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1、习题五习题五1 求下列各曲线所围图形的面积： （1）与 x2+y2=8(两部分都要计算)； 解：如图 D1=D2 解方程组得交点 A(2，2) (1) , （2）与直线 y=x 及 x=2； 解： .(2) （3）y=ex，y=ex与直线 x=1； 解：(3) （4）y=lnx，y 轴与直线 y=lna，y=lnb(ba0)； 解：(4) （5）抛物线 y=x2和 y=x22； 解：解方程组得交点 (1，1)，(1，1) (5) （6）y=sinx，y=cosx 及直线；解：(6) （7）抛物线 y=x2+4x3 及其在(0，3)和(3，0)处的切线； 解：y=2x+4 y(0)=4，y(3)
2、=2 抛物线在点(0，3)处切线方程是 y=4x3 在(3，0)处的切线是 y=2x+6 两切线交点是(，3)故所求面积为(7)33222302332223024343d2643dd69 d9.4Dxxxxxxxxxxxxx （8）摆线 x=a(tsint)，y=a(1cost)的一拱 (0t2)与 x 轴； 解：当 t=0 时，x=0, 当 t=2 时，x=2a 所以 220022202d1 cosdsin1 cosd3.aSy xata ttatta (8) （9）极坐标曲线 =asin3； 解：(9) （10） =2acos； 解：(10) 2 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：
3、（1） r=a(1+cos)及 r=2acos; 解：由图 11 知，两曲线围成图形的公共部分为半径为 a 的 圆，故 D=a2(11) （2）及 解：如图 12，解方程组 得 cos=0 或, 即或 (12) 3 已知曲线 f(x)=xx2与 g(x)=ax 围成的图形面积等于，求常数 a 解：如图 13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1a，a(1a) 依题意得 得 a=2(13) 4 求下列旋转体的体积： （1）由 y=x2与 y2=x3围成的平面 图形绕 x 轴旋转； 解： 求两曲线交点得(0，0)，(1，1) （14） （2）由 y=x3，x=2，y=0 所围图形分别绕 x 轴及
4、y 轴旋转；解：见图 14， （2）星形线绕 x 轴旋转； 解：见图 15，该曲线的参数方程是： ， 由曲线关于 x 轴及 y 轴的对称性，所求体积可表示为(15) 5 设有一截锥体，其高为 h，上、下底均为椭圆，椭圆的 轴长分别为 2a，2b 和 2A，2B，求这截锥体的体积。 解：如图 16 建立直角坐标系，则图中点 E，D 的坐标 分别为：E(a，h)， D(A，0)，于是得到 ED 所在的直 线方程为：(16) 对于任意的 y0，h，过点(0，y)且垂直于 y 轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆 的半轴为： ，同理可得该椭圆的另一半轴为： 故该椭圆面积为从而立体的体积为. 6 计算底面
5、是半径为 R 的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立 体体积.见图 17.(17) 解：以底面上的固定直径所在直线为 x 轴，过该直径的中点且垂直于 x 轴的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2 过区间R，R上任意一点 x，且垂直于 x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形， 若设与 x 对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为 2y，故其面积等于从而该立体的体积为 7 求下列曲线段的弧长： （1），0x2； 解：见图 18，2yy=2 从而(18)（2）y=lnx， ； 解： （3）； 解：=4. 8 设星形线的参数方程为 x=
6、acos3t，y=asin3t，a0 求 （1）星形线所围面积；（2）绕 x 轴旋转所得旋转体的体积； （3）星形线的全长 解：(1) (2)(3)xt=3acos2tsint yt=3asin2tcost xt2+yt2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性， 9 求对数螺线 r=ea相应 =0 到 = 的一段弧长 解： 10 求半径为 R，高为 h 的球冠的表面积 解：=2Rh 11 求曲线段 y=x3(0x1)绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积 解： 12 把长为 10m，宽为 6m，高为 5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？ 解：如图 19，区间x，x+dx上的一个
7、薄层水，有微体积 dV=106dx(19) 设水的比重为 1， ，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x60gdx=60gxdx 于是将水全部抽出所作功为 13 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10m 和 6m，高为 20m，较长的底边与水面相 齐，计算闸门的一侧所受的水压力 解：如图 20，建立坐标系，直线 AB 的方程为 压力元素为所求压力为=1467(吨) =14388(KN) 14 半径为 R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密（20）度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？ 解：如图 21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为 (xR)2+y2=R2将球从水中取出
8、需作的功相应于将0，2R区间上的 许多薄片都上提 2R 的高度时需作功的和的极限。取深度 x 为积 分变量，典型小薄片厚度为 dx，将它由 A 上升到 B 时，在水中的 行程为 x；在水上的行程为 2Rx。因为球的比重与水相同，所以 此薄片所受的浮力与其自身的重力之和 x 为零，因而该片在水中 由 A 上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到 B 时，需作的功即功元素为22222d(2) ( )d (2)() d (2)(2)dwRx g yxxgRxRxRxgRxRxxx 所求的功为220222302 223404 (2)(2)d(44)d41234 4(KJ).3RRRwgRxR
9、xxxgR xRxxxgR xRxxR g 15 设有一半径为 R，中心角为 的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量 为 m 的质点，试求细棒对该质点的引力。 解：如图 22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段 ds 对质点 N 的引力的近似值即为引力元 素（图 22）22dd( d )dddcoscos d ,xkmskmkmFRRRR kmFFR 则22 022cos d2cos dsin2ddsinsin dxykmkmkmFRRRkmFFR 则 22sin d0.ykmFR 故所求引力的大小为2sin2km R，方向自 N 点指向圆弧的中点。 16 求下列函数在a，a上的平均值：
10、（21）22(1) ( )f xax;解：2222222001111dd.arcsin2422aaaaaaxyaxxaxxx axaaaa(2) f(x)=x2解：2 22300111 1dd.233aaaaayxxxxxaaa17 求正弦交流电 i=I0sint 经过半波整流后得到电流0sin,020,Itt i t 的平均值和有效值。解：2 00 00021sind0dcosIIiIt ttt有效值 201( )dTIi ttT22 2222 0002 220 001( )d( )d( )d( )d22sind24Ti tti tti tti ttTIIt t故有效值为 0 2II . 1
11、8 已知电压 u(t)=3sin2t，求(1) u(t)在0,2 上的平均值；解： 2 026( )3sin2 d.u tt t(2) 电压的均方根值.解：均方根公式为 21( )( )dbaf xfxxba故 222 00 202181 cos4( )9sin 2 dd218931.sin42282tu tt tttt19 设某企业固定成本为 50，边际成本和边际收入分别为 C(x)=x214x+111，R(x)=1002x 试求最大利润 解： 设利润函数 L(x) 则 L(x)=R(x)C(x)50由于 L(x)=R(x)C(x)=(1002x)(x214x+111)=x2+12x11 令
12、 L(x)=0 得 x=1，x=11 又当 x=1 时，L(x)=2x+120当 x=11 时 L(x)0，故当 x=11 时利润取得最大值且 最大利润为L(11)=1120(1211)d50xxx311 013341611 50111 .333xxx 20 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产 x（百台）的边际成本为 C(x)（万元/ 百台） ，边际收入为 R(x)=72x（万元/百台） (1) 求生产量为多少时总利润最大？ (2) 在总利润最大的基础上再生产 100 台，总利润减少多少？ 解：(1) 当 C(x)=R(x)时总利润最大 即 2=72x，x=5/2(百台) (2) L(x
13、)=R(x)C(x)=52x 在总利润最大的基础上再多生产 100 台时，利润的增量为L(x)= 77 2255 222(52 )d51x xxx 即此时总利润减少 1 万元. 21 某企业投资 800 万元，年利率 5%，按连续复利计算，求投资后 20 年中企业均匀收 入率为 200 万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期 解：投资 20 年中总收入的现值为205%5% 2001200800ed(1 e)5% 400(1 e )2528.4 ()tyt万万 纯收入现值为 R=y800=2528.4800=1728.4(万元) 收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1 e)8005% 12005ln =20ln =4.46 ().5%200800 5%4TT万22 某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为 5%（每年） ，若打算 10 年后 攒够 5 万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入 x 万元，则5= 10(10)0.050edtxt即 5=20x(e0.51)0.51 4(e1)x 0.385386 万元=3853.86 元
