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1、1综合题讲解综合题讲解61.【2012 吉林】如图，在轴上有两点,（x( ,0)A m( ,0)B n）.分别过点，点作轴的垂线，交抛0nmABx物线于点、点.直线交直线于点2yxCDOCBD，直线交直线于点,点、点的纵坐EODACFEF标分别记为、.EyFy特例探究填空：当,时，=_,=_.当1m 2n .EyFy,时，=_,=_.3m 5n .EyFy归纳证明对任意,（）,猜想与的大mn0nm.EyFy小关系，并证明你的猜想拓展应用.（1）若将“抛物线”改为“抛物线2yx”,其它条件不变，请直接2(0)yaxa写出与的大小关系.EyFy（2）连接，当EFAE时，直接写出和.3OFEOFEB
2、SS四边形m的关系及四边形的形状nOFEA答案 特例探究；.归纳证明 猜想2,215,15.证明（略）拓展应用(1).(2)四边EFyyEFyy形是平行四边形OFEA考点 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行四边形的判定.解析 特例探究当,时，所以1m 2n (1,1)C(2,4)D直线的解析式为：；直线的解析式为：OCyxOD；此时2yx解，得.解，2x yx (2,2)2EEy1 2x yx 得.(1,2)2FFy所以，此时1 22EFyy 当,时，所3m 5n (3,9)C(5,25)D以直线的解析式为：；直线的解析式OC3yxOD为：；此时5yx解，得.解
3、，5 3x yx (5,15)15EEy3 5x yx 得.(3,15)15FFy所以，此时3 515EFyy 归纳证明 猜想：对任意,（）,都有：mn0nm.EFyy证明：对任意,（）时，mn0nm，所以直线的解析式为：2( ,)C m m2( ,)D n nOC；直线的解析式为：；此时ymxODynx解，得.解xnymx ( ,)EE n mnymn，得.xm ynx ( ,)FF n mnymn所以，此时.EFyymn拓展应用(1)若将“抛物线”改为“抛物线2yx”,其它条件不变，仍然有：2(0)yaxa.EFyy此时，2( ,)C m am，所以直线的解2( ,)D n anOC析式为
4、：；直线的yamxOD解析式为：；此时yanx解，得xnyamx 2.解，得( ,)EE n amnyamnxm yanx .( ,)FF n amnyamn62.【2012 济南】如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（-3，0），B（-1，0），与 y 轴相交于点C，O1 为ABC 的外接圆，交抛物线于另一点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求 cosCAB 的值和O1 的半径；（3）如图 2，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M为弦 BD 中点，若点 N 在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标【考点】二次函数综合题【专题】
5、【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图 1 所示，由AOC 为等腰直角三角形，确定CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C 为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图 2 所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点 D 坐标，进而求出点 M 的坐标和线段 BM 的长度；点 B、P、C 的坐标已知，求出线段 BP、BC、PC 的长度；然后利用BMNBPC 相似三角形比例线段关系，求出线段 BN 和 MN 的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点 N 的坐标【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（-3，0）
6、，B（-1，0），9330 30ab ab 解得 a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令 x=0，得 y=3，C（0，3），OC=OA=3，则AOC 为等腰直角三角形，CAB=45，cosCAB=2 2在 RtBOC 中，由勾股定理得：BC=221310如答图 1 所示，连接 O1B、O1B，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90，BO1C 为等腰直角三角形，O1的半径 O1B=BC=2 25（3）抛物线 y=x2+4x+3=（x+2）2-1，顶点 P 坐标为（-2，-1），对称轴为 x= -2又A（-3，0），B（-1，
7、0），可知点 A、B 关于对称轴 x=2 对称如答图 2 所示，由圆及抛物线的对称性可知：点 D、点C（0，3）关于对称轴对称，D（-4，3）3又点 M 为 BD 中点，B（-1，0），M（，），5 23 2BM=；22533( 1)( )2222 在BPC 中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=2102 5BMNBPC， BMBNMN BPBCPC即，3 2 22102 5BNMN解得：，MN3102BN3 5设 N（x，y），由两点间的距离公式可得：，2222223(1)(10)2 53()()(3 5)22xyxy 解之得，117
8、 2 3 2xy 221 2 9 2xy 点 N 的坐标为（，）或（，）7 23 21 29 2【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点 N 有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点 N 的坐标63.【2012 达州】如图 1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D的坐标为（ ），点E的坐标为（ ）.（2）若抛物
9、线经过2yaxbxc(a0)A、D、E三点，求该抛物线的解析式.（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速5度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围.运动停止时，求抛物线的顶点坐标.【答案】解：（1）D（1，3），E（3，2）。（2）抛物线经过（0，2）、（1，3）、（3，2），则，解得 。c2 abc3 9a3bc2 1a2 1b3 c2 抛物线的解析式为213yxx222 （3）求出端点的时间：当点D运动到y轴上时，如图1，DD
10、1=DC=BC =，t=。当点B运动到y轴上1 21 25 21 2时，如图 2，BB1=BC=，t=。当点E运动到y55154轴上时，如图2，EE1=EDDE1=，t=。535+5223 2当 0t时，如图 4，正方形落在y轴右侧部分的1 2面积为CCF的面积，设DC交y轴于点F。tanBCO=2，BCO=FCC，OB OCtanFCC=2, 即=2。FC CC CC=t，FC=2t。55SCCF=CCFC=tt=5 t2。1 21522 5当t1 时，如图 5，正方形落在y轴右侧部分的面1 2积为直角梯形CCDG的面积，设DE交y轴于点G，过G作GHBC于H。GH=BC=，CH=GH=。5
11、1 25 2CC=t，HC= GD=t。555 2CC D G155S5t+ 5t5=5t224 五五当 1t时，如图 6，正方形落在y轴右侧部分的面3 2积为五边形BCDMN的面积，设DE、EB分别交y轴于点M、N。CC=t，BC=,55CB=t。BN=2CB=t。552 52 5BE=，EN=BEBN=t53 52 5。EM=EN= (t)。1 21 23 52 5 2 MNE1145S3 52 5t3 52 5t =5t15t+224 222 MNEB C D EB C D MN4525SSS=55t15t+= 5t +15t 44 五五五五五 边。综上所述，S与x的函数关系式为：。22
12、15t0t25 1s= 5tt14 22535t +15t1t420且二次函数图象与直线 y=x+3 仅有一个交点时，二次函数的最大值为 4【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为 x=2，利用对称轴公式，化简即得 n+4m=0。n22m（2）利用三角函数定义和抛物线与 x 轴交点坐标性质求解特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n 的值将有两组。（3）利用一元二次方程的判别式等于 0 求解当 p0 时，m、n 的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于 0，据此求出 p 的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由
13、抛物线的解析式确定其最大值。 70.【2012 盐城】28 （2012 江苏盐城 12 分）在平面直角坐标系中，xOy已知二次函数的图象经过点21 4yxmxn和点，直线经过抛物线的顶点且与(2,0)A3(1,)4B轴垂直，垂足为.yQ(1) 求该二次函数的表达式；(2) 设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动，PB其纵坐标随时间)的变化规律为.1y( t t01324yt 现以线段为直径作.OPCe当点在起始位置点处时，试判断直线与的PBCe位置关系，并说明理由；在点运动的过程中，直线与P是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由；Ce若在点开始运动的同时，直线也向上平行移动，且P垂足
14、的纵坐标随时间的变化规律为，Q2y21 3yt 则当在什么范围内变化时，直线与相交? 此时，若直Ce线被所截得的弦长为,试求的最大值.Cea2a直线与相切。在点运动的过程中，直线与CeP始终保持相切的位置关系。理由如下：设点Ce，则圆心的坐标为，03(,2 )4P xt03(,)28xCt圆心 C 到直线的距离为。35()( 1)88dtt 又，。2 0312144tx2 081xt则的半径为Ce222203813955()|() 28446488xtrtttttd 直线与始终相切。Ce由知的半径为，Ce5 8rt 又圆心的纵坐标为，C3 8t直线上的点的纵坐标为，1 3t ()当,即时，圆心到直3 8t1 3t 5 16C线的距离为。35()( 1 3 )288dttt 则由，得，解得, dr55288tt 0t 此时。0t5 16()当,即时, 圆心到直线3 8t1 3t 5 16C12的距离为。35( 1 3 )()288dttt 则由,得，解得。dr55288tt 5 4t 此时。5 165 4t 综上所述，当时,直线与相交。504t Ce当时，圆心到直线的距离为504t
