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1、上 海 中学数 学 2 0 1 0年第 1 0期 一道高中数学联赛题的分析与拓展 2 0 1 8 0 0 上海 市嘉定 区远 东学校王 富春 2 0 0 9 年全国高中联赛一试解答题第一题为 ： 设直线 z ： =k x +m( 其 中 ， m 为整 数) 与 椭圆而x 2 T yZ =1交 于不 同两点 A， B， 与 双 曲线 所 以 a的取值范围是 0 n 厶 品析 ： 题 ( I) 的待证不等式 化简后 ， 问题 转 化为求 函数 F( ) 的最 小值 ， 接下 来 的三 步 曲， 就是导数问题的通法了 需要 注意的是 ， 待证 不 等式化简后正是“ 超越不 等式” z+l ， 与例
2、1 暗合 ， l n x与 e 好 似孪生兄弟 ， 形影相伴 题( ) 看似 与例 1 (I) 极其相似 ： 求变量 的 取值范围 ， 将不等式 ， ( z ) 层层化 简 ， 分 离出变量 n， 继 而利用 恒成 立原 理“ n g( ) 恒 成立口 g ( z ) i ” ， 将 问题转化 为求辅 助 函数 g ( z ) 的最小值( 下确界) ， 是通 法 ； 接下来求 函数 最小值 ( 下 确界 ) 的 三步 曲， 又是 导数 问题 的通 法 但是 ， 如果“ 通法” 真 的能够 在题 ( I I) 中运用 得顺风顺水 ， 那 么题 ( I I ) 就 不能堪 当压轴题 的 重任 了
3、事实上 ， 题 ( 1 1 ) 接下 来也 遇 到 了类 似 例 1 ( 1 1 ) 的问题 ： 如何判 断导数 g ( z) 的符 号 有 了 例 l ( ) 的“ 变通 ” 经验 ， 可以通 过 g( z) 的二 阶 导数 、 甚至三阶导数解 决问题 ， 但其 运算复杂程 度与技巧性大大超过了例 1 () 至此 ， 经 历“ 通 法一变 通一再变 通” 解 决 了 这 道 压 轴 题但 美 中 不 足 的 是 ，求 l i m I一 0 ， 1 、 ( ，- 专) 其 实 需 用 到 高 等 数 学 中 的 “ 罗 比 塔 法则” ， “ 超 纲” 的变通 需要 转 向新 的 变通 请 看
4、 命题人关 于题 ( I I ) 的解法 ： 当 z 0时 ，( z ) 0 ， 从 而 口 z+1 o f ( z ) 即 a x f ( x) +，( ) 一z o 令 h ( z ) 一a x f ( z ) +_厂 ( z ) 一 ， 则 h ( z ) 一 a f ( x ) +a x y( z ) +厂( z ) 一1 因为 ( z ) 一 e 一 ， ( ) +厂 ( ) 一1 ， ( z ) ：1 一， ( z ) ， 所以 h ( z) 一 ( 口一 口 z一 1 )r ( ) + a x (* ) X 2一ylz2 1 交 于不 同两点 c ， D， 问是 否存在 直 线
5、z ， 使得向量 +西 ， 若存在， 指出这样的 直线有多少条?若不存 在 ， 说 明理 由 一方 面 ， Eh ( I ) 知 ， ( z ) l_ ， ( z + 1 ) _厂 ( ) 所 以 h ( ) ( a -a x -1 ) 厂( z) +口 ( -z +1 ) 厂 ( ) 一( 2 口 一1 ) 厂 ( ) ( *) 若 n 1 ，则矗 ( z ) 0， ( z ) 递减 ， 从而 ( z ) ( O ) =0 ， 即_厂 ( ) 口 z+ 1 。 另一 方面 ， 由(I) 知 e z z+1 ， e z 一 +1 ( 用 一 代换 x) ， 1 一P 一 ， 即 ( z ) 所
6、 以 h ( z) ( 口 一口 z一1 ) ，( ) +a f( x ) 一( 2 a 一 1 -a x ) ， ( z ) ( *) 若 口 ， 则当 0 0 ，h( ) 递 增 ， 从 而 h( z) ( o ) 一0 ， 即 厂 ( z) ， 矛盾 另外 ， 若 口 一 0时 ， a c E + 1 0 ( 1 ) f y：是 + 由 z 2 y 2 ， 消去 化简整理得( 3 一k ) 一 I 一 一 2 志 优z 2 1 2 0 设 C( 3 ， y 3 ) ， B( x 4 ， y 4 ) ， 则 2 kin x3十 x4一 万 ,5 2一 ( 一 2 k in) 2+ 4( 3
7、 一 k 2 ) ( m2 + 1 2 ) 0( 2 ) +面 得( 3 一 1 ) +( 4 一 2 ) 一0 ， 即 l + z 。 + 所 以 一 一丽 2 k in因 此 2 志 一0或 一 4 一 1 由上式解 得 意 一0 或 m一0 当 k 一0时， 由( 1 ) 得一2 3 o ， 6 o ) 交于不同 两点 A， B， 与双 曲线 一 ：1 ， ( c d， d0 ) 交于不同两点 c， D， 试证明： 使得向量 +茄 的直线 z 的条数 为 2 6 +2 旦 +1 ( ” 为 小 于 最大整数 ) 解 ： 设 A( # d l ， y 1 ) ， B( 2 ， y 2 )
8、， C( _，f 3 ， y 3 ) ， D f堑 _ 一 1 侄 一： 相 减 得 + la2 b 2 一o i b 2 ( l + 2 ) +以 是 ( y 1 +y 2 ) 一。变 形为 z 1 + 2 一一百t l - ( 1 +y 2 ) ( 1 ) 同理 可得 直线与双曲线相交有 ： x 3 +x 4 = 走 ( y 3 +y 4 ) ( 2 ) 由 + 面 得 。 一 _ 一 一 ， 所 I y3一yl_ I 4一 y2一 u 以 _ _ z 一 。 _ ( 3 ) 由 ( 1 ) ， ( 2 ) ， ( 3 ) 得 ： l yl十 y2一 y3十 y4 一 愚 ( 1 + 2
9、) 一 忌 ( 1 +y 2 ) 所 以 志 一0或 Y 1 + y2 0 由 ( 1 ) 和 1 +y 2 =0得 到 r l +_， 2 0 ， 所 以 点 A和 点 B 关于原点对 称 ， 此时直 线 AB过原 点 ， 有 m一0 当 k 一0时 ， 直 线 Z ： Yk x+7 m 与 轴平行 ， 与双 曲线一定相交 ， 由椭圆 + 一1中一6 b得到一6 0 ， 6 口 o ) 交 于 不 同 两 点 A， B， 与 双 曲线 二 一 周期 函数 ， 且 周期 为 T一2 k( 7 2 )一l O k ， 又 ( 3 ) 一，( 1 ) 一o ， 而 厂( 7 ) o ， 厂( 一3
10、 ) =，( 一3 + 1 0 ) 一f ( 7 ) o ， 所 以 ，( 一3 ) 士厂 ( 3 ) ， 故 函数 Y 一 ( ) 是非奇非偶 函数 ()又 ，( 3 ) 一厂 ( 1 ) 一o ， 厂( 1 1 ) 一-厂 ( 1 3 ) 一 ， ( 一 7 ) 一f( 一 9 ) =0 ， 故 f( z ) 在 0 ， l O 和 一1 0 ， O 上均有有两个解 ， 从而 可知 函数 y f ( ) 在 O ， 2 0 0 5 上有 4 0 2 个 解 ， 在 一2 0 0 5 ， O 上 有 4 0 0个 解 ， 所 以 函 数 Y=f( ) 在 一2 0 0 5 ， 2 0 0 5
11、 上有 8 0 2个解 定理 2 若 函数 厂 ( z) 的图像关 于点 A( n ， O ) 对称 ， 且 厂( z ) 的图像 又关 于点 B( b ， O ) 对 称( n 6 ) ， 则 函数 厂 ( ) 是一个周期函数 ， 且周期 T一 2 k( b - 口 )( kZ， k 0 ) 证 明： ， ( ) 的图像 关 于点 A( a ， 0 ) 和 B ( 6 ， 0 ) 都对称 ， 故 对于任意 t R， 厂 ( ) 一 一厂 ( 2 a 一 ) 一一，( 2 6 一 ) ， 令 z=2 6 一t ， 2 at 一2 ( 口 一 6 ) +z代入上式得 f 2 ( a 一6 ) +
12、z 一厂 ( z ) ， 而 。 b ， a - 6 0 ， 厂 ( z ) 是 以 丁=2 k ( b 一口 ) ( k z， k v e 0 ) 为周期 的周期函数 例 2 ( 2 0 0 9全国 I卷理) 函数 ( ) 的定义 域为 R， 若 f ( x+1 ) 与 ，( z一1 ) 都 是奇 函数 ， 则 ( ) A ， ( z ) 是偶 函数 B _厂 ( z ) 是奇 函数 C-厂 ( z ) 一f ( x+2 ) D f( x+3 ) 是奇函数 分析 ： 由 f ( x +1 ) 是奇 函数 ， 可知 - 厂 ( ) 关 于 点 ( 1 ， O ) 对称 _厂 ( X一1 ) 是 奇 函数 ， 可 知 厂( z ) 关 于点 ( 一1 ， O ) 对 称 ， 则 由定 理 2知 ， 厂( z ) 是一个 一1 ， ( c o ， o ) 交 于不 同两点 C， D， C 一 试证 明 ： 使得 向量 + 的直线 l 的条数 为 2 r b l +2 +1 ( 为小于 最大整数) 解 ： 解法与拓展一的解法相似 说 明： 1 原题 的第 二种 解法 为拓展一 的解 法 的特殊情况 2 通常为不大于 的最大整数 ， 这里考 虑到 b与 ， 作 以上定义
