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1、实验二 MATLAB 矩阵分析与处理（2 学时）一、实验目的1、掌握生成特殊矩阵的方法。2、掌握矩阵分析的方法。3、用矩阵求逆法解线性方程组。二、实验内容1、设有分块矩阵，其中 E、R、O、S 分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对 22322333 SOREA角阵，试通过数值计算验证。 22 SORSREA E=eye(3); R=rand(3,2); O=zeros(2,3); S=diag(1:2); A=E,R;O,SA =1.0000 0 0 0.4565 0.44470 1.0000 0 0.0185 0.61540 0 1.0000 0.8214 0.79190 0 0 1.000
2、0 00 0 0 0 2.0000 H=R+R*S; D=S2; A2ans =1.0000 0 0 0.9129 1.33410 1.0000 0 0.0370 1.84630 0 1.0000 1.6428 2.37580 0 0 1.0000 00 0 0 0 4.0000 E,H;O,Dans =1.0000 0 0 0.9129 1.33410 1.0000 0 0.0370 1.84630 0 1.0000 1.6428 2.37580 0 0 1.0000 00 0 0 0 4.0000由上述 ans=A2 验证了。 22 SORSREA2、产生 5 阶希尔伯特矩阵 H 和 5
3、阶帕斯卡矩阵 P，且求其行列式的值 Hh 和 Hp 以及它们的条件数Th 和 Tp，判断哪个矩阵性能更好。为什么？ H=hilb(5)H =1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.20000.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.16670.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.14290.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.12500.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 P=pascal(5)P =1 1 1 1 11 2 3 4 51 3 6 10 151 4 10 20 351 5
4、15 35 70 Hh=det(H)Hh =3.7493e-012 Hp=det(P)Hp =1 Th=cond(H)Th =4.7661e+005 Tp=cond(P)Tp =8.5175e+003答：5 阶帕斯卡矩阵 P 的性能好。矩阵的性能是由条件数决定的，条件数越接近于 1 其性能就越好。由上机操作求得 Th=4.7661e+005，Tp=8.5175e+003。Tp 的值更接近于 1 则其性能要好。所以 5 阶帕斯卡矩阵 P 的性能好。3、建立一个 55 矩阵，求它的行列式值、迹、秩和范数。 A=1:5;6:10;11:15;16:20;21:25A =1 2 3 4 56 7 8
5、9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 25 B=det(A)B =0 C=trace(A)C =65 D=rank(A)D =2 E=norm(A)E =74.25414、已知 5881252018629 A求 A 的特征值及特征向量，并分析其数学意义。 A=-29,6,18;20,5,12;-8,8,5 A =-29 6 1820 5 12-8 8 5 V,D=eig(A) V =0.7130 0.2803 0.2733-0.6084 -0.7867 0.87250.3487 0.5501 0.4050 D =-25.3169 0 00 -1
6、0.5182 00 0 16.8351在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的线性变换，它的特征向量特征向量（本征向量本征向量或 称正规正交向量正规正交向量）是这样一个非零的向量 v：当 v 经过这个线性变换的作用之后，得到的新向 量（长度也许改变）仍然与原来的 v 保持在同一条线上。一个特征向量的长度在该线性变换 下缩放的比例称为其特征值特征值（本征值） 。如果特征值为正，则表示 v 在经过线性变换的作用后 方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为 0，则是表示缩回零点。但无 论怎样，仍在同一条直线上。 5、下面是一个线性方程组： 52. 067. 095. 06/15/1
7、4/15/14/13/14/13/12/1321xxx（1）求方程的解。 （2）将方程右边向量元素 b3改为 0.53，再求解，并比较 b3的变化和解的相对变化。 （3）计算系数矩阵 A 的条件数并分析结论。 format rat A=1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6 A =1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1/4 1/5 1/6 format b=0.95;0.67;0.52 b =0.95000.67000.5200 X=Ab X =1.20000.60000.6000 b2=0.95;0.67;0.53 b2 =0.95000.6700
8、0.5300 X2=Ab2 X2 =3.0000-6.60006.6000 D=cond(A) D =1.3533e+003 矩阵的条件数决定矩阵的性能，条件数越接近于 1 其性能越好，通过上机操作，求出系数矩阵的 条件数为 1.3533e+003，和 1 相差很大，则其性能不好。 6、建立 A 矩阵，试比较 sqrtm(A)和 sqrt(A)，分析它们的区别。 A=1,2,3,4,;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16 A =1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16 B=sqrtm(A) B =0.3989 + 0.9420i 0.451
9、7 + 0.4830i 0.5045 + 0.0240i 0.5573 - 0.4349i0.9216 + 0.3669i 1.0436 + 0.1881i 1.1656 + 0.0094i 1.2876 - 0.1694i1.4443 - 0.2081i 1.6355 - 0.1067i 1.8267 - 0.0053i 2.0179 + 0.0961i1.9669 - 0.7831i 2.2274 - 0.4016i 2.4878 - 0.0200i 2.7483 + 0.3616i C=sqrt(A) C =1.0000 1.4142 1.7321 2.00002.2361 2.4495
10、 2.6458 2.82843.0000 3.1623 3.3166 3.46413.6056 3.7417 3.8730 4.0000 验证过程： D=B*B D =1.0000 - 0.0000i 2.0000 - 0.0000i 3.0000 - 0.0000i 4.0000 - 0.0000i5.0000 - 0.0000i 6.0000 - 0.0000i 7.0000 - 0.0000i 8.0000 + 0.0000i9.0000 - 0.0000i 10.0000 - 0.0000i 11.0000 + 0.0000i 12.0000 + 0.0000i13.0000 - 0.
11、0000i 14.0000 - 0.0000i 15.0000 + 0.0000i 16.0000 + 0.0000i E=C.2 E =1.0000 2.0000 3.0000 4.00005.0000 6.0000 7.0000 8.00009.0000 10.0000 11.0000 12.000013.0000 14.0000 15.0000 16.0000 D=A ans =0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 此验证没有还原 A 矩阵，不知道为什么？请老师帮忙解答。 通过上机操作，sqrtm 是对一个矩阵求平方根，即其值乘其值将还原成 A 矩阵，sqrt 是对矩阵里的 每一个元素求平方根，要对其还原，则要用点乘。 三、实验小结 通过本次实验对矩阵的一些求值由了很好的了解，对一些特殊矩阵也掌握了其生成方法。特别是 对矩阵函数的一些区别有了一定的了解，通过这次实验，相信在以后的操作中不会出现对矩阵函 数的混淆。但是对矩阵的性能知识还是不很了解，当一个矩阵性能好了又有什么用处呢？通过此 次上机操作，掌握了线性方程组的求解方法。相比起线性代数的笔算要方便多了，体会到了计算 机软件的强大功能。
