(S
4、r+ 51),对向-厂11广、11 又一一S对向:砚,一专(”,一”,)二s,单向;a,一ar2对 向。f.J产、!.一一a铃+一吞二宁(S,s i na,一“s i n“)-依次代表测边的平距、斜距、高度角,R是地球平均曲率半径。!9 9 0年第6期测绘通报设试N)表N等几何水准每公里高差全中误差容许值(N=2,3,4时,!肠(N)依次为2,6,一omm)。记E二E(N)=拼忿(N)X10一(m)一则用E DM测高代替N等水准测量的充要条 件为单向:D,二+D一(m爹sin,a+2二若)N等水准测量的测角容许条件表达式:。:、(音一寺d:一D)一bZ馆,aM孟(a,D)(3)上式右方函数M孟
5、(a,D)可看作是几何元素a,D的二元函数,对D取偏微商有+苏一、E(加:+D一(十。,S i n。aM袭(a,D)21,。 一、污n=一于不犷-气“刀, 口口刀,对 向:令+ 刀一d:)由此易推知M孟(a,D)当D变化时的极大值为一、刀。一_+切习七嵌r优九E(“)(l)和(2)就是用E DM测高代替N等水准测量的单向总条件表达式和对 向总条件表达式。M孟(a)=ID云一b忍馆,a3D。一Zd:)(4)二、三 项容许条件及其计算公式我们从(1)、(2)两式出发,来探讨测角精度。、边长S和坡度角a、折光差精 度m。或,:应满足的条件,分别简称为测角容许条件、边坡容许条件、折光容许条件,合称为三
6、项容许条件。由于(1)式和(2)式有相 伺的数学形式,我们只须就对 向E DM测 高 情况来加以讨论;从对 向情形的研究结果中,只此处刀。是下之方程的唯一正根:eD二+D。一d:=o(5)用二元函数求极值法,不难证明(此处从略) M。(a,D)对变元(a,D)的 最大 值是M孟=3E(N)D石一4 m若D石,(6)其中D。是方程(7)的唯一正根:(斋)D+E(万”。一2”一。注意,(6)、(7)两式分别是(7)4)、(5)两式当a=0时的特例。在对向同时观测的情况下,可以认为。d。要把E换 成卫一E、把m且、换成2。墓,就 得出=0,(4)一(7)式给出单向的相应结果。为简便起见,记l=E(N
7、)一absina七ga,(a)l,。一京-一 b馆a-一工一了互些、琳J北一2、m。, 心2 魂MMm资。已二二一竺不二万石,.81 亡一d。=l(m孟+ b,馆“a)一,d:= l一(a么Si na+Zm言),其中a、b由边长测定中误差公式m一土(a+ bs)给出,d。、d:的几何意义将在后面说明。(一)测角容许条件 改写(2)式,推出对向E DM测高代替(8)(二)边坡容许条件1.边长容许条件:将(2)式按D的方次集项并加以整理,我们推出对向E DM测高代替N等水准测 量的边长容许条件表达式为。D4+ d石D,一ZD+ d:o(9)对于给定的a,上式是刀的四次不等式,其边界方程为测绘通报1
8、090年第6期eD+心ID:一ZD+d:= =o(1 。)由于eo,d。o,d:o,易见方程 (xo)或无实数解,或有二正根(相同或不 同)。若有二正根,则令其为D:(a)、D:(a),D:(a)刀:(a)。又记S,(a)=D:(a),S:(a)D:(a)CO召aC(沼a(12) D,。二d。(l一丫1二 改了刁言,),D:。 d。( l+了l二一万祖护),aZs i n毛a一2aM (D):i n.【a+(bD,+MZ(D)一a“)si nZa+2aM(D)si nlal_一M,(D)o(15)我们称(14)和(1 5)为坡度 容许条件表达式。显然,它们不过是(9)的等价表达式。对于给定的观
9、测精度,我们主 要关心的是垂直角o l的最大容许限A。为此,注意A应是方程asinlal+ bDtgla!二M(D)(16)、的最大解,由连续性,上式两边对D取偏微商A“口叮. .几. . . .弓. a 一艺日一刁(22) 不难看出D:。Dl(a)D:(a)D:。并令,即得需、s,(a)、s:(a)、盔tgA 一十M,(D )故称凡( a )和S:( a)分别为最小容 许边长和最大容许边长。我们可以通过方程(1 0)来解出最小容许边长和最大容许边长。特别是当。、=o时立即有此处刀是对应于A的平距,A和刀还应适合(10)式。故A及相应的D由联立方程式组tgA 一十M(D ) (17)S!,1。
10、扮二一需,52()1。二一磊合、D今+ d下1刀2一ZD+dl。,来确定。上方程组可 用循环趋近法解算。(三)折光容许条件改写(2)式可得对向E DM测高代替N等水准测量的折光容许条件表达式从(12)式推知d。一宁(Dl。+DZ。),“!一2欲、 绘令,8R2,_、n,_。,、”二“气一一力落一气a,口一艺口十a)(1 3) 这说明d。和d;分别是D:。、D:。的算术 中值和调和中值。2.坡度容许条件:由(2)式换形式可得asi nlal+bDtglal(ZE(N)D一2 。:一,显DZ-二M里、(a,D)(18)其右方可视为几何变量a、D的二元函数。对D取偏微商有旦 二丝、(a,D) 一百刀
11、-一一=16RID一5(d石D忍一3D+Zd,)由此易知,当D变化时M乏、(a,刀)的 极大值为 M里;(a)“sR忍ID二之(d;一D、),(19)其中 斋D4)告一M”,。(14)D;一争。汗了万手l哥)再将馆1 a I一si nl a J(l一姗,。)告代入上式,并去根号加以摹理,我们有垂直角正弦应满足的条件式利用二元函数求极值法不难证明(从略):当a二o时M“(a,D)1可取到它的最大值为29 9 0年第6期测绘通报IM。1=IM;(o)2丫Zt n盖J厄而万二万(一 对)式飞 3E(N)d:二万硬(20)此处d一”一一今E(N)m二/一一丁百而叹而二下矿、 丫人6 E(N)/三、算例
12、及 其解茸结果的分析(一)起算数据不失一般性,我们取R 一6370k m及仇。=土lmm,m。=土(smm+5x10一。xs(m),。的取值依伸缩量测杆量测仪高和镜高的情况而定,一般不会 超过土1mm。m:计算式的选定,考虑到国内大多数类型测距仪的标称精度 (参见文献3 附录十二)。杰m:的数值大小,对于对向同时观 测而言,m。士妇而 在对向非同时 观测的场合,一般情况下当视线远离地 面 时,m、土0.0 2“;但当视线靠近地面时,即使限制相对观测时间不超过半小时,。、的数值也会偏大。据国内有关试验结果,在低视线上。,可达士0.10。m、的数值大 小,一般情况下,当视线远离地 面时二。、土0.
13、0 4谧;但当 视 线靠近地面时,其数值要偏大,它的变化规律有待 于研究。鉴 于上述,本算例 给出二、o,士0.02,士 0.1,m。=土0.04,士0.2的 解 算结果,以资应用。(二)解算内容及解算方法解算内容包括:1.依据(4)、(5)两式来解算1,。I的上界 函数IM。(a ) 】;2.依据(10)、(12)式来解算 最小 容 许边长函数:(a少 和最大容许边长函数:(a);3.依据(2 0)式来解算折光 最大容 许中误差Md。和M。久ID略+认:D,+入D+入。=o的四次方程问题。显然,用公 式法写 出刀的解答式来行计算,将会十分繁杂而无多大益处。为此,我们采用牛顿逐渐趋近法来求它们
14、的近似解,使其精确到士0.lm为止。全部解算使用程序计算器即可。(三)解算结果1.M。(a ) 1的解算结果绘于图l。由于当md二在0、士 0.1间变化时 引起!M。(a) l的变化值一般不超过士0.05“,当。在。.0 4、0.2间变化时而引起!M。(a)的变化值一般不超过士。“.5,并且仅在o,必须使!二。o,必须使!二。0.1“时M。!0.0 2 2;而使 1。、1(0.022实际上是难以实现的。用对向E DM测高代替二等水准测量的必要条件是。!最短容许边长受!a、。a、。d、或。*的影响均较小。最长容许边 长受协d或切:的影响 随:(a )之增大而增加。如图4中卿。,土1“的情况,当l
15、mJ、1由o变为0.02时,s:(o)由8 连 9。变为43 05m,二者相 差4k m之多。因此,在用长边E DM测高代替等级水准测量时,折光差的影响不能忽视。表达式具有三个明显特点:其一,具有理论上的严密性和完备性;其二,表 达方 式简单明确;其三,宜于解算,使用简单的程序型计算器即可进行必要计算。这些特点有利于测绘理论研究和测绘工程设计应用。(2)本文算例指出,由于垂直折光影响响和测角精度的限制,用单向E DM测高不能代替二等水准测量。用对向EDM测高代替二等水准测 量应使lod。l0.0 5,I拼。!(0.5“ ,a l5。,且边长不能过小过大。用E DM测高( 单向妙对向)能够代替三
16、、四等水准测量,其测角精度、垂直角和边长、折光差中误 差都有一定限制。(3)本文算例 具有一般性,不仅 可供测距精度为(5+5)型的E DM测高工程设计应用,而且所绘图表所揭示 出的三项容许条件的一 些性质,值得进 一步研究和探讨。本 文经解放军测绘学院于来法 副教 授细心审 阅,作者深表感谢。参考文献四、小结(1)本文建立了用EDM测高 代替等级水准测量的条件理论,所提出的三项容许条件LI J冯浩鉴、梁卫鸣江凤金、黄仲权等,电磁波测距三角高程代替 三、四等水 准 测量,测绘通报,198 6年第三期。2澳大利亚J.M.Ru tger等,电磁 波测距 高 程导线的实际结果,测绘译丛,1332年第三期.3城飞r河量 规范CJJs一5 5.4武汉测绘学院,控
