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1、解直角三角形 第 1 页三边关系: 222cba锐角关系:090BA锐角三角函数关系:斜边的对边AAsin斜边的临边AAcos的临边的对边 AAAtan的对边的临边 AAAcot23 题:解直角三角形类一、知识点击: 1、解直角三角形的基础知识:2、解直角三角形的两种类型: 1)已知一边一角 2)已知两边 如果条件不足时,可设未知数,利用方程观点解决问题。 3、熟记特殊角的三角函数值。 二、典型例题: 一)测量宽度或高度: 例例 1:(:(2010 年内江年内江 9 分)分)为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市,内江市正在对城区沱江河 段进行区域性景观打造,某施工单位为测得某河段的宽度,测量员
2、先在河对岸岸边取一点 A,再 在河这边沿河边取两点 B、C,在 B 处测得点 A 在北偏东 30方向上,在点 C 处测得点 A 在西北方 向上,量得 BC 长为 200 米。求小河的宽度(结果保留根号).A北C北B 南西西东东 南A北C北B 南西西东东 南D解:过点 A 作 ADBC 于点 D.1 分 根据题意,ABC903060,ACD45.2 分CAD45,ACDCAD, ADCD, BDBCCD200AD.4 分 在 RtABD 中,tanABD,ADBD点拨:1、测量河宽度的一种方法。 (请设计测河宽度的另一种方法) 2、不存在直角三角形时,通过图形分割(作垂线)得直角三角形(或矩形等
3、) 。 3、在解直角三角形条件不足时,可设公共边为,利用方程思想解决问题。x解直角三角形 第 2 页ADBDtanABD(200AD)tan60(200AD) ,.7 分3ADAD200,33AD3001009 分3答:该河段的宽度为(300100)米.3巩固练习:巩固练习:(2009 年达州年达州 6 分)分)阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度, 他们带了以下测量工具:皮具三角尺标杆小平面镜等.首先,小明说:“我们用皮尺和三角尺(含 30角)来测量”.于是大家一起动手,测得小明与旗杆的距离 AC 为 15,小明的眼睛与地面的距离为 1.6,如图 9(甲)所示. 然后,小
4、红和小强提出了自己的想法. 小红说:“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.” 小强说:“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度!” 根据以上情景,解答下列问题: (1)利用图 9(甲) ,请你帮助小明求出旗杆 AB 的高度(结果保留整数.参考数据:5 . 030sin,87. 030cos,58. 030tan,73. 130cot) ;(2)你认为小红和小强提出的方案可行吗?如果可行,请选择一中方案在图 9(乙)中画出测量 示意图,并简述测量步骤.解直角三角形 第 3 页450 600ABOC水水平平地地面面图图7P二) 、梯形坡度计算: 例例 2、 (2010 四川四川泸州泸州)如图 5,某防洪
5、指挥部发现长江边一处长 500 米,高 10 米,背水坡的坡角为 45的防洪大堤(横断面为梯形 ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽 3 米,加固后背水坡 EF 的坡比 i=1:.3(1)求加固后坝底增加的宽度 AF; (2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)【答案】 (1)分别过点 E、D 作 EGAB、DHAB 交 AB 于 G、H.ABCD 是梯形,且 ABCD,DHEG,故四边形 EGHD 是矩形,/ /ED=GH,在 RtADH 中,AH=DHtanADH=10tan45=10,在 RtFGE 中,
6、i=1:=,FG=EG=10.3EG FG33AF=FG+GH-AH=10+3-10=10-7.33(2)设防洪堤长为 l,加宽部分主体的体积V=S梯形 AFEDl=(3+10-7)10500=25000-100001233答:加固后坝底增加的宽度为(10-7)米,需土石(25000-10000)立方米.33巩固练习:如图 7,某人在一栋高层建筑顶部 C 处测得山坡坡脚 A 处的俯角为 60,又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界 P 处的俯角为 45,已知 OA=50 米,山坡坡度为(即21tanPAB=,其中 PBAB ) ,且 O、A、B 在同一条直21线上. (1)求此高层建筑的高度 OC
7、;(2)求坡脚 A 处到小树树干与坡面交界 P 处的坡面距离 AP的长度. (人的高度及测量仪器高度忽略不计,结果保留根号形式.)点拨:1、坡度Aitan水平距离铅直高度解直角三角形 第 4 页三)与其它知识结合题型:例例 3 3、 (20102010 江苏无锡)江苏无锡)在东西方向的海岸线 上有一长为 1km 的码头MN(如图) ,在码头西端Ml 的正西 19.5km 处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西 30,且 与A相距 40km 的B处;经过 1 小时 20 分钟,又测得该轮船位于A的北偏东 60,且与A相距km 的C处8 3(1)求该轮船航行的速度(保留精确结
8、果) ; (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船 能否正好行至码头 MN 靠岸?请说明理由解:(1)由题意,得BAC=90, 2240(8 3)167BC 轮船航行的速度为km/时 4167127 3(2)能(4 分) 作BDl于D,CEl于E,设直线BC交l于F,则BD=ABcosBAD=20,CE=ACsinCAE=,AE=ACcosCAE=1243BDl,CEl,BDF=CEF=90又BFD=CFE,BDFCEF,EF=8 ,DFBDEFCE3220343EFEFAF=AE+EF=20 AMAFAN,轮船不改变航向继续航行,正好能行至码头MN靠岸巩固练习:巩固练习:如图所示,点 D
9、 是的边 AC 上一点,CD=2AD,交 BC 于 E,若ABCBCAE BD=8,求 AE 的长。43sinCBDNM东东BCAlF EDlACB东东MN点拨:1、注意理解方位角的意义,并在图形中找准方位角。2、解直角三角形是求线段长度的一种重要方法,在解题中要注意和相似求线段 长度这种方法相结合使用。解直角三角形 第 5 页第 23 题、解直角三角形* *配套练习1、 (眉山 06 年 7 分)为了搞好防洪工程建设,需要测量岷江河某段的宽度,如图 1,一测量员在 河岸边的 A 处测得对岸岸边的一个标记 B 在它的正北方向,测量员从 A 点开始沿岸边向正东方 向行进了 150 米到达点 C
10、处,这时测得标记 B 在北偏西 30的方向。(1)求河的宽度?(保留根号) (2)除上述测量方案外,请你在图 2 中再设计一种测量河的宽度的方案。2、 (2010 年达州 6 分)已知:如图 10,AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱,AB=5 m,某一时刻,AB 在阳光下的投影 BC=4 m.(1)请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影,并简述画图步骤;(2)在测量 AB 的投影长时,同时测出 DE 在阳光下的投影长为 6 m,请你计算 DE的长.图 10解直角三角形 第 6 页3、 (2009 年成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,
11、他们要测量学校一幢教学楼的高度如图,他们先在点 C 测得教学楼 AB 的顶点A 的仰角为 30,然后向教学楼前进 60 米到达点 D,又测得点 A 的仰角为 45。请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)ABCD4、 (2009 资阳 8 分)某市在举行“5.12 汶川大地震”周年纪念活动时,根据地形搭建了一个台面 为梯形(如图 6 所示)的舞台,且台面铺设每平方米售价为 a 元的木板已知 AB=12 米,AD=16 米,B=60,C=45,计算购买铺设台面的木板所用资金是多少元(不计铺设损耗,结果不取近 似值)图 6解直角三角形 第 7 页5、 (2009 年泸州
12、)在某段限速公路 BC 上(公路视为直线),交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过 60 千米时 (即米秒),并在离该公路 100 米处设置了一个监测点 A在如图3508 所示的直角坐标系中,点 A 位于轴上,测速路段 BC 在轴上,点 B 在 A 的北偏西 60方yx向上,点 C 在 A 的北偏东 45方向上,另外一条高等级公路在轴上,AO 为其中的一段y(1)求点 B 和点 C 的坐标;(2)一辆汽车从点 B 匀速行驶到点 C 所用的时间是 15 秒,通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据:)7 . 13 (3)若一辆大货车在限速路上由 C 处向西行驶,一辆小汽车在高等
13、级公路上由 A 处向北行驶,设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的 2 倍,求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?6、 (2009 年凉山)如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路,已知点周MNC围 200 米范围内为原始森林保护区,在上的点处测得在的北偏东 45方向上,从 AMNACA向东走 600 米到达处,测得在点的北偏西 60方向上BCB(1)是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据:)MN31.732(2)若修路工程顺利进行,要使修路工程比原计划提前 5 天完成,需将原定的工作效率提高 25%,则原计划完成这项工程需要多少天?CBNMA(第 21 题)解直角三角形 第 8 页7、 (2009 年乐山)如图(14) ,某学习小组为了测量河对岸塔AB的高度,在塔底部点B的正对岸点C处,测得塔顶点A的仰角为60ACB(1)若河宽BC是 36 米,求塔AB的高度;(结果精确到 0.1 米)(2)若河宽BC的长度不易测量,如何测量塔AB的高度呢?小强思考了一种方法:从点C出发,沿河岸前行a米至点D处,若在点D处测出BDC的度数,这样就可以求出塔AB的高度了小强的方法可行吗?若行,请用a和表示塔AB的高度,若不能,请说明理由A cB cC ca cD c c 图 (14)