《高等数学(同济第六版)课后习题答案11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(同济第六版)课后习题答案11（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题 111 设 A( 5)(5 ) B10 3) 写出 AB AB AB 及 A(AB)的表 达式 解 AB( 3)(5 ) AB10 5) AB( 10)(5 ) A(AB)10 5) 2 设 A、B 是任意两个集合 证明对偶律 (AB)CAC BC 证明 因为x(AB)CxAB xA 或 xB xAC或 xBC xAC BC 所以 (AB)CAC BC 3 设映射 f X Y AX BX 证明(1)f(AB)f(A)f(B) (2)f(AB)f(A)f(B) 证明 因为yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) yf(A)f(B) 所以 f(AB
2、)f(A)f(B) (2)因为yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B) 所以 f(AB)f(A)f(B) 4 设映射 f XY 若存在一个映射 g YX 使 其中XIfgoYIgfoIX、IY分别是 X、Y 上的恒等映射 即对于每一个 xX 有 IX xx 对于每一个 yY 有 IY yy 证明 f 是双射 且 g 是 f 的逆映射 gf 1 证明 因为对于任意的 yY 有 xg(y)X 且 f(x)fg(y)Iy yy 即 Y 中任意 元素都是 X 中某元素的像 所以 f 为 X 到 Y 的满射 又因为对于任意的 x1x2 必
3、有 f(x1)f(x2) 否则若 f(x1)f(x2)g f(x1)gf(x2) x1x2 因此 f 既是单射 又是满射 即 f 是双射 对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)fg(y)Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A)A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A)A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A) 所以 f 1(f(A)A (2)由(1)知 f 1(f(A)A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A)存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x
4、)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A)A 因此 f 1(f(A)A 6 求下列函数的自然定义域 (1)23 xy解 由 3x20 得 函数的定义域为 32x) ,32(2)211 xy解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3)211xxy解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D1 0)(0 1(4)241 xy 解 由 4x20 得 |x|2 函数的定义域为(2 2) (5)xy sin解 由 x0 得函数的定义 D0 ) (6) ytan(x1)解 由(k0 1 2 )得函数的定义域为(k0 1 2 21x 12
5、kx) (7) yarcsin(x3) 解 由|x3|1 得函数的定义域 D2 4 (8) xxy1arctan3解 由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 3) (9) yln(x1) 解 由 x10 得函数的定义域 D(1 ) (10) xey1 解 由 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 ) 7 下列各题中 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lg x2 g(x)2lg x(2) f(x)x g(x) 2x(3) 334)(xxxf31)(xxxg(4)f(x)1 g(x)sec2xtan2x 解 (1)不同 因为定义域不同 (2)不同 因为对应法则
6、不同 x0 时 g(x)x (3)相同 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 因为定义域不同 8 设 求 (2) 并作出函数 y(x)的 3| 03| |sin| )( xxx x)6()4()4(图形 解 21|6sin|)6(22|4sin|)4(22| )4sin(|)4(0) 2(9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) ( 1) xxy1(2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2时 0)1)(1 (112121221121xxxx xx xxyy所以函数在区间( 1)内是单调增加的 xxy1(2)对于任意
7、的 x1 x2(0 ) 当 x1x2时 有 0ln)()ln()ln( 2121221121xxxxxxxxyy所以函数 yxln x 在区间(0 )内是单调增加的 10 设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数 若 f(x)在(0 l)内单调增加 证明 f(x) 在(l 0)内也单调增加 证明 对于x1 x2(l 0)且 x1x2 有x1 x2(0 l)且x1x2 因为 f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数 所以f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) 这就证明了对于x1 x2(l 0) 有 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在(l 0)内也单调增加11 设下
8、面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇 函数的乘积是奇函数 证明 (1)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数 (2)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x
9、)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数 如果 f(x)是偶函数 而 g(x)是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)yx2(1x2) (2)y3x2x3(3) 2211 xxy(4)yx(x1)(x1)(5)ysin xc
10、os x1(6)2xxaay解 (1)因为 f(x)(x)21(x)2x2(1x2)f(x) 所以 f(x)是偶函数 (2)由 f(x)3(x)2(x)33x2x3可见 f(x)既非奇函数又非偶函数 (3)因为 所以 f(x)是偶函数 )(11 1)(1)(2222 xfxx xxxf(4)因为 f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x) 所以 f(x)是奇函数 (5)由 f(x)sin(x)cos(x)1sin xcos x1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函 数 (6)因为 所以 f(x)是偶函数 )(22)()()(xfaaaaxfxxxx13 下列各函数中哪些是周期函数？
11、对于周期函数 指出其周期 (1)ycos(x2)解 是周期函数 周期为 l2 (2)ycos 4x解 是周期函数 周期为2l(3)y1sin x解 是周期函数 周期为 l2(4)yxcos x解 不是周期函数(5)ysin2x解 是周期函数 周期为 l14 求下列函数的反函数 (1) 31 xyr(3)r(3)解 由得 xy31 所以的反函数为 yx3131 xy31 xy(2)xxy11f(1 - x)解 由得 所以的反函数为xxy11 yyx11 xxy11 xxy11(3)(adbc0) dcxbaxy解 由得 所以的反函数为dcxbaxyacybdyxdcxbaxyacxbdxy(4)
12、 y2sin3x 解 由 y2sin 3x 得 所以 y2sin3x 的反函数为2arcsin31yx2arcsin31xy(5) y1ln(x2) 解 由 y1ln(x2)得 xey12 所以 y1ln(x2)的反函数为 yex12(6) 122 xxy解 由得 所以的反函数为122 xxyyyx1log2122 xxyxxy1log215 设函数 f(x)在数集 X 上有定义 试证 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要 条件是它在 X 上既有上界又有下界 证明 先证必要性 设函数 f(x)在 X 上有界 则存在正数 M 使|f(x)|M 即 Mf(x)M 这就证明了 f(x)在 X 上有下界M 和上界 M 再证充分性 设函数 f(x)在 X 上有下界 K1和上界 K2 即 K1f(x) K2 取 Mmax|K1| |K2| 则 M K1f(x) K2M 即 |f(x)|M 这就证明了 f(x)在 X 上有界 16 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数 并求这函数分别对应于 给定自变量值 x1和 x2的函数值 (1) yu2 usin x 61x32x解 ysin2x 41)21(6sin221y43)23(3sin222y(2) ysin u u2x 81x42x解 ysin2x 22 4sin)82sin(1y12sin)42
