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1、（第 1 页，共 4 页）3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 二二. . 填空题填空题(3 分5=15 分) 1、2、设是上有理点全体，则()()ssC AC BAABE0,1=,=,=.E0,1o EE0,13、设是中点集，如果对任一点集都有，则称EnRT*()()m Tm TEm TCE 是可测的EL 4、可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. )(xf5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使( )f x, a b, a b成一有界数集,则称为 上的有界变差函数
2、。1 1|( )()|nii if xf x ( )f x, a b1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。错误1ERCE2、若，则一定是可数集.错误例如：设是集，则，但c 0mEEECantor0mE E ， 故其为不可数集 3、若是可测函数，则必是可测函数。错误|( )|f x( )f x 二、2. 下列说法不正确的是(C ) (A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点 0PE0PE(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点 0PE0P0PE(C) 存在中点列，使，则是的聚点 E nP0nPP0PE(D) 内点必是聚点 3. 下列断言(B )是正确的。 （A）任意个开集的交是
3、开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( C )是错误的。 （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 1、设，则_。11 ,2,1,2,nAnnnL nnAlim2、设为 Cantor 集，则 ，_，=_。PPmP o P3、设是一列可测集，则 iS 11_iiiimSmS4、鲁津定理：_ 5、设为上的有限函数，如果_则称为上的绝对连续函数。( )F x, a b( )F x, a b答案： 2，c ；0 ； 3， 4，设是上有限的可测函数，则0
4、,2( )f xE. .ae（第 2 页，共 4 页）对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。0EE( )f xE()m E E5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间0,0, a b只要，就有,1,2, ,iia binL1nii iba 1|( )( )|nii iF bF a1、由于，故不存在使之间对应的映射。错误 0,10,10,1 0,101和，1 12、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确 3、收敛的函数列必依测度收敛。错误. .ae 4、连续函数一定是有界变差函数。错误 2.(6 分) 设使，则 E 是可测集。0,GE开集*()m GE证明：对任何正整数，由条件存在开集
5、使 令，则n,nGE*1()nm GEn1n nGGI是可测集，又因对一切正整数成立，因而，G*()m GE*1()nm GEnn*()0m GE即是一零测度集，所以也可测. 由知，可测。MGE()EGGEE4.（8 分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证( )nfx(1,2,)n LE( )f x明：收敛于。( ) . .nfx ae( )f x证明：因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可( )nfxE( )f xkZ测集，在上一致收敛于，且 令，则kEE( )nfxkE( )f x1()km E Ek*1k kEEU在上处处收敛到，k=1,2( )nfx*E( )f
6、 x*11()()()kk km E Em EEm E EkUL所以*()m E E01、设集合，则NM()MMNN2、设为 Cantor 集，则 ，0，=。PPcmP o P 3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称EnRT*()()m Tm TEm TCE 是可测的EL 4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数 的可 ,)(nfEmE.ea.eaf测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。, 0EE nfE)(EEm5、设在上可测，则在上可积的充要条件是|在上可积. )(xfE)(xfE)(xfE1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例：设 Gn=( ),n=1,2, 每个 n
7、n11,11Gn为开集 但 不是开集.I1 1 , 1nnG2、若，则一定是可数集。不成立；设是集，则， 但c 0mEEECantor0mE E ， 故其为不可数集。 3、收敛的函数列必依测度收敛。不成立. .ae 4、连续函数一定是有界变差函数。不成立（第 3 页，共 4 页）1、 （6 分）试证(0,1) 0,1证明：记中有理数全体,令(0,1)12 ,Qr rL显然所以 ( )x122(0)(1)( ),1,2( ),01nnrrrrnxx x L为，中无理数，010 11 1是，到（，）上的映射(0,1) 0,12、设是上的实值连续函数则对任意常数 c， 是一开集.( )f x),()
8、(|cxfxE证明: 因 f（x）连续，故. .)(,00cxfEx即cxfxx）时，有 (),(, 00即.所以是 E 的内点.由的任意性,E 的每一个点都是内点,从而 E 为开集.Ex)(00x0x1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。( )f x, , |( )a Ex f xa证明： ;,limnnnxEExxx 则存在中的互异点列使,()nnxEf xaQ;( )( )lim()nnf xxf xf xa Q在点连续，xE E 是闭集.3、 （6 分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且( )f xE( )g xE ，则也是上的可积函数。|( )|( )g xf x(
9、 )g xE证明：，Q|( )|( )g xf x是可测集( )( ),( )( )gxf x gxf x( )( )( )nnnn EEEgxdxf xdxf x dxQ( )f x的非负可积函数 是上的可积函数. 同Elim n( )( )nn EEgxdxf x dx ( )gxE理，也是上的可积函数.是上的可积函数。( )gxE( )g xE1设 P 为 Cantor 集，则 （C）（A） 0 (B) (C) (D) P1mPPP PP o5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的是( D )(xf,ba(A)在上可积 (B)在上可积)(xf,baL)(xf,baR(C)在上可积 (D)
10、在上绝对连续)(xf,baL)(xf,ba2、设,若则是闭集若，则是开集；若则是完备集.ER,EE E0 EE EEE E5、设为上的有限函数，如果对于的一切划分，使( )f x, a b, a b成一有界数集，则称为上的有界变差函数。1 1|( )()|nii if xf x ( )f x, a b1、A 为可数集，B 为至多可数集，则 AB 是可数集；成立2、若，则；不成立；为中的全体有理点集，则有，而0mE0EmE 1, 00mE1Em 3、若是可测函数，则必是可测函数；不成立. 设是上的不可测集，|( )|f x( )f xE, a b（第 4 页，共 4 页）则是上的可测函数，但不是上的,;( ),;x xEf xx xa bE|( )|f x, a b( )f x, a b4设在可测集上可积分，若，则;不成立. 见下页 ( )f xE,( )0xE f x ( )0 Ef x
