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1、BBC 费玛最后定理(Fermats.Last.Theorem)本片从证明了费玛最后定理的安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 开始谈起，描述了 Fermats Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994 年正是我在念大学的时候，当时完 全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会 被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，引导他走向更高 深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。从费玛最后定理的历史中可以发现，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提 出有趣的命题，然后再尝试用逻辑验证。费玛最后定理：xn+yn
2、=zn 当 n2 时，不存在整数解1. 1963 年 安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 被埃里克坦普尔贝尔 Eric Temple Bell 的一本 书吸引， 最后问题 The Last Problem ，故事从这里开始。2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=另外两边的平方和 x2+y2=z2 毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的算数第 2 卷的问题 8 时，在页边写下了 註记 不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或 者，总的来说，不可能将一个高於 2
3、 次幂，写成两个同样次幂的和。 对这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。 4. 1670 年，费玛 Fermat 的儿子出版了载有 Fermat 註记的丢番图的算数5. 在 Fermat 的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 = n=8, 12, 16, 20 . 时无解 莱昂哈德欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 = n=6, 9, 12, 15 . 时无解3 是质数，现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立，但欧基里德证明存在无穷 多个质数6. 1776 年 索菲热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证明了 费玛最后定理 “大概“ 无解7. 182
4、5 年 古斯塔夫勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃勒让德 延伸热尔曼的证明，证 明了 n=5 无解8. 1839 年 加布里尔拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解9. 1847 年 拉梅 与 奥古斯汀路易斯科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费 玛最后定理最后是刘维尔宣读了 恩斯特库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因 为虚数没有唯一因子分解性质而失败。库默尔证明了，费玛最后定理的完整证明，是 当时数学方法不可能实现的。10.1908 年 保罗沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明，这表示费玛最
5、后定 理的完整证明尚未被解决。沃尔夫斯凯尔提供了 10 万马克给提供证明的人，期限是到 2007 年 9 月 13 日止11.1900 年 8 月 8 日 大卫希尔伯特，提出数学上 23 个未解决的问题且相信这是迫切需要 解决的重要问题12.1931 年 库特哥德尔 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。= 完全性是不可能达到的 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。 = 相容性永远不可能证明13.1963 年 保罗科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法（只适 用少数情形） 证明希尔
6、伯特 23 个问题中，其中一个连续统假设问题是不可判定的，这对於费玛最后 定理来说是一大打击14.1940 年 阿伦图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma 编码 的反转机 开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的 n 值一个一个加以证明。15.1988 年 内奥姆埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这 个推想，找到了一个反例 26824404+153656394+1879604=20615673416.1975 年 安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰科次，研究椭圆曲线 研究椭圆曲线的目的是要算出他们的
7、整数解，这跟费玛最后定理一样 ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2 (费玛证明宇宙中指存在一个数 26，他是夹在一个平方数与一个立方数中间)由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题，数学家採用时鐘运算方法 在五格时鐘运算中， 4+2=1 椭圆方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中， 有四个解对於椭圆曲线，可写出一个 E 序列 E1=1, E2=4, .17.1954 年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式
8、 模型式的要素可从 1 开始标号到无穷（M1, M2, M3, .）每个模型式的 M 序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 . 这样的范例1955 年 9 月 提出模型式的 M 序列 可以对应到椭圆曲线的 E 序列，两个不同领域的理论 突然被连接在一起。安德列韦依 採纳这个想法， 谷山-志村猜想18.朗兰兹提出朗兰兹纲领的计画，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一的环链19.1984 年 格哈德弗赖 Gerhard Frey 提出 (1) 假设费玛最后定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为 y2=x3+(AN- BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式 (2) 弗赖
9、椭圆方程式太古怪了，以致於无法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是错误的反过来说 (1) 如果 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都可以被模型式化 (2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式 (3) 如果不存在弗赖椭圆方程式，那么 xn+yn=zn 没有整数解 (4) 费玛最后定理是对的20.1986 年 肯贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也是正确的21.1986 年 安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔 6 个月发表
10、一篇小论文， 然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特伽罗瓦 的 群论，希望能将 E 序列以自然次序一一对应到 M 序列22.1988 年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败23.1989 年 安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项，然后也证明 了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败24.1992 年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效25.1993 年 寻求同事 尼克凯兹 Nick Katz 的协助，开始对验证证明26.1993 年 5
11、 月 L-函数和算术会议，安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜 想的证明27.1993 年 9 月 尼克凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷 安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决缺陷，他不希望在这时候公布证 明，让其他人分享完成证明的甜美果实28.安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得萨纳克的建议下，找到理查 德泰勒的协助29.1994 年 9 月 19 日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够 完全解决问题30.谷山-志村猜想被证明了，故得证费玛最后定理费马大定理300 多年以
12、前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设 n 是大于 2 的 正整数，则不定方程 xn+yn=zn没有非零整数解”。 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的 证明。300 多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它， 但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理费马大定理。费马(1601 年1665 年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋 生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近 30 才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几
13、乎同时创立 了解析几何，同时又是 17 世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许 多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个 未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的 费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进 展更快。1976 年瓦格斯塔夫证明了对小于 105 的素数费马大定理都成立。1983 年一位年轻 的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程 xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他 在 1
14、986 年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993 年英国数学家威尔斯宣布证明了费 马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没 有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使 人们看到了希望。为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮 志未酬。1995 年，美国普林斯顿大学的安德鲁怀尔斯教授经过 8 年的孤军奋战，用 130 页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。 费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理毕达哥 拉斯定理来表达的。2000 多年前诞
15、生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜 边的平方等于两直角边的平方之和。即 X2Y2=Z2。大约在公元 1637 年前后 ，当费马在 研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：xn+yn=zn,当 n 大 于 2 时，这个方程没有任何整数解。费马在算术这本书的靠近问题 8 的页边处记下这 个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白 太小，写不下。 ”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了一个 数学史上最深奥的谜。 大问题在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不解。 ET贝尔
16、(Eric Temple Bell)在他的大问题(The Last Problem)一书中写到，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗 的事。 安德鲁怀尔斯 1953 年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯 已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编 写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。 ”一 天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答,怀尔 斯被吸引住了。 这就是 ET贝尔写的大问题 。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又一个 的数学家望而生畏，在长达 300 多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯 30 多年后回忆起被 引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都
