实验一一元函数微分学

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1、8实验一实验一 一元函数微分学一元函数微分学实验实验 1 1 一元函数的图形（基础实验）一元函数的图形（基础实验）实验目的实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用 Mathematica 作平面曲线图性 的方法与技巧.基本命令基本命令 1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令 Plot:Plotfx,x,min,max,选项 Plot 有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入 Plotx2,x,-1,1,AspectRatio-1,PlotStyle-RGBC

2、olor1,0,0,PlotPoints-30 则输出在区间上的图形. 其中选项 AspectRatio-1 使图形的高与宽之比为 1. 如2xy 11x 果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项 PlotStyle-RGBColor1,0,0 使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取 0 与 1 之间. 选项 PlotPoints-30 令计算机描点 作 图时在每个单位长度内取 30 个点, 增加这个选项会使图形更加精细. Plot 命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形, 只要用集合的形式f1x,f2x, 代替 fx. 2.利用曲线参数方程作出曲线的命令

3、ParametricPlot: ParametricPlotgt,ht,t,min,max,选项 其中是曲线的参数方程. 例如,输入)(),(thytgx ParametricPlotCost,Sint,t,0,2 Pi,AspectRatio-1 则输出单位圆的图形.tytxsin,cos 3. 利用极坐标方程作图的命令 PolarPlot 如果想利用曲线的极坐标方程作图, 则要先打开作图软件包. 输入 =0,x2 虽然输出的形式与输入没有改变, 但已经定义好了分段函数:0,0,)(2xxxxxw现在可以对分段函数求函数值, 也可作出函数的图形.)(xw)(xw实验举例实验举例初等函数的图形

4、初等函数的图形例例 1.1 作出指数函数和对数函数的图形.xey xyln 输入命令 PlotExpx,x,-2,2 则输出指数函数的图形.xey -2-1121234567输入命令 PlotLogx,x,0.001,5,PlotRange-0,5,-2.5,2.5,AspectRatio-1 则输出对数函数的图形.xyln1012345-2-112注注：PlotRange-0,5,-2.5,2.5是显示图形范围的命令. 第一组数0,5是描述 x 的, 第 二组数-2.5,2.5是描述 y 的. 注注：有时要使图形的 x 轴和 y 轴的长度单位相等, 需要同时使用 PlotRange 和 As

5、pectRatio 两个选项. 本例中输出的对数函数的图形的两个坐标轴的长度单位就是相等的.例例 1.2 作出函数和的图形观察其周期性和变化趋势.xysinxycsc为了比较, 我们把它们的图形放在一个坐标系中. 输入命令 PlotSinx,Cscx,x,-2 Pi,2 Pi,PlotRange-2 Pi,2 Pi, PlotStyle-GrayLevel0,GrayLeve10.5, AspectRatio-1-6-4-2246-6-4-2246注：注：PlotStyle-GrayLeve10,GrayLeve10.5是使两条曲线分别具有不同的灰度的命令. 例例 1.3 作出函数和的图形观察

6、其周期性和变化趋势.xytanxycot输入命令11PlotTanx,Cotx,x,-2 Pi,2 Pi,PlotRange-2 Pi,2 Pi, PlotStyle-GrayLeve10,GrayLeve10.5,AspectRatio-1-6-4-2246-6-4-2246例例 1.4 将函数的图形作在同一坐标系内, 观察直接函数和反函xyxyxyarcsin,sin 数的图形间的关系. 输入命令 p1=PlotArcSinx,x,-1,1; p2=PlotSinx,x,-Pi/2,Pi/2,PlotStyle-GrayLeve10.5; px=Plotx,x,-Pi/2,Pi/2,Plo

7、tStyle-Dashing0.01; Showp1,p2,px,PlotRange-Pi/2,Pi/2,-Pi/2,Pi/2,AspectRatio-1-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.50.511.5则可以看到函数和它的反函数在同一个坐标系中的图形是关于直线对称的.xy 注注 Show命令把称为 p1,p2 和 px 的三个图形叠加在一起显示. 选项 PlotStyle-12Dashing0.01使曲线的线型是虚线.例例 1.5 (教材 例 1.1) 给定函数24325555)(xxxxxxf(a) 画出在区间上的图形;)(xf4 , 4(b) 画出区间上与的图形.4 ,

8、 4)(xf)()sin(xfx 输入命令 fx_=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2); g1=Plotfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0; 则输出在区间上的图形.)(xf4 , 4-4-2240.511.522.53输入命令 g2=PlotSinxfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor0,1,0; Showg1,g2; 则输出区间上与的图形.4 , 4)(xf)()sin(xfx-4-224-2-1123注注: Show命令把称为 g1 与 g2 二个图形叠加在一起显示.例例 1.6 在区间画出函数的图形. 1 , 1xy1sin

9、输入命令 PlotSin1/x,x,-1,1;13则输出所求图形，从图中可以看到函数在附近来回震荡.xy1sin0x-1-0.50.51-1-0.50.51二维参数方程作图二维参数方程作图例例 1.7 作出以参数方程所表示的曲线的图形.)20(sin,cos2ttytx输入命令 ParametricPlot2 Cost,Sint,t,0,2 Pi, AspectRatio-Automatic 则可以观察到这是一个椭圆. -2-112-1-0.50.51注注 在 ParametricPlot 命令中选项 AspectRatio-Automatic 与选项 AspectRatio-1 是等效的.

10、例例 1.8 分别作出星形线和摆线 )20(sin2,cos233ttytx),sin(2ttx的图形.)40)(cos1 (2tty 输入命令 ParametricPlot2 Cost3,2 Sint3,t,0,2 Pi,AspectRatio-Automatic ParametricPlot2*(t-Sint),2*(1-Cost),t,0,4 Pi,AspectRatio-Automatic 则可以分别得到星形线和摆线的图形.14-2-112-2-1125101520251234例例 1.9 画出参数方程的图形： tttytttx 3cossin)(5coscos)(输入命令 Param

11、etricPlotCos5 tCost,SintCos3t,t,0,Pi, AspectRatio-Automatic; 则分别输出所求图形.-0.75-0.5-0.250.250.50.751-0.75-0.5-0.250.250.50.7515例例 1.10 (教材 例 1.2) 画出以下参数方程的图形.(1) (2) tttytttxsin7511sin5)(cos7511cos5)( ttttyttttxsin)4cos2sin1 ()(cos)4cos2sin1 ()(分别输入以下命令: ParametricPlot5Cos-11/5t+7Cost,5Sin-11/5t+7Sint,

12、 t,0,10Pi,AspectRatio-Automatic; ParametricPlot(1+Sint-2 Cos4*t)*Cost,Sint,t,0,2*Pi,AspectRatio-Automatic,Axes-None; 则分别输出所求图形.-10-5510-10-551016例例 1.11 作出极坐标方程为的曲线的图形.)cos1 (2tr 曲线用极坐标方程表示时, 容易将其转化为参数方程. 故也可用命令 ParametricPlot来作 极坐标方程表示的图形. 输入命令 rt_=2*(1-Cost); ParametricPlotrt*Cost,rt*Sint,t,0,2 Pi

13、,AspectRatio-1 可以观察到一条心脏线.-4-3-2-1-2-112极坐标方程作图极坐标方程作图例例 1.12 (教材 例 1.3) 作出极坐标方程为的对数螺线的图形.10/ ter 输入命令 0;Plotgx,x,-2,2 便得到上面符号函数的图形. 其中组合符号“/；”的后面给出前面表达式的适用条件例例 1.16 (教材 例 1.5) 作出分段函数的图形.0, 0,cos)(xexxxhx输入命令 hx_:=Whichx0,Expx Plothx,x,-4,4 则输出所求图形.-4-224-112345注注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件.例

14、例 1.17 (教材 例 1.6) 作出分段函数的图形. 0, 00,1sin)(2xxxxxf输入命令 fx_:=x2Sin1/x/;x!=0; fx_:=0/; x=0; Plotfx,x,-1,1; 则输出所求图形.-0.6-0.4-0.20.20.40.6-0.06-0.04-0.020.020.040.0620函数性质的研究函数性质的研究例例 1.18 研究函数在区间上图形的特征.)3(log3)(35xexxfx2 , 2输入命令 Plotx5+3Ex+Log3,3-x,x,-2,2; 则输出所求图形. 由图形容易看出, 从左到右, 图形渐渐上升. 因而是增函数.-2-112-202040例例 1.19 判断函数是否为周期函数.xxxf2cos2sin)(任选一个较大的范围, 如取, 在此区间上画出函数的图形如图所示.4 , 4)(xf PlotSin2Pi x+Cos2Pi x,x,-4,4; 可以看出函数的图形以某一宽度以单位重复出现.-4-224-1-0.50.51例例 1.20 判断函数的反函数的存在性. 若存在, 求反函数的表达133)(23xxxxfy 式, 并画出起图形.先解方程 求 x. 输入命令, 13323xxxy Solvey=x3+3x2+3x