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1、广西大学数学建模考试试题广西大学数学建模考试试题 A A 及及参考答案参考答案一概念题（共一概念题（共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，本大题共分，本大题共 1515 分）分）1、 什么是数学模型？(5 分)答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据 特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。2、 数学建模有哪几个过程？(5 分)答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分 析，模型检验，模型应用。3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是 其中 x（x1，xm）T 输入
2、向量，y 为输出，wi是权系数；输入与输出具有如下关系： 为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数（5 分）二、模型求证题（共二、模型求证题（共 2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，本大题共分，本大题共 2020 分）分）1 1、（、（l l）以雇员一天的工作时间）以雇员一天的工作时间 t t 和工资和工资 w w 分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别 曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5(5 分分) ) （2 2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率）如果雇主
3、付计时工资，对不同的工资率( (单位时间的工资单位时间的工资) )画出计时工资线族。根据雇画出计时工资线族。根据雇 员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5(5 分分) )答：（l）雇员的无差别曲线族 f（w，t）=C 是下凸的，如图 1，因为工资低时，他愿 以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作 时间（2）雇主的计时工资族是 w=at，a 是工资率这族直线与 f（w，t）=c 的切点 P1，P2，P3，的连线 PQ 为雇员与雇主的协议线通
4、常 PQ 是上升的（至少有一段应该是上 升的），见图 12 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7(7 分分) )又问又问 命题对长凳是否成立，为什么？命题对长凳是否成立，为什么？(3(3 分分) )答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中 A,B,C,D 代表方凳的四个脚,以正方形 ABCD 的中心为坐标系原 点。 图二 记 H 为脚 A,C 与地面距离之和， G 为脚 B,D 与地面距离之和， 为 AC 连线与 X 轴的夹 角，不妨设 H(0)0
5、 , G(0)=0,(为什么?) 令 f() = H() - G() 则 f 是 的连续函数,且 f(0)=H(0)0，将方凳旋转90,则由对称性知 H(/2)=0, G(/2)=H(0)从而 f(/2)= -H(0) 0,所以这是正则链 （2 分）记为稳态概率，则有（2 分）四、建模题（共四、建模题（共 2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，本大题共分，本大题共 2020 分）分） 1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈，则以后就不会再患病。将人群分为未感染者 S、患者 I、已治愈者（包括死亡者 R）三种人，试作出必要的假设并写出该传染病的扩散 微分方程模型（不必求解）。(10(10
6、 分分) )答：假设：(1) 设一个病人在单位时间内能传染的病人数 i(t)与当时的未感染人数s(t)成正比，比例系数为（称为感染率）；(2) 设在 t 时刻，已治愈人数（包括死亡人数）为 r(t)； (3)设在单位时间内病人的治愈率为 ,即； （4 分）(4)病人痊愈后不会再被传染。则有：（6 分）2 2、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工 1212 小时后可生产小时后可生产 A A 产品产品 3 3 公斤，公斤， A A 产品可获利产品可获利 2424 元元/ /公斤公斤 ，或一桶牛奶加工，或一桶牛奶加工 8 8 小时可生产小时可生产
7、 B B 产品产品 4 4 公斤，公斤，B B 产品可获利产品可获利 1616 元元/ /公斤。现每天可供加工的牛奶为公斤。现每天可供加工的牛奶为 5050 桶，加工工时至多为桶，加工工时至多为 480480 小时，且小时，且 A A 产品至多只能产品至多只能 生产生产 100100 公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型 （不必求解（不必求解,10,10 分）。分）。答：设每天安排答：设每天安排 x x1 1桶牛奶生产桶牛奶生产 A A 产品，产品，x x2 2桶牛奶生产桶牛奶生产 B B 产品，则有：产品，则有：参考评分标准：目标函数参考评分标准：目标函数 3 3 分，约束条件分，约束条件 7 7 分分
