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1、解直角三角形 第 1 页三边关系： 222cba锐角关系：090BA锐角三角函数关系：斜边的对边AAsin斜边的临边AAcos的临边的对边 AAAtan的对边的临边 AAAcot23 题：解直角三角形类一、知识点击： 1、解直角三角形的基础知识：2、解直角三角形的两种类型： 1）已知一边一角 2）已知两边 如果条件不足时，可设未知数，利用方程观点解决问题。 3、熟记特殊角的三角函数值。 二、典型例题： 一）测量宽度或高度： 例例 1：（：（2010 年内江年内江 9 分）分）为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河 段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员
2、先在河对岸岸边取一点 A，再 在河这边沿河边取两点 B、C，在 B 处测得点 A 在北偏东 30方向上，在点 C 处测得点 A 在西北方 向上，量得 BC 长为 200 米。求小河的宽度(结果保留根号).A北C北B 南西西东东 南A北C北B 南西西东东 南D解：过点 A 作 ADBC 于点 D.1 分 根据题意，ABC903060，ACD45.2 分CAD45，ACDCAD， ADCD， BDBCCD200AD.4 分 在 RtABD 中，tanABD，ADBD点拨：1、测量河宽度的一种方法。 （请设计测河宽度的另一种方法） 2、不存在直角三角形时，通过图形分割（作垂线）得直角三角形（或矩形等
3、） 。 3、在解直角三角形条件不足时，可设公共边为，利用方程思想解决问题。x解直角三角形 第 2 页ADBDtanABD(200AD)tan60(200AD) ，.7 分3ADAD200，33AD3001009 分3答：该河段的宽度为(300100)米.3巩固练习：巩固练习：(2009 年达州年达州 6 分）分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度， 他们带了以下测量工具：皮具三角尺标杆小平面镜等.首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含 30角）来测量”.于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离 AC 为 15，小明的眼睛与地面的距离为 1.6，如图 9（甲）所示. 然后，小
4、红和小强提出了自己的想法. 小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.” 小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！” 根据以上情景，解答下列问题： （1）利用图 9（甲） ，请你帮助小明求出旗杆 AB 的高度（结果保留整数.参考数据：5 . 030sin，87. 030cos，58. 030tan，73. 130cot） ；（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中方案在图 9（乙）中画出测量 示意图，并简述测量步骤.解直角三角形 第 3 页450 600ABOC水水平平地地面面图图7P二） 、梯形坡度计算： 例例 2、 （2010 四川四川泸州泸州）如图 5，某防洪
5、指挥部发现长江边一处长 500 米，高 10 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡 EF 的坡比 i=1：.3（1）求加固后坝底增加的宽度 AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【答案】 （1）分别过点 E、D 作 EGAB、DHAB 交 AB 于 G、H.ABCD 是梯形，且 ABCD，DHEG，故四边形 EGHD 是矩形，/ /ED=GH，在 RtADH 中，AH=DHtanADH=10tan45=10，在 RtFGE 中，
6、i=1：=,FG=EG=10.3EG FG33AF=FG+GH-AH=10+3-10=10-7.33（2）设防洪堤长为 l，加宽部分主体的体积V=S梯形 AFEDl=(3+10-7)10500=25000-100001233答：加固后坝底增加的宽度为（10-7）米，需土石（25000-10000）立方米.33巩固练习：如图 7，某人在一栋高层建筑顶部 C 处测得山坡坡脚 A 处的俯角为 60，又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界 P 处的俯角为 45，已知 OA=50 米，山坡坡度为（即21tanPAB=，其中 PBAB ） ，且 O、A、B 在同一条直21线上. (1)求此高层建筑的高度 OC
7、；(2)求坡脚 A 处到小树树干与坡面交界 P 处的坡面距离 AP的长度. (人的高度及测量仪器高度忽略不计，结果保留根号形式.)点拨：1、坡度Aitan水平距离铅直高度解直角三角形 第 4 页三）与其它知识结合题型：例例 3 3、 （20102010 江苏无锡）江苏无锡）在东西方向的海岸线 上有一长为 1km 的码头MN（如图） ，在码头西端Ml 的正西 19.5km 处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西 30，且 与A相距 40km 的B处；经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于A的北偏东 60，且与A相距km 的C处8 3（1）求该轮船航行的速度（保留精确结
8、果） ； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船 能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由解：（1）由题意，得BAC=90， 2240(8 3)167BC 轮船航行的速度为km/时 4167127 3(2)能（4 分） 作BDl于D，CEl于E，设直线BC交l于F，则BD=ABcosBAD=20，CE=ACsinCAE=，AE=ACcosCAE=1243BDl，CEl，BDF=CEF=90又BFD=CFE，BDFCEF，EF=8 ,DFBDEFCE3220343EFEFAF=AE+EF=20 AMAFAN，轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸巩固练习：巩固练习：如图所示，点 D
9、 是的边 AC 上一点，CD=2AD，交 BC 于 E，若ABCBCAE BD=8，求 AE 的长。43sinCBDNM东东BCAlF EDlACB东东MN点拨：1、注意理解方位角的意义，并在图形中找准方位角。2、解直角三角形是求线段长度的一种重要方法，在解题中要注意和相似求线段 长度这种方法相结合使用。解直角三角形 第 5 页第 23 题、解直角三角形* *配套练习1、 （眉山 06 年 7 分）为了搞好防洪工程建设，需要测量岷江河某段的宽度，如图 1，一测量员在 河岸边的 A 处测得对岸岸边的一个标记 B 在它的正北方向，测量员从 A 点开始沿岸边向正东方 向行进了 150 米到达点 C
10、处，这时测得标记 B 在北偏西 30的方向。（1）求河的宽度？（保留根号） （2）除上述测量方案外，请你在图 2 中再设计一种测量河的宽度的方案。2、 （2010 年达州 6 分）已知：如图 10，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5 m，某一时刻，AB 在阳光下的投影 BC=4 m.（1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影，并简述画图步骤；（2）在测量 AB 的投影长时，同时测出 DE 在阳光下的投影长为 6 m，请你计算 DE的长.图 10解直角三角形 第 6 页3、 （2009 年成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，
11、他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点 C 测得教学楼 AB 的顶点A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A 的仰角为 45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)ABCD4、 （2009 资阳 8 分）某市在举行“5.12 汶川大地震”周年纪念活动时，根据地形搭建了一个台面 为梯形(如图 6 所示)的舞台，且台面铺设每平方米售价为 a 元的木板已知 AB=12 米，AD=16 米，B=60，C=45，计算购买铺设台面的木板所用资金是多少元(不计铺设损耗，结果不取近 似值)图 6解直角三角形 第 7 页5、 （2009 年泸州
12、）在某段限速公路 BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过 60 千米时 (即米秒)，并在离该公路 100 米处设置了一个监测点 A在如图3508 所示的直角坐标系中，点 A 位于轴上，测速路段 BC 在轴上，点 B 在 A 的北偏西 60方yx向上，点 C 在 A 的北偏东 45方向上，另外一条高等级公路在轴上，AO 为其中的一段y(1)求点 B 和点 C 的坐标；(2)一辆汽车从点 B 匀速行驶到点 C 所用的时间是 15 秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：)7 . 13 (3)若一辆大货车在限速路上由 C 处向西行驶，一辆小汽车在高等
13、级公路上由 A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的 2 倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?6、 （2009 年凉山）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路，已知点周MNC围 200 米范围内为原始森林保护区，在上的点处测得在的北偏东 45方向上，从 AMNACA向东走 600 米到达处，测得在点的北偏西 60方向上BCB（1）是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：）MN31.732（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划完成这项工程需要多少天？CBNMA（第 21 题）解直角三角形 第 8 页7、 （2009 年乐山）如图（14） ，某学习小组为了测量河对岸塔AB的高度，在塔底部点B的正对岸点C处，测得塔顶点A的仰角为60ACB（1）若河宽BC是 36 米，求塔AB的高度；（结果精确到 0.1 米）（2）若河宽BC的长度不易测量，如何测量塔AB的高度呢？小强思考了一种方法：从点C出发，沿河岸前行a米至点D处，若在点D处测出BDC的度数，这样就可以求出塔AB的高度了小强的方法可行吗？若行，请用a和表示塔AB的高度，若不能，请说明理由A cB cC ca cD c c 图 （14）
