《数学分析(西北师范大学)3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析(西北师范大学)3（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 S F 01（数）（数）Ch 3 函数极限函数极限计划课时：计划课时： 1 4 时时P 21302001090221Ch 3 函数极限函数极限 1 函数极限概念函数极限概念 （ 4 时时 ）一一时函数的极限：时函数的极限：x以时和为例引入.xxxf1)(arctgxxg)(介绍符号: 的意义, 的直观意义.xxx , ,Axf)(lim定义定义 ( 和 . )AxfAxf xx )(lim ,)(limAxf x )(lim几何意义几何意义 介绍邻域 , )( , )(MxxMxxUU其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意. )(MxxUM义例例 1 验证. 01lim xx例例 2
2、 验证.2lim arctgx x例例 3 验证. 222lim22 xxxx证 .4222 4 242222423222xxxxxxx xxxxx 二二 时函数时函数的极限：的极限：0xx )(xf由 考虑时的极限引入. . 2, 0, 2 , 12)(xxxxf2x定义定义 函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路.例例 4 验证 .lim0CC xx 例例 5 验证 .lim0 0xx xx 22例例 6 验证 .512 372933lim2233xxxxxx证 由 =, 3x 512 )3( ) 12()3( )3(512 3729332223 xxxx xxxx
3、x.12395125395512 1232 xxxxxxxx为使 需有 ,11635615595xxx; 13 x为使 需有 , 1325562 12xxx. 23 x于是, 倘限制 , 就有130 x512 372933223 xxxxx 12395xxxLL .3111311xx例例 7 验证 ). 1 ( ,11lim02 020 xxx xx例例 8 验证 ( 类似有 .sinsinlim0 0xx xx ) .coscoslim0 0xx xx 三三. 单侧极限单侧极限:1 定义：定义： 单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域 ,0 ),(axxaU),(aU然后介绍). ,
4、(),( ), , (),( , , (00 aaaaaaaaUU等的几何意义.)(lim0xf xx例例 9 验证 . 01lim21 x x证 考虑使 的2221 xLL .2.单侧极限与双侧极限的关系单侧极限与双侧极限的关系:Th .)0()0( ,)(lim00 0AxfxfAxf xx 23类似有: .)()( ,)(AffAf例例 10 证明: 极限 不存在.12lim21xxxx例例 11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有)(xf0x)(lim0xf xx=)(lim0xf xx).(0xfEx 1P62 25，7.2 函数极限的性质函数极限的性质我们引进了六种极限:
5、, ),(lim ),(lim ),(limxfxfxfxxx)(lim0xf xx.以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.)0( ),0(00xfxf)(lim0xf xx一一. 函数极限的性质函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性唯一性: 2.局部有界性局部有界性:3.局部保号性局部保号性:4.单调性单调性( 不等式性质不等式性质 ):Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使)(lim0xf xx)(lim0xg xx0x),(00 xU都有),(00 xxU ),()(xgxf)(lim0xf xx).(lim0xg xx证证 设= ( 现证对 有)(lim
6、0xf xx.)(lim ,0BxgA xx , 0.2 Ba.2 ,)()( ),( , 0 , 000 BABxgxfAxxU註註: 若在 Th 4 的条件中, 改“”为“”, 未必就有)()(xgxf)()(xgxf24以 举例说明.BA 0 , 1)( ,1)(02xxgxxf5.迫敛性迫敛性( 双逼原理双逼原理 ): 6.四则运算性质四则运算性质: ( 只证“+”和“”)Ex 1P6667 2，4，5.二二 利用极限性质求极限：利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：;coscoslim ,sinsinlim ,lim ,lim000 0000xxxxxxCC xxxxxxxx
7、（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）.2lim , 01lim arctgxxxx这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅4P3738. 我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例例 1 ( 利用极限和 ).1(lim4xtgxx22 4sinsinlim4xx.22coslim4xx例例 2 ) 1 ( . 13 11lim31 xxx例例 3 .523735lim233xxxxx註註: 关于的有理分式当时的极限. 参阅4P37.xx例例 4
8、利用公式 .11lim1071xxx).1)(1(121aaaaannnL25例例 5 .2122lim221xxxxx例例 6 .53132lim22xxxx例例 7 .23)102sin(lim254xxxxx例例 8 4P58 E30.11lim31xxx例例 9 .1111lim30xxx例例 10 已知 求 和 参阅4P69.316lim23BxAxxA.BEx 1P6667 3，6；4P8283 113，115，116，118.补充题补充题: 已知 求和 (). 74lim222BxBAxxxA.B.320,316BA 3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的
9、两个充要条件. 仍以极限为例.)(lim0xf xx一一. .Heine 归并原则归并原则 函数极限与数列极限的关系：函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义. 则极限存在,f0x)(00 xU)(lim0xf xx对任何且都存在且相等. ( 证 )(00 xxnU)(lim ,0nnnxfxx Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系, 是证明极限不存在的26有力工具. 对单侧极限, 还可加强为单调趋于. 参阅1P70.nx0x例例 1 证明函数极限的双逼原理.例例 2 证明. 01sinlim 0 xx例例 3 证明不存在.xx1sinlim 0二二
10、. .Cauchy 准则准则:Th 2 ( Cauchy 准则 ) 设函数在点的某空心邻域内有定义. 则)(xf0x),(00 xU存在,)(lim0xf xx xx , ),(0 , 0 ),(00 xU.)()( xfxf证证 )( 利用 Heine 归并原则 )Cauchy 准则的否定: 不存在的充要条件.)(lim0xf xx例例 4 用 Cauchy 准则证明极限不存在.xx1sinlim 0证证 取 .21,1 nxnx例例 5 设在 上函数. 则极限 存在, 在) , a)(xf)(limxf x)( xf上有界. ( 简证, 留为作业 ).) , aEx 1P72 1，2，3，
11、4，6.提示提示: 第 1 题用反证法, 第 4 题用 Heine 归并原则. 4 两个重要极限两个重要极限一一 （证） （同理有 ）. 1sinlim 0 xxx, 1sinlim 0 xxx. 11sinlim nn n例例 1 .sinlimxxx27例例 2 .20cos1limxxx例例 3 .3sin5sinlim 0xxx例例 4 .arcsinlim 0xxx例例 5 证明极限 不存在.xxxsin lim 0二二. .11limexxx .) 1 (lim10exxx 证 对 有 , 1nxn,1111111nxnLL ,11111111 nxnnxn例例 6 特别当 等.,
12、1limxxxk 21, 1kk例例 7 .) 21 (lim10xxx 例例 8 .) sin31 (limcsc0xxx 例例 9 .1232lim35 xxxx Ex 1P7677 1，2，4. 注意: 第 4 题直接用双逼原理计算. 5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 阶的比较阶的比较一一. . 无穷小量无穷小量: 定义. 记法.例例 1 判断: 可怜虫是很小很可怜的虫; ( )28 无穷小量是很小很小的量. ( )无穷小的性质无穷小的性质: 性质性质 1 ( 无穷小的和差 )性质性质 2 ( 无穷小与有界量的积 )例例 2 ).53sin(1lim232 nnnnn无穷小与极限的关系无穷小与极限的关系:Th 1 ( 证 ) AxfAxf xx)( ,)(lim0. , ) 1 (0xx o二二. 无穷小的阶无穷小的阶: 设时 参阅4P42.0xx ). 1 ()( ), 1 ()(ooxgxf1高阶（或低阶）无穷小：高阶（或低阶）无穷小：2同阶无穷小：同阶无穷小：二二等价无穷小：等价无穷小：Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则等价无穷小替换法则 ) 参阅参阅4P59.几组常用等价无穷小几组常用等价无穷小: 设设 以以
