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1、1第三章第三章 函数逼近与曲线拟合函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念函数的逼近与基本概念1.1 问题的提出问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设是上的光滑函数，它的 Taylor 级数( )f x 1,1，在上收敛。当此级数收敛比较快时，0( )k k kf xa x
2、( )(0) !kkfak 1,1。这个误差分布是不均匀的。当1 1( )( )( )n nnnexf xsxax 时，而离开零点增加时，单调增加，在0x (0)0nex( )nex误差最大。为了使的所有满足，必须选1x 1,1x( )( )nf xsx取足够大的，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值n多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图 1 所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图 1 中的实线。由于实验数据的误差太大，不能
3、用过任意两点的直线逼近函数。如果用过 5 个点的 4 次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。2实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图 11.2 范数与逼近范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上n的线性空间，记作，称为维向量空间.类似地，对次
4、数不超过的实系数多项式全体，nRnn按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上一个线性空间，用表示，称RnH为多项式空间。所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域 , a b上的线性空间，记作.类似地，记为具有阶连续导数的函数空R , C a b , pCa bp间.在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间.定义定义 1 设是数域上一个线性空间，在其上定义一个实值函数，即对于任意XKg
5、及，有对应的实数和，满足下列条件, x yXKxy(1) 正定性：，而且当且仅当；0x 0x 0x (2) 齐次性：；xx3(3) 三角不等式：；xyxy称为上的范数范数，定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间赋范线性空间.gX以上三个条件刻划了“长度” 、 “大小”及“距离”的本质，因此称为范数公理范数公理.对上的任一种范数，显然有nXgnXx, y.xyxy上常用的几种范数有：nR(1) 向量的-范数： 1maxii nx x(2) 向量的 1-范数：1 1ni ixx(3) 向量的 2-范数：1 22 2 1()ni ixx(4) 向量的-范数：p11()npp ip ixx其中，可以证
6、明向量函数是上向量的范数.1,)p( )pN xxnR前三种范数是-范数的特殊情况（）.我们只需表明(1).事实plimppxx上 1111111maxmaxmaxnnppppp iiiii ni ni niixxxnx 及，故由数学分析的夹逼定理有max1ppn 。 1limmaxippi nx xx类似地对连续函数空间，可定义三种常用范数： , C a b4(1) -范数：max( ) a x bff x (2) 1-范数：1( )baff x dx(3) 2-范数：1 222( )baff xdx可以验证这样定义的范数均满足定义 1 中的三个条件.二、内积与内积空间二、内积与内积空间在线
7、性空间中，仅规定了加法与数乘两种运算.为了使线性空间中的向量元素之间具有夹角的概念，我们需引入第三种运算内积.定义定义 2 设是数域(或)上的线性空间，对有中一个数XKR C, u vXK与之对应，记为，它满足以下条件内积公理：( , )u v(1)共轭对称性：( , )( , ), ,u vv uu vX(2)第一变元线性： (, )( , )( , ), , ,uv wu wv w u v w KX(3)正定性：,当且仅当时,( , )0u u 0u ( , )0u u 则称二元函数为上与的内积内积.定义了内积的线性空间称为内积空间内积空间.当实线( , )u vXuvX性空间，称是实内积
8、空间；当复线性空间，称是复内积空间.XXX如果，则称与正交，这是中向量相互垂直概念的推广.( , )0u v uvnR定理定理 1 设为一个内积空间，对，有X, u vX(1.1)2( , )( , )( , )u vu u v v称为 Cauchy-Schwarz 不等式.证明证明 设，则，对如何实数有0v ( , )0v v 20(,)( , )2 ( , )( , )uv uvu uu vv v取，代入上式右端，得( , ) ( , )u vv v 522( , )( , )( , )20( , )( , )u vu vu uv vv v即(1.1)式得证.当时，(1.1)式显然成立.0
9、v 定理定理 2 设为一个内积空间，矩阵X1,nuuXL(1.2)112111222212(,)(,)(,) (,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnu uu uu u u uu uu uGu uu uu u L L MMMM L称为克莱姆（Gramer）矩阵，则非奇异的充分必要条件是线性无关.G12,nu uuL证明证明 奇异存在非零向量，使得.即G1(,)TnaaaL0Ga11 1111(,)(,)0(,)(,)nnjjjj jjnnjnjjjn jju u aa u uu uaa u u MM1111(,)0,1,(,)00njjk jnnjjjj jjnjj ja u ukna
10、 ua ua uL6即线性相关. 12,nu uuL定理定理 3（Gram-Schmidt 正交化方法正交化方法）如果是内积空间中一个线性12 ,nu uuLX无关的序列，则可按照公式(1.3)1111,( ,),2,(,)i ik iik kkkvuu uvuv inv v L产生一个正交序列，满足 ，而且此序列12 ,nv vvL( ,)0ijv v()ij是的一组基.12span ,nu uuL在内积空间上可以由内积导出一种范数，即对于，记XuX ( , )uu u容易验证它满足范数的定义，其中三角不等式可以由定理 1 证明.例例 1 与的内积.设，nRnCT 1,( ,)n nx yR
11、xxxL，则内积可定义为T 1(,)nyyyL(1.4)1()nii ix yx, y由此导出向量 2-范数为2 2 1()ni ixxx,x若给定实数，称为权系数权系数，则在上可定义加权0 (1, )iin LinR内积为(1.5)1()niii ix yx, y相应的范数为72 2 1nii ixx不难验证(1.5)给出的满足内积定义 3.2 的条件.当时，()x, y1 (1, )iin L(1.5)就是(1.4).如果，带权内积定义为,nx yC1()niii ix yx, y其中仍为正实数序列，为的共轭.iiyiy也可以在上定义带权的内积，为此，我们先给出权函数的定义. , C a
12、b定义定义 3 设是有限或无限区间，在上的非负函数满足条件： , a b , a b( )x(1)存在且为有限值；( )bkaxx dx (0,1,)k L(2) 对上的非负连续函数，如果，则 , a b( )g x( ) ( )0bax g x dx.( )0g x 则称是区间上的一个权函数权函数.( )x , a b从定义可看出：1）为上的非负可积函数，且当为无限区间时，( )x , a b , a b要求具有任意的衰减性；2）在的任一子区间上不恒等于零.( )x , a b( )x例例 2 上的内积.设，是上给 , C a b( ), ( ) , f x g xC a b( )x , a
13、 b定的权函数，则可定义内积 ( ( ), ( )( ) ( ) ( )baf x g xx f x g x dx容易验证它满足内积定义的四条性质，由此内积导出的范数为 11 222 2( )( ( ),( )( )( )baf xf xf xx fx dx8分别称为带权的内积和范数，特别常用的是的情形，即( )x( )1x( ( ), ( )( ) ( )baf x g xf x g x dx1 22 2( )( )baf xfx dx三、逼近三、逼近用简单函数组成的函数类中“接近”于的函数近似地代替，M( )f x( )p x( )f x称是的一个逼近，称为被逼近函数，两者之差( )p x
14、( )f x( )f x(1.6)( )( )( )E xf xp x称为逼近的误差或余项.这里必须表明两点：其一是函数类的选取.何为简单函数？在数值分析中所谓简单函数M主要是指可以用四则运算进行计算的函数，最常用的有多项式及有理分式函数；其二是如何确定与之间的度量.pf定义定义 4 设为定义在区间上某类函数组成的线性赋范空间，是中X , a b( )f xX给定的函数，若在函数类中，求得函数，使逼近误差 , Ma b( )p xM满足下列不等式( )( )( )E xf xp x(1.7)Efp则称是函数类中对满足精度的一致逼近.( )p xM( )f x定义定义 5 设为定义在区间上某类函
15、数组成的线性赋范空间，是中X , a b( )f xX给定的函数，若在函数类中，求得函数，使逼近误差 , Ma b( )p xM满足下列不等式( )( )( )E xf xp x(1.8)22Efp则称是函数类中对满足精度的平方逼近.( )p xM( )f x定义定义 6 设是一线性赋范空间，是的一个子集.如果对于中给定的，在XMXXf9中存在一元素，使得M*(1.9)*inf Mff 则称是中对的最佳逼近.*Mf特别地，若，称为最佳一致逼近；若，称为最佳平方逼近. 2 本章讨论最佳一致逼近及最佳平方逼近是否存在？是否唯一？如何构造最佳逼近等.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法在生产实际和科学实验中有很多函数，它的解析表达式是不知道的，仅能通过实
