《数列、极限、数学归纳法 等差、等比数列综合问题 教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列、极限、数学归纳法 等差、等比数列综合问题 教案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc数列、极限、数学归纳法数列、极限、数学归纳法等差、等比数列综合问题等差、等比数列综合问题教案教案教学目标教学目标 1熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数 列的综合问题 2突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力 教学重点与难点 1用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识、从本质上掌握公式 2解决应用问题时，分清是等差数列问题，还是等比数列问题；分清 an 和 Sn，数清项数 n 教学过程设计 （一）复习 师：这节课我们
2、要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、数比数列的综合问题 （请学生叙述公式的内容并写在黑板上） 生甲：等差、等比数列的通项公式分别是 an=a1+（n-1）d，an=a1qn-1生丙：等比数列的前 n 项和公式要分成 q=1 和 q1 两种情况来表示，即生丁：如果 m，n，p，q 都是自然数，当 m+n=p+q 时，那么在等差数列中有：am+an=ap+aq，在等比数列 中有：aman=apaq 师；在上述公式中，涉及到 a1，n，d（q） ，an，Sn 五个量，运用方程思想，已知其中三个量，就可以求 另外两个量 （二）等差、等比数列中方程思想的应用 例 1 有四个数，其中
3、前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16， 第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数 师：这是一道等差、等比数列的综合问题，同学们应认真审题，然后做出分析 生甲：题目中给出了四个条件，可设这四个数分别为 x，y，m，n，然后列出四个方程解此四元二次方程组即可求得四个数 生乙；设四个未知数太麻烦，可以由前三个数成等差数列，设前三个数分别为 a-d，a，a+d，第四个数为亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc16-（a-d） ，列出两个方程：解此方程组即可求出四个数 师：看来解决这个问题的最好方法就是列方程组了，
4、要使列出的方程组简单易解，关键在于如何设未知 数aq，这样列出的方程组为师：方程组和都是二元二次方程组，运算量差不多，设未知数的思路也是异曲同工的，都是直接应用 已知条件如果大家换个角度想问题，设未知数还会有什么方法？ 教师可将学生说的方法列在黑板上，以便学生进行比较 生：如果设这四个数为 x，y，12-y，16-x，那么列出的方程组为学生的积极性已经调动了起来，大家纷纷表示第四种设、列方法是最理想的 解法如下： 解：设四个数分别为 x，y，12-y，16-x，则由（1）得：x=3y-12（3）代入（2）得：y2-13y+36=0解得 y=4 或 y=9，分别代入（3）得：x=0 或 x=15
5、 所以所求四个数分别为：0，4，8，16 或 15，9，3，1 师：运用方程思想解决等差、等比数列问题，可以分成三个步骤：设未知数；列方程；解方程 此题通过已知条件和未知数 x，y 之间的关系，间接设第三个数为 12-y，第四个数为 16-x，由于未知数设 的巧妙，从而减少了运算量 （三）抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键 例 2 已知公差不为零的等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，试问：是否存在常数 a，b，使得对于一切自然数 n，都有 an=logabn+b 成立若存在，求出 a，b 的值，若不存在，请说明理由 师：这道题涉及到两个数列an
6、和bn之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想 研究 an，bn 的性质，应该先抓住数列中的什么量？ 生：由于an是等差数列，bn是等比数列，所以应该先抓住基本量 a1，d，q，由已知 a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，可以列出方程组亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc解出 d，q，贝 an，bn 就确定了 师：如果 an 和 bn 确定了，那么 an=logabn+b 就可以转化成含有 a，b，n 的方程，如何判断 a，b 是否存 在呢？ 生：如果通过含有 n，a，b 的方程解出 a 和 b，那么就可以说明 a，b
7、存在；如果解不出 a 和 b，那么解不 来的原因也就是 a 和 b 不存在的理由 师：分析得很好让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？ 解：设等差数列an的公差为 d（d0） ，等比数列bn的公比为解得：d=5，q=6所以 an=5n-4 而 bn=6n-1，若存在常数 a，b，使得对一切自然数 n，都有 an=logabn+b 成立，即 5n-4=loga6n-1+b， 即 5n-4=（n-1）loga6n-1+b， 即（loga6-5）n+（b-loga6+4）=0对任意 nN+都成立有 an=logabn+b 成立 师：本题的关键是抓住基本量：首项 a1 和公差 d，公比
8、q，因为这样就可以求出 an 和 bn 的表达式an 和 bn 确定了，其它的问题就可以迎刃而解 （四）运用等差数列和等比数列的相关知识解决应用问题 例 3 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为 300 万元，如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多 10 万元，10 万元，11 万元，那么每一年比上一年的 产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值 师：对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解 请学生读题，并逐句分析已知条件 生甲：由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年
9、的总产值为 300 万元，可知此等差数列中 S3=300，即如果设原计划三年的产值分别为：x-d，x，x+d则 x- d+x+x+d=300 生乙：由产值增长的百分率相同，可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为 x- d+10，x+10，x+d+11则（x+10）2=（x-d+10） （x+d+11） 师：甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出 x，d （板书如下） 解：设原计划三年的产值为 x-d，x，x+d，则实际三年产值为 x-d+10，x+10，x-d+11由得，x=100代入得 d=10x-d=90，x+d=110亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 htt
10、p:/www.eku.cc答：原计划三年的产值分别为 90 万元，100 万元，110 万元 师：等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是 把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清 an 和 Sn，抓住基本量 a1，d（q） ，再调用有关的概念和公式求解 （五）准确辨别数学符号，提高分析问题和解决问题的能力 例 4 已知数列an是公差不为零的等差数列，数列akn是公比为 q 的等比数列，且 k1=1，k2=5，k3=17，求 k1+k2+k3+kn 的值 师：题目中数列akn与an有什么关系？ 生：数列akn中的项是以
11、数列an中抽出的部分项 师：由已知条件 k1=1，k2=5，k3=17 可以知道等差数列an中的哪些项成等比数列？ 生：a1，a5，a17，成等比数列 师：要求的 k1+k2+k3+kn 的值，实质上求的是什么？ 生：实质上就是求数列kn的前 n 项和 师：要求kn的前 n 项和，就要确定数列kn的通项公式应该从哪儿入手？师：a5，a1 要由等差数列an的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差 d 和 a1 了 生：如果设等差数列an的公差为 d，那么 a5=a1+4d，a17=a1+16d，由于 a1，a5，a17，成等比数列，则 有（a1+4d）2=a1（a1+16d） ，从而 a
12、n 应该可以求出了 师：请同学们把刚才的分析整理出来 （教师板书如下） 解：设数列an的公差为 d，d0，则 a5=a1+4d，a17=a1+16d 因 a1，a5，a17，成等比数列，则（a1+4d）2=a1（a1+16d） ，即 2d2=a1d 又 d0，则 a1=2d所以 an=a1+（n-1）d=2d+（n-1）d=（n+1）d又 akn=（kn+1）d，则 2d3n-1=（kn+1）d由 d0，知 kn=23n-1-1（nN+） 因此k1+k2+k3+kn =230-1+231-1+232-1+23n-1-1 =2（30+31+32+3n-1）-n=3n-n-1 师：此题的已知条件中
13、，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质， 抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的 （六）小结 等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住 基本量 a1，d（q） ，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc把我们难倒 （七）补充作业 1 公差不为零的等差数列的第 2，第 3，第 6 项依次成等比数列，则公比是 A1 B2 C3 D4 2 若等差数列an的首项为 a1=1，等比数列bn，
14、把这两个数列对应项相加所得的新数列an+bn的前三 项为 3，12，23，则an的公差与bn的公比之和为 A-5 B7 C9 D14 3 已知等差数列an的公差 d0，且 a1，a3，a9 成等比数列，4 在等差数列an中，a1，a4，a25 依次成等比数列，且 a1+a4+a25=114，求成等比数列的这三个数 5 设数列an是首项为 1 的等差数列，数列bn是首项为 1 的等比数列cn的通项公式与前 n 项和公式 6 某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，这三年总产量为 1500 吨，第二年到第四 年每年增长的百分数相同，这三年总产量为 1 820 吨，求这四年每年的产量各
15、是多少吨？ 作业答案或提示1C 2C解得 a1=38，d1=0或 a2=2，d2=4所以三个数为 38，38，38，或 2，14，96 5设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q则6设前三年产量依次为 a-d，a，a+d，则 a-d+a+a+d=1 500，解解得 d=100所以四年产量依次为 400，500，600，720 吨 课堂教学设计说明 数学教学不仅要使学生获得数学知识，更重要的是通过知识的获得过程来发展学生的思维能力 这节课是与前面所学知识密切联系的，侧重于等差、等比数列有关知识的综合运用，这就要求教师准确把 各个知识点，因为知识点是获取知识的量的基本保证，在此基础上帮助学生建立良好的知识结构这是学生进 行创造性思维的源泉，只有系统的掌握知识，才能培养学生提高理解和运用知识解决问题的能力 数学思想是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，数学思想蕴含在数学概念，数学规律和数学方法之亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc中因此，本课
