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1、习题五习题五1 求下列各曲线所围图形的面积: (1)与 x2+y2=8(两部分都要计算); 解:如图 D1=D2 解方程组得交点 A(2,2) (1) , (2)与直线 y=x 及 x=2; 解: .(2) (3)y=ex,y=ex与直线 x=1; 解:(3) (4)y=lnx,y 轴与直线 y=lna,y=lnb(ba0); 解:(4) (5)抛物线 y=x2和 y=x22; 解:解方程组得交点 (1,1),(1,1) (5) (6)y=sinx,y=cosx 及直线;解:(6) (7)抛物线 y=x2+4x3 及其在(0,3)和(3,0)处的切线; 解:y=2x+4 y(0)=4,y(3)
2、=2 抛物线在点(0,3)处切线方程是 y=4x3 在(3,0)处的切线是 y=2x+6 两切线交点是(,3)故所求面积为(7)33222302332223024343d2643dd69 d9.4Dxxxxxxxxxxxxx (8)摆线 x=a(tsint),y=a(1cost)的一拱 (0t2)与 x 轴; 解:当 t=0 时,x=0, 当 t=2 时,x=2a 所以 220022202d1 cosdsin1 cosd3.aSy xata ttatta (8) (9)极坐标曲线 =asin3; 解:(9) (10) =2acos; 解:(10) 2 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:
3、(1) r=a(1+cos)及 r=2acos; 解:由图 11 知,两曲线围成图形的公共部分为半径为 a 的 圆,故 D=a2(11) (2)及 解:如图 12,解方程组 得 cos=0 或, 即或 (12) 3 已知曲线 f(x)=xx2与 g(x)=ax 围成的图形面积等于,求常数 a 解:如图 13,解方程组得交点坐标为(0,0),(1a,a(1a) 依题意得 得 a=2(13) 4 求下列旋转体的体积: (1)由 y=x2与 y2=x3围成的平面 图形绕 x 轴旋转; 解: 求两曲线交点得(0,0),(1,1) (14) (2)由 y=x3,x=2,y=0 所围图形分别绕 x 轴及
4、y 轴旋转;解:见图 14, (2)星形线绕 x 轴旋转; 解:见图 15,该曲线的参数方程是: , 由曲线关于 x 轴及 y 轴的对称性,所求体积可表示为(15) 5 设有一截锥体,其高为 h,上、下底均为椭圆,椭圆的 轴长分别为 2a,2b 和 2A,2B,求这截锥体的体积。 解:如图 16 建立直角坐标系,则图中点 E,D 的坐标 分别为:E(a,h), D(A,0),于是得到 ED 所在的直 线方程为:(16) 对于任意的 y0,h,过点(0,y)且垂直于 y 轴的平面截该立体为一椭圆,且该椭圆 的半轴为: ,同理可得该椭圆的另一半轴为: 故该椭圆面积为从而立体的体积为. 6 计算底面
5、是半径为 R 的圆,而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立 体体积.见图 17.(17) 解:以底面上的固定直径所在直线为 x 轴,过该直径的中点且垂直于 x 轴的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则底面圆周的方程为:x2+y2=R2 过区间R,R上任意一点 x,且垂直于 x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形, 若设与 x 对应的圆周上的点为(x,y),则该等边三角形的边长为 2y,故其面积等于从而该立体的体积为 7 求下列曲线段的弧长: (1),0x2; 解:见图 18,2yy=2 从而(18)(2)y=lnx, ; 解: (3); 解:=4. 8 设星形线的参数方程为 x=
6、acos3t,y=asin3t,a0 求 (1)星形线所围面积;(2)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积; (3)星形线的全长 解:(1) (2)(3)xt=3acos2tsint yt=3asin2tcost xt2+yt2=9a2sin2tcos2t,利用曲线的对称性, 9 求对数螺线 r=ea相应 =0 到 = 的一段弧长 解: 10 求半径为 R,高为 h 的球冠的表面积 解:=2Rh 11 求曲线段 y=x3(0x1)绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积 解: 12 把长为 10m,宽为 6m,高为 5m 的储水池内盛满的水全部抽出,需做多少功? 解:如图 19,区间x,x+dx上的一个
7、薄层水,有微体积 dV=106dx(19) 设水的比重为 1, ,则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x60gdx=60gxdx 于是将水全部抽出所作功为 13 有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长 10m 和 6m,高为 20m,较长的底边与水面相 齐,计算闸门的一侧所受的水压力 解:如图 20,建立坐标系,直线 AB 的方程为 压力元素为所求压力为=1467(吨) =14388(KN) 14 半径为 R 的球沉入水中,球的顶部与水面相切,球的密(20)度与水相同,现将球从水中取离水面,问做功多少? 解:如图 21,以切点为原点建立坐标系,则圆的方程为 (xR)2+y2=R2将球从水中取出
8、需作的功相应于将0,2R区间上的 许多薄片都上提 2R 的高度时需作功的和的极限。取深度 x 为积 分变量,典型小薄片厚度为 dx,将它由 A 上升到 B 时,在水中的 行程为 x;在水上的行程为 2Rx。因为球的比重与水相同,所以 此薄片所受的浮力与其自身的重力之和 x 为零,因而该片在水中 由 A 上升到水面时,提升力为零,并不作功,由水面再上提到 B 时,需作的功即功元素为22222d(2) ( )d (2)() d (2)(2)dwRx g yxxgRxRxRxgRxRxxx 所求的功为220222302 223404 (2)(2)d(44)d41234 4(KJ).3RRRwgRxR
9、xxxgR xRxxxgR xRxxR g 15 设有一半径为 R,中心角为 的圆弧形细棒,其线密度为常数 ,在圆心处有一质量 为 m 的质点,试求细棒对该质点的引力。 解:如图 22,建立坐标系,圆弧形细棒上一小段 ds 对质点 N 的引力的近似值即为引力元 素(图 22)22dd( d )dddcoscos d ,xkmskmkmFRRRR kmFFR 则22 022cos d2cos dsin2ddsinsin dxykmkmkmFRRRkmFFR 则 22sin d0.ykmFR 故所求引力的大小为2sin2km R,方向自 N 点指向圆弧的中点。 16 求下列函数在a,a上的平均值:
10、(21)22(1) ( )f xax;解:2222222001111dd.arcsin2422aaaaaaxyaxxaxxx axaaaa(2) f(x)=x2解:2 22300111 1dd.233aaaaayxxxxxaaa17 求正弦交流电 i=I0sint 经过半波整流后得到电流0sin,020,Itt i t 的平均值和有效值。解:2 00 00021sind0dcosIIiIt ttt有效值 201( )dTIi ttT22 2222 0002 220 001( )d( )d( )d( )d22sind24Ti tti tti tti ttTIIt t故有效值为 0 2II . 1
11、8 已知电压 u(t)=3sin2t,求(1) u(t)在0,2 上的平均值;解: 2 026( )3sin2 d.u tt t(2) 电压的均方根值.解:均方根公式为 21( )( )dbaf xfxxba故 222 00 202181 cos4( )9sin 2 dd218931.sin42282tu tt tttt19 设某企业固定成本为 50,边际成本和边际收入分别为 C(x)=x214x+111,R(x)=1002x 试求最大利润 解: 设利润函数 L(x) 则 L(x)=R(x)C(x)50由于 L(x)=R(x)C(x)=(1002x)(x214x+111)=x2+12x11 令
12、 L(x)=0 得 x=1,x=11 又当 x=1 时,L(x)=2x+120当 x=11 时 L(x)0,故当 x=11 时利润取得最大值且 最大利润为L(11)=1120(1211)d50xxx311 013341611 50111 .333xxx 20 设某工厂生产某种产品的固定成本为零,生产 x(百台)的边际成本为 C(x)(万元/ 百台) ,边际收入为 R(x)=72x(万元/百台) (1) 求生产量为多少时总利润最大? (2) 在总利润最大的基础上再生产 100 台,总利润减少多少? 解:(1) 当 C(x)=R(x)时总利润最大 即 2=72x,x=5/2(百台) (2) L(x
13、)=R(x)C(x)=52x 在总利润最大的基础上再多生产 100 台时,利润的增量为L(x)= 77 2255 222(52 )d51x xxx 即此时总利润减少 1 万元. 21 某企业投资 800 万元,年利率 5%,按连续复利计算,求投资后 20 年中企业均匀收 入率为 200 万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期 解:投资 20 年中总收入的现值为205%5% 2001200800ed(1 e)5% 400(1 e )2528.4 ()tyt万万 纯收入现值为 R=y800=2528.4800=1728.4(万元) 收回投资,即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1 e)8005% 12005ln =20ln =4.46 ().5%200800 5%4TT万22 某父母打算连续存钱为孩子攒学费,设建行连续复利为 5%(每年) ,若打算 10 年后 攒够 5 万元,问每年应以均匀流方式存入多少钱? 解:设每年以均匀流方式存入 x 万元,则5= 10(10)0.050edtxt即 5=20x(e0.51)0.51 4(e1)x 0.385386 万元=3853.86 元